2023-2024学年北京市重点大学附中高三（上）开学数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
2. 的展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
3. 已知为等差数列，为其前项和，，，则( )
A. B. C. D.
4. 已知，则( )
A. 为偶函数，且在上单调递增
B. 为偶函数，且在上单调递减
C. 为奇函数，且在上单调递增
D. 为奇函数，且在上单调递减
5. 若直线把圆分成长度为：的两段圆弧，则( )
A. B. C. D.
6. 已知，为平面上的单位向量，““是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不必要又不充分条件
7. 在中，，，，若满足条件的有两个，则的可能取值为( )
A. B. C. D.
8. 已知抛物线的焦点为，点是抛物线准线上一动点，作线段的垂直平分线，则直线与抛物线公共点个数的可能值构成的集合为( )
A. B. C. D.
9. 我国油纸伞的制作工艺巧妙如图，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动如图，伞完全收拢时，伞圈已滑到的位置，且，，三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的余弦值是( )
A. B. C. D.
10. 已知函数在上恰有个不同的零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
11. 双曲线的渐近线方程为，则 ______ ．
12. 已知复数满足，则在复平面的对应点的坐标为______ ．
13. “十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点该点为所在棱的中点若某“十字贯穿体”由两个底面边长为，高为的正四棱柱构成，如图所示，则该“十字贯穿体”的体积为______ ．
14. 已知函数．
函数的零点个数为______ ．
若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是______ ．
15. 已知无穷项数列满足：，，为有理数，给出下列四个结论：
若，则数列单调递增；
数列可能为等比数列；
若存在，，，则对于任意，总有．
若存在，对于任意，总有，则．
其中全部正确结论的序号为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
已知函数．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求函数的单调递增区间．
17. 本小题分
如图，在三棱柱中，平面，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．
求证：平面；
Ⅱ从下面两个选项中选择一个作为条件，求二面角的余弦值．
；
．
18. 本小题分
为了调查居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会从小区与小区各随机抽取名社区居民分为岁、岁岁及其他人群各名参与问卷测试，按测试结果将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”得分不低于分和“不太了解”得分低于分，并将问卷得分不低于分绘制频数分布表如下
分组 小区频数 小区频数
岁人群
岁人群
其他人群
假设用频率估计概率，所有居民的问卷测试结果互不影响．
Ⅰ从小区随机抽取一名居民参与问卷测试，估计其对垃圾分类比较了解的概率；
Ⅱ从、小区岁人群中各随机抽取一名居民，记其对垃圾分类比较了解的居民人数为随机变量，求的分布列和数学期望；
Ⅲ设事件为“从小区的三个年龄组随机抽取两组，且每个年龄组各随机抽取一名居民，则这两名居民均为对垃圾分类比较了解”，设事件为“从小区的三个年龄组随机抽取两组，且每个年龄组各随机抽取一名居民，则这两名居民均为对垃圾分类比较了解”，试比较事件发生的概率与事件发生的概率的大小，并说明理由．
19. 本小题分
已知椭圆：，其离心率，长轴长为．
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ椭圆的上下顶点分别为，，右顶点为，过点的直线与椭圆的另一个交点为，点与点关于轴对称，直线交于，直线交于点，点，求证：．
20. 本小题分
已知函数，且曲线在处与轴相切．
Ⅰ求，的值；
Ⅱ令，证明函数在上单调递增；
Ⅲ求的极值点个数．
21. 本小题分
对于数集为给定的正整数，其中，如果对任意，，都存在，，使得，则称具有性质．
Ⅰ若，且集合具有性质，求的值；
Ⅱ若具有性质，求证：；且若成立，则；
Ⅲ若具有性质，且，求数列，，的通项公式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：不等式，
不等式，
方程的两根为，，
不等式的解集为，
故选：．
根据一元二次不等式的解集与方程根的关系，结合二次函数可得不等式的解集
本题考查了一元二次不等式的解法，利用了因式分解法，找到与对应方程和二次函数的关系容易得到；属于基础题
2.【答案】
【解析】解：通项公式，
令，解得．
展开式中的常数项．
故选：．
利用通项公式即可得出．
本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：设等差数列的公差为，
，
则，
故，即，解得，
．
故选：．
根据已知条件，先求出公差，再结合等差数列的前项和公式，即可求解．
本题主要考查等差数列的前项和公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，定义域为全体实数，，奇函数；
因为和都是增函数，所以是增函数．
故选：．
先把函数拆项分母，转化指数形式，然后判断单调性及奇偶性即可．
本题考查函数的奇偶性和指数的单调性，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：圆的标准方程为，圆心为，半径，
设直线和圆相交于，
若较短弧长与较长弧长之比为：，
则，
则圆心到直线的距离，
即，
解得，
故选：．
设直线和圆相交于，则根据较短弧长与较长弧长之比为：得到对应的圆心角的大小，利用点与直线的距离建立条件关系，求解即可．
本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据条件得到圆心到直线的距离是解决本题的关键，是中档题．
6.【答案】
【解析】解：由于“”，整理得：，
所以，化简得：，
当，为平面上的单位向量，““时，成立，反之成立．
故选：．
直接利用向量的线性运算，向量的模，向量垂直的充要条件求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的模，向量垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：因为，，
所以当时，满足条件的有两个，
即．
故选：．
根据已知两边及一边的对角求三角形解的情况，建立不等式求出的范围即可得解．
本题考查了三角形解的个数问题，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由抛物线的方程可得焦点，准线方程为，
由题意设，则，的中点坐标，，
当时，则直线的方程为，与抛物线相切，即直线与抛物线只有一个交点，
当时，则直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
联立，整理可得：，即，
则只有一个根，
即直线与抛物线只有一个交点，
综上所述：直线与抛物线只有一个交点．
故选：．
由题意可得焦点的坐标，设的坐标，进而可得直线的斜率，由题意可得直线的方程，与抛物线的方程联立，可得直线与抛物线的交点个数．
本题考查抛物线的性质的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由题意得当伞完全张开时，，
为的中点，，
当伞完全收拢时，，则，
在中，由余弦定理得，
，
故选：．
根据伞完全张开的特征可得，根据伞完全收拢可得，在中，利用余弦定理得，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：函数在上恰有个不同的零点，
即，也就是在上恰有个不同的根，
即函数与在上恰有个不同的交点，
作出两函数函数与的图象如图：
要使函数在上恰有个不同的零点，
则，解得．
实数的取值范围为．
故选：．
问题转化为函数与在上恰有个不同的交点，进一步得到关于的不等式组求解．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查化归与转化、数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：由双曲线，得其渐近线方程为，
又双曲线的渐近线方程为，
，即．
故答案为：．
由双曲线方程求其渐近线方程，结合已知得答案．
本题考查双曲线的标准方程与几何性质，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：，，，，转化为一般形式得
即，
从得知，在复平面的对应点的坐标为．
故答案为：．
先整理求，再转化为一般形式，最后写坐标即可．
本题考查复数的除法运算与复平面内的对应点，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：如图，
两个正四棱柱的重叠部分为多面体，取的中点，
则多面体可以分成个全等的三棱锥，
则，且平面，，
则，
则该“十字贯穿体”的体积为．
故答案为：．
由题意可得两个正四棱柱的重叠部分，转化为三棱锥求体积，再由两四棱柱的体积和减去重合部分的体积得答案．
本题考查几何体的结构特征，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
14.【答案】
【解析】解：第一空：当时，可知有一个零点，
当时，有一个零点，
当时，可知有一个零点，
综上函数的零点个数为个．
第二空：
如图所示，当时，若要满足题意需，得，
当时，不符题意；
如图所示，当时，若要满足题意需，得，
综上的取值范围是：．
故答案为：；．
第一空，分类讨论，无论，函数都一个零点；第二空，由第一空讨论，，值的情况，从而可得满足题意的的范围．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：对于，若，则若，设，，
则，即数列单调递增，正确；
对于，设，，，令，
上式化简得，，即数列可能为等比数列，正确；
对于，由得，若，则对于任意，总有，
若，不妨设，，则，由此可推当，总有，正确；
对于，若不恒为，则总有相邻的两项同号，设与同号，，
不妨设两者皆为正，则，，
由此可推当，数列单调递增，又，所以数列是无界的，
同理可推，若与同为负，数列也是无界的，
所以存在，对于任意，总有，则，正确．
故答案为：．
通过数列的递推对选项进行分析即可．
本题主要考查数列的递推式，属中档题．
16.【答案】解：，
；
令，，
则，，
故函数的单调递增区间为，．
【解析】由已知结合和差角公式，二倍角公式及辅助角公式先进行化简，然后把代入可求，结合正弦函数的单调性可求．
本题主要考查了和差角公式，辅助角公式及二倍角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数的单调性的应用，属于基础题．
17.【答案】Ⅰ证明：设的中点为，连接，，
则，因为平面，平面，所以平面，
因为且，所以是平行四边形，
所以，因为平面，平面，所以平面，
又因为，所以平面平面，
所以平面；
Ⅱ解：选：，
因为平面，平面，所以，
因为，所以平面，又面，所以，
选：．
因为，所以，又因为为棱的中点，所以，
因为所以，，同理可得，
所以，所以，
以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系如图，
可得、、、、．
依题意是平面的一个法向量，
，．
设为平面的一个法向量，
则，不妨设，可得，，，
因为二面角的平面角是钝角，
所以二面角的余弦值为．
【解析】Ⅰ设的中点为，连接，则，连接，证明，从而推出平面平面，即可证明平面；Ⅱ选：可证，选可证，以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．
本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，考查二面角的平面角的余弦值的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属中档题．
18.【答案】解：Ⅰ若某社区居委会从小区与小区各随机抽取名社区居民，
记“从小区随机抽取一名居民参与问卷测试，估计其对垃圾分类比较了解”为事件，
则；
Ⅱ易知的所有取值为，，，
此时，，
，
则的分布列为：
所以；
Ⅲ易知，
，
因为，
所以．
【解析】Ⅰ由题意，代入概率公式中进行求解即可；
Ⅱ先得到的所有取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中进行求解即可；
Ⅲ分别求出发生的概率与事件发生的概率，再进行比较即可．
本题考查离散型随机变量分布列及期望，考查了逻辑推理和运算能力．
19.【答案】解：Ⅰ由题意可得，解得：，，
所以椭圆的标准方程为：；
Ⅱ证明：由Ⅰ可得，，，
设直线的方程为：，
联立，整理可得：，可得，，
即，由题意可得，
直线的方程为：，
联立，可得，，
所以，
同理可得，即，
此时，，
的中点，即，
所以的中点为也是的中点，
所以，互相平分，则四边形为平行四边形，
可证得：．
【解析】Ⅰ由题意可得，的值，进而求出的值，求出椭圆的方程；
Ⅱ由Ⅰ可得，，的坐标，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得的坐标，由题意可得的坐标，求出直线的方程，与直线的方程联立，可得的坐标，同理可得的坐标，可得，的横坐标之和，即求出的中点的坐标，及的中点坐标，判断出，互相平分，证得结论．
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
20.【答案】解：Ⅰ，
由于曲线在处与轴相切，
则，解得；
Ⅱ证明：由Ⅰ可知，，，
则，
令，则，
由于，
则，
所以，
则函数在上单调递增，
所以，
所以函数在上单调递增；
Ⅲ由Ⅱ可知，函数在上单调递增，且，
则函数在上没有零点，
当时，令，解得，
易知当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，即，
又，
故由零点存在性定理可知，函数在上存在唯一零点，
且当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
综上，有且仅有一个极值点，即极值点个数为个．
【解析】Ⅰ对函数求导，利用导数的几何意义可建立关于，的方程组，解出即可；
Ⅱ令，对求导，可得，进而得到函数在上单调递增，得到，进而得证；
Ⅲ当时，可得函数在上存在唯一零点，进而得到函数的单调性及取值情况，结合图象即可得出结论．
本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于较难题目．
21.【答案】Ⅰ解：取，则，
因为，，所以，因为，所以；
Ⅱ证明：取，因为，
所以，得，所以，异号．
所以，中一个为，一个为，故．
假设，其中，则．
取，并设，
则，异号，从而，之中恰有一个为．
若，则矛盾；
若，则，矛盾；所以；
Ⅲ解：由Ⅱ知，；
取，，
设，因为，且，中得正数大于，
所以，所以，，
中只有个大于的正数，即，
且，这个大于的正数都属于集合，
所以只能，；
所以，
所以数列，，是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
即数列，，的通项公式是．
【解析】Ⅰ根据题意，取，判断，的值，从而求出的值；
Ⅱ根据，取，判断，的值，求出，在用反证法，证明；
Ⅲ取，，判断，的值，由，得数列，，是以为首项，为公比的等比数列，求出通项公式．
本题以新定义为载体，考查数列求解，等比数列的证明等问题，考查学生应用数列知识分析解决问题的能力，以及推理和运算能力．属中档题．
第1页，共1页
