2023-2024学年河南省新乡市封丘县金瀚学校九年级（上）入学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列一定是二次根式的是( )
A. B. C. D.
2. 若代数式有意义，则应满足的条件是( )
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4. 下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
5. 化简的结果是( )
A. B. C. D.
6. 已知，是实数，且满足，则的值是( )
A. B. C. D.
7. 已知，，那么代数式的值是( )
A. B. C. D.
8. 一元二次方程的解是( )
A. B.
C. ， D. 无实数解
9. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是( )
A. B. C. D.
10. 若方程没有实数根，则的值可以是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 计算： ______ ．
12. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值是 ．
13. 化简：______．
14. 代数式的最小值是______ ．
15. 若实数范围内定义一种运算“”，使，则方程的解为______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
计算：
；
．
17. 本小题分
解方程：
用配方法；
．
18. 本小题分
小明同学解一元二次方程的过程如图所示．
解：
，
小明解方程的方法是______．
直接开平方法因式分解法配方法公式法
他的求解过程从第______步开始出现错误．
解这个方程．
19. 本小题分
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
当时，求方程的解．
20. 本小题分
阅读材料：我们学习了二次根式和乘法公式，可以发现：当，时，有，所以，当且仅当时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
当时，的最小值为______ ；当时，的最大值为______ ；
当时，求函数的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：是三次根式，故选项 A不是二次根式；
是有理数，故选项B不是二次根式；
是二次根式，故选项C一定是二次根式；
当时，，此时无意义，故选项D不一定是二次根式．
故选：．
根据二次根式的定义，对题目中的四个选项逐一进行甄别即可得出答案．
此题主要考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解答此题的关键．
2.【答案】
【解析】解：由题意可得：，
解得：，
故选：．
根据二次根式和分式有意义的条件列不等式求解．
本题考查二次根式和分式有意义的条件，理解分式有意义的条件分母不能为零是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：．，所以选项不符合题意；
B.与不能合并，所以选项不符合题意；
C.，所以选项符合题意；
D.，所以选项不符合题意；
故选：．
根据二次根式的性质对选项和选项进行判断；根据二次根式的加法运算对选项计算判断；根据二次根式的减法运算对选项计算判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
4.【答案】
【解析】解：．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.是最简二次根式，故本选项符合题意；
C.的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：由题意得，，
，
，
故选：．
先根据二次根式有意义得出的取值范围，再根据二次根式的性质化简即可得出结果．
本题考查了二次根式的性质与化简，求出的取值范围并化简二次根式是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：要使有意义，必须且，
解得：且，
即，
所以，
即
．
故选：．
根据二次根式有意义的条件得出且，求出，再求出，最后代入求出答案即可．
本题考查了二次根式的混合运算和二次根式有意义的条件，能求出、的值是解此题的关键．
7.【答案】
【解析】解：原式
当，，
原式
．
故选：．
先将分式化简，再代入值求解即可．
本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是掌握分式的化简．
8.【答案】
【解析】解：方程整理得：，
分解因式得：，
可得或，
解得：，．
故选：．
方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
故选：．
移项，系数化成，再配方，即可得出选项．
本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：关于的方程没有实数根，
，
解得：，
只能为，
故选：．
根据根的判别式和已知条件得出，求出不等式的解集，再得出答案即可．
本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，注意：已知一元二次方程、、为常数，，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．
11.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
先根据二次根式的乘法法则运算，然后把化简后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义，属于基础题由于方程的一个根是，把代入方程，求出的值．
因为方程是关于的一元二次方程，所以二次项系数不能为，可得答案．
【解答】
解：由于关于的一元二次方程的一个根是，
把代入方程，得，
解得，，，
又，即，
，
所以的值是．
故答案为．
13.【答案】
【解析】解：，
．
原式．
故答案为：．
先判定出的取值范围，然后依据二次根式的性质化简即可．
本题主要考查的是二次根式化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：原式
，
，
，
则代数式的最小值是．
故答案为：．
代数式配方变形后，利用非负数的性质：偶次幂确定出最小值即可．
此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次幂，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
15.【答案】或
【解析】解：把转化为：，
即
，
或，
或，
故答案为：或，
根据新运算，相当于公式中的，相当于公式中的，代入公式，解方程即可．
本题是一道新运算的题目，考查了一元二次方程的解法公式法．
16.【答案】解：
；
．
．
【解析】先计算负整数指数幂、绝对值和算术平方根，再计算加减；
先计算零次幂、负整数指数幂和立方根，再计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
17.【答案】解：，
，
，即，
，
，；
，
，
或，
，．
【解析】利用配方法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：由小明的解答过程可知，他采用的是配方法解方程，
故选：，
他的求解过程从第步开始出现错误，
故答案为：；
，
，．
根据小明的解答过程可知小明解答此方程的方法以及他在第几步出现错误；
根据配方法可以解答此方程．
本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．
19.【答案】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
的取值范围为．
当时，原方程为，
解得：，，
方程的解为和．
【解析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；
代入，再利用公式法解该方程即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；代入，利用公式法解方程．
20.【答案】
【解析】解：，
，
故答案为：，；
，
当且仅当，即时取等号
当时，函数的最小值为．
根据“”求解；
先把代数式变形，再根据“”求解．
本题考查了配方法的应用，理解“”的应用是解题的关键．
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