21.2 解一元二次方程本节综合练习
一、单选题
1．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m的值可以是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
2．已知：关于x的方程有实根，则m的取值范围为（ ）
A．且 B．且 C． D．
3．若关于x的一元二次方程x2-2kx-k=0有两个相等的实数根，则k的值是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
4．下列关于x的一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
5．用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0，配方正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝5 B．（x﹣1）2＝4
C．（x+1）2＝﹣3 D．（x﹣1）2＝﹣3
6．下列关于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的命题中：真命题有（ ）
①若a﹣b+c＝0则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+bx+c＝0两根为1和2，则2a﹣c＝0；③若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有实根
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
7．关于x的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． 且 D． 且
9．方程x2=3x的解是（ ）
A．x=3 B．x=-3 C．x=3或x=0 D．x=0
10．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．3x2- x+2=0 B．4x2+4x+1=0 C．x2-3x-4=0 D．x2-x-1=0
11．一元二次方程 根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
12．若方程x2﹣（m2﹣4）x+m=0的两个根互为相反数，则m等于（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．4
13．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个不等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣4 B．k＞﹣3
C．k＞﹣3且k≠1 D．k≥﹣3且k≠1
14．方程的根是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+1=0的两个实数根是x1，x2，且x12+x22=24，则k的值是（ ）
A．8 B．﹣7 C．6 D．5
16．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则 + 的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
二、填空题
17．若把代数式 化成 的形式，其中 为常数，则 ．
三、计算题
18．解下列方程
（1）x2﹣8x+9=0
（2）（2x﹣3）（x﹣4）=0
（3）2（x﹣3）2=方程可变为：2x﹣3=0，x﹣4=0，
解得：x1= ，x2=4x﹣3．
四、解答题
19．解方程
（1）x2+2x﹣3=0
（2）3x（x﹣2）=2（2﹣x）
五、作图题
20．数学语言包括文字语言、符号语言、图形语言等我们来看一道用文字语言表述的数学问题：“一个正数的平方与这个数的2倍的和等于24，求这个数.”此题用符号语言简洁地表示为（设该数为x）：“解方程x2+2x=24（x>0）.”
如图所示，也可用图形语言直观地表示为如下的问题：“已知图形的总面积为24，求x.”
现在来看看如何利用图形帮助我们理解方程的解法：
解：由x2+2x=24，配方，得x2+2x+1=25，①
∴（x+1）2=25.②
∵x>0，∴x+1=5，∴x=4.
请在所给图中添上辅助线，表示①和②式中配方的几何意义.
六、综合题
21．已知一元二次方程x2﹣3x+m﹣1=0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根．
22．已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k=0
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
七、实践探究题
23．阅读材料：
①用配方法因式分解：a2+6a+8．
解：原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）．
②若M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值．
解：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1．
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之称为完全平方式：a2+4a+ = ．
（2）用配方法因式分解：a2﹣24a+143．
（3）若M＝﹣a2+2a﹣1，求M的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=（-2）2-4×1×m=4-4m＜0，
解得：m＞1．
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式Δ=（-2）2-4×1×m=4-4m＜0，求出m的取值范围，再求解即可。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：当m＝0时，方程为-2x+1＝0，此方程的解是x＝ ，
当m≠0时，当时，方程有实数根，解得：m≤1，
所以当m≤1时，方程有实数根，
故答案为：C．
【分析】分两种情况，当m＝0时，当m≠0时，再利用一元二次方程根的判别式求解即可。
3．【答案】C
【解析】【解答】由题意得
(-2k)2-4×1×(-k)=0,
∴4k2+4k=0,
∴k2+k=0,
∴k(k+1)=0,
∴k=0或k=﹣1
故答案为：C.
【分析】根据方程有两个相等的实数根，利用一元二次方程根的判别式可以得到,计算就可以得到结果。
4．【答案】D
【解析】【解答】A中 ，∴方程没有实数根；B中 ，∴该方程有两个不相等的实数根；C中的 ，∴该方程有两个不相等的实数根；D中的 ，∴该方程有两个相等的实数根．
【分析】其中 ，当△＜0时，方程没有实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＞0时，方程有两个不相等的实数根．
5．【答案】A
【解析】【解答】解：x2-2x-4=0，
移项得，x2-2x=4，
两边加上一次项系数一半的平方，x2-2x+1=4+1，
（x-1）2=5，
故答案为：A.
【分析】先将常数移到右边，然后两边同时加1，将左边配成完全平方式，即可解答.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：a﹣b+c＝0，则b＝a+c，△＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，所以①正确；
∵方程ax2+bx+c＝0两根为1和2，
∴1×2＝ ，则c＝2a，
∴2a﹣c＝2a﹣2a＝0，所以②正确；
∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴ac＜0，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个实根，所以③正确.
故答案为：A.
【分析】根据a-b+c＝0可得b＝a+c，然后根据△＝b2-4ac可判断①；根据根与系数的关系可得1×2＝ ，则c＝2a，据此判断②；根据方程ax2+c＝0有两个不相等的实根可得ac＜0，则Δ＝b2-4ac＞0，据此判断③.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵一元二次方程无实数根，
∴b2-4ac=（-2）2-4m×（-1）＜0，
∴m＜-1＜0，
∴-m＞1＞0，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程无实数根求出b2-4ac＜0，再判断求解即可。
8．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意知：2k＋1≥0，k≠0，Δ＝2k＋1 4k＞0，
∴ ≤k＜ ，且k≠0.
故答案为：D.
【分析】由一元二次方程的定义可得k≠0，根据二次根式成立的条件列不等式2k＋1≥0，再根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，即△>0列出不等式，再分别解不等式，联立求出k的范围即可.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：x2-3x=0，
∴x（x-3）=0，
∴x=0或x-3=0，
∴x=0或x=3.
故答案为：C.
【分析】观察方程的特点：不含常数项，因此利用因式分解法解方程.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：根据一元二次方程的根的判别式，由方程有实数根，可求△=b2-4ac，可知
A. △=b2-4ac=3-24=-21＜0，没有实数根，故符合题意；
B. △=b2-4ac=16-16=0，有两个相等的实数根，故不符合题意；
C. △=b2-4ac=9+16=25＞0，有两个不相等的实数根，故不符合题意；
D. △=b2-4ac=1+4 ＞0，有两个不相等的实数根，故不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根的判别式逐项判定即可。
11．【答案】C
【解析】【解答】解：将一元二次方程 化成一般形式为 ，
此方程根的判别式为 ，
则此方程有两个不相等的实数根，
故答案为：C.
【分析】一元二次方程根的判别式可知：当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时，方程没有实数根，故先将方程转化为一般形式，求出b2-4ac的值，然后根据b2-4ac的值的大小，可作出判断.
12．【答案】A
【解析】【解答】∵方程x2﹣（m2﹣4）x+m=0的两个根是互为相反数，
设这两根是α、β，则α+β=m2﹣4=0，
解得：m=±2，
但当m=2时，原方程为：x2+2=0，方程没有实数根，
故m=﹣2．
故答案为：A．
【分析】设这两根是α、β，则α+β=0，然后依据一元二次方程根与系数的关系可得到α+β=m2﹣4=0，从而可求得m的值，最后，再进行检验即可.
13．【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意得：Δ＝b2﹣4ac＝16+4（k﹣1）＝4k+12＞0，且k﹣1≠0，
解得：k＞﹣3且k≠1.
故答案为：D.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出不等式组，求解即可.
14．【答案】C
【解析】【解答】解：，
或，
，
故答案为：C.
【分析】根据方程可得x=0或x-1=0，求解即可.
15．【答案】D
【解析】【解答】解：∵方程x2﹣6x+k+1=0的两个实数根是x1，x2，
∴x1+x2=6，x1 x2=k+1，
∵x12+x22= ﹣2x1 x2=36﹣2k﹣2=24，
∴k=5．
故选D．
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2=6、x1 x2=k+1，结合x12+x22=24即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．
16．【答案】D
【解析】【解答】解：∵a、b为方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根，
∴a+b=3，ab=p，
∵a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab=32﹣3p=18，
∴p=﹣3．
当p=﹣3时，△=（﹣3）2﹣4p=9+12=21＞0，
∴p=﹣3符合题意．
+ = = = ﹣2= ﹣2=﹣5．
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可求出a+b=3，ab=p，再把a2﹣ab+b2=18利用完全平方公式变形，从而求出p的值，然后把要求的式子通分，再把a+b、ab的值代入求解.
17．【答案】-2
【解析】【解答】解： ，
则 ，
因此 ，
故答案为： ．
【分析】利用配方将代数式化为，据此解答即可.
18．【答案】（1）解：∵a=1，b=﹣8，c=9，
∴△=b2﹣4ac=（﹣8）2﹣4×1×9=28，
∴x= =4 ，
∴原方程的解为x1=4 ，x2=4﹣
（2）解：2x-3=0或者x-4=0
x=或x=4
（3）解：移项得：（x﹣3）2﹣2x（x﹣3）=0，
提取公因式得：（x﹣3）（x﹣3﹣2x）=0，
即x﹣3=0，﹣3﹣x=0，
解得：x1=3，x2=﹣3
【解析】【分析】（1）用公式法求解即可；（2）直接分解为两个一元一次方程求解即可；（3）移项后提取公因式即可化为一元一次方程求解；
19．【答案】解：（1）分解因式得：（x﹣1）（x+3）=0，
可得x﹣1=0或x+3=0，
解得：x1=1，x2=﹣3；
（2）方程变形得：3x（x﹣2）+2（x﹣2）=0，
分解因式得：（3x+2）（x﹣2）=0，
可得3x+2=0或x﹣2=0，
解得：x1=﹣，x2=2．
【解析】【分析】（1）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；
（2）方程变形后，利用因式分解法求出解即可．
20．【答案】.解：辅助线如图所示.
几何意义就是右上角补上一个面积为1平方单位的正方形，使其构成边长为5的正方形.
【解析】【分析】方程的两边加上1，利用配方法配成（x+1）2=25的形式，再直接开平方求出方程的根，根据x是正数，得出x=4，即可得出配方的几何意义是右上角补上一个面积为1平方单位的正方形，使其构成边长为5的正方形.
21．【答案】（1）解：△=（﹣3）2﹣4（m﹣1），
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，解得m＜
（2）解：∵方程有两个相等的实数根，
∴△=0，即9﹣4（m﹣1）=0
解得m=
∴方程的根是：x1=x2=
【解析】【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，即△＞0，即可求得关于m的不等式，从而得m的范围；（2）方程有两个相等的实数根，当△=0时，即可得到一个关于m的方程求得m的值．
22．【答案】（1）证明：△=（k+2）2﹣4 2k=（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，
∴无论取任何实数值，方程总有实数根
（2）解：当b=c时，△=（k﹣2）2=0，则k=2，
方程化为x2﹣4x+4=0，解得x1=x2=2，
∴△ABC的周长=2+2+1=5；
当b=a=1或c=a=1时，
把x=1代入方程得1﹣（k+2）+2k=0，解得k=1，
方程化为x2﹣3x+2=0，解得x1=1，x2=2，
不符合三角形三边的关系，此情况舍去，
∴△ABC的周长为5
【解析】【分析】（1）先计算出△=（k+2）2﹣4 2k=（k﹣2）2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；（2）分类讨论：当b=c时，△=0，则k=2，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长；当b=a=1或c=a=1时，把x=1代入方程解出k=1，再解此时的一元二次方程，然后根据三角形三边的关系进行判断．
23．【答案】（1）4；（a+2）2
（2）解：a2﹣24a+143
＝a2﹣24a+144﹣1
＝（a﹣12）2﹣12
＝（a﹣12+1）（a﹣12﹣1）
＝（a﹣11）（a﹣13）；
（3）解：M＝﹣a2+2a﹣1
＝﹣（a2﹣8a+16）+3
＝﹣（a﹣4）2+3，
∴当a＝4时，M有最大值3．
【解析】【解答】解：（1）a2+4a+4＝（a+2）2，
故答案为：4，（a+2）2；
【分析】（1）利用完全平方公式的特征及配方法的计算方法求解即可；
（2）利用配方法求解即可；
（3）利用配方法求解即可。
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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