经典奥数专题：数与形（试题）数学六年级上册人教版
一、选择题
1．用小木棒按下图方式摆放图形，第⑧个图形需要（ ）根小木棒。
A．33 B．30 C．36 D．27
2．如下图，第5个图形是由（ ）个小正方形拼成的。
A．16 B．20 C．25 D．36
3．观察下面的点子图，如果按图中的规律画下去，第⑧个方框里应画（ ）个点。
A．29 B．31 C．33
4．观察下图，请选择最适合的一个填入问号处，能使之呈现出一定的规律性的是（ ）。
A． B． C． D．
5．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、36…这样的数称为“正方形数”。从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和。下列等式中，不符合这一规律的是（ ）。
A．25＝9＋16 B．36＝15＋21 C．49＝21＋28 D．64＝28＋36
6．如下图所示，摆1个六边形要用6根小棒，摆2个六边形要用11根小棒，摆3个六边形要用16根小棒……，摆30个六边形要用（ ）根小棒。
A．151 B．179 C．180
二、填空题
7．观察下图，这样的5张桌子连在一起可以坐( )人，按此规律连下去，坐96人需要( )张桌子。
8．请根据下图中的规律，按要求回答问题。
(1)第5个图形中白色三角形的个数有( )个。
(2)第10个图形中白色三角形的个数有( )个，黑色三角形的个数有( )个。
9．下面图形按一定规律排列，这样第⑥幅图中一共有( )个小正方形。
10．根据图中四幅图的规律，第5幅图中有( )个●，第n幅图中有( )个△。
11．将图①中边长为2厘米的正方形复制并向右平移1厘米，得到图②。以后每次得到的正方形这样复制平移，就形成了以下一组图形。
……
第2个图形的周长是( )厘米；第( )个图形的周长是18厘米；第n个图形的周长是( )厘米。
12．仔细观察，根据发现的规律把表格填完整。
第几幅图 1 2 3 5 … n
共几个面在外面 （ ） （ ） （ ） （ ） … （ ）
13．下面图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律摆成的，第1个图中有4个实心圆，第2个图中有6个实心圆，第3个图中有8个实心圆……，按此规律，第7个图中有( )个实心圆。
14．用一根长48厘米的绳子在地上摆正方形。
当这根绳子摆出4个正方形时，正方形的总面积是( )平方厘米，当这根绳子摆出n个正方形时，正方形的边长是( )厘米。
三、解答题
15．（1）如果下图表示1，请在正方形中用阴影表示。
（2）通过下图，你发现可以怎样非常简便计算的和？写出你的计算方法和结果。
（3）如果在图中继续你的操作，会发现…的和越来越接近于（ ）。
16．我国苗家的“长桌宴”风俗历史悠久，起源是苗家接亲嫁女、外寨来访贵客的联谊。如果按照这样的方式摆放，接待58人需要准备多少张桌子？
17．下面每个图中各有多少个绿色小正方形和多少个蓝色小正方形？
照这样接着画下去，第6个图形有多少个绿色小正方形和多少个蓝色小正方形？第10个图形呢？你能解释这其中的道理吗？
18．当当在计算“12＋1×3×2＋32、22＋2×5×2＋52、42＋4×6×2＋62 …”这样的算式时，她用“数形结合”的方法来探索：用算式中的数分别构造两个正方形和两个长方形。她发现“这四个图形的面积相加正好是大正方形的面积”（如图所示）。
由此得出：
图①：12＋1×3×2＋32＝42
图②：22＋2×5×2＋52＝72
图③：42＋4×6×2＋62＝102
（1）根据当当发现的规律填空：
32＋3×5×2＋52＝（ ）。
162＋16×19×2＋192＝（ ）。
（2）你能根据当当发现的规律，把如图这个正方形分成四块，并用算式表示出来吗？
（ ）＝92
19．下图是由三角形构成的。
（1）填写下表。
图号 ① ② ③ ④
白色三角形个数 （ ） （ ） （ ） （ ）
黑色三角形个数 （ ） （ ） （ ） （ ）
（2）照这样的规律画下去，第10个图形中有多少个白色三角形、多少个黑色三角形？
20．探索规律。
（1）观察上面的图，发现：
图①空白部分小正方形的个数是22－12＝2＋1
图②空白部分小正方形的个数是＝4＋3
图③空白部分小正方形的个数是52－42＝（ ）＋（ ）
（2）像这样继续排列下去，你会发现一些有趣的规律，请你再写出一道算式：（ ）。
（3）运用规律计算。202－192＋182－172＋162－152＋…＋22－12。
参考答案：
1．D
【分析】第1个图形需要6根小木棒，第2个图形需要（6＋3）根小木棒，第3个图形需要（6＋3×2）根小木棒……每增加一个正方形增加3根小木棒，第n个图形需要[6＋3×（n－1）]根小木棒，最后求出n＝8时式子的值，据此解答。
【详解】第n个图形需要小木棒的数量：6＋3×（n－1）
＝6＋3n－3×1
＝6＋3n－3
＝3n＋6－3
＝（3n＋3）根
当n＝8时。
3n＋3
＝3×8＋3
＝24＋3
＝27（根）
所以，第⑧个图形需要27根小木棒。
故答案为：D
【点睛】本题主要考查数形结合思想的应用，找出小木棒数量的变化规律是解答题目的关键。
2．C
【分析】观察图形，第1个图形是由1×1＝1＝12个小正方形拼成的，第2个图形是由2×2＝4＝22个小正方形拼成的，第3个图形是由3×3＝9＝32个小正方形拼成的，依次类推，可以看出第5个图形是由52个小正方形拼成的。据此解答。
【详解】52＝5×5＝25（个）
即第5个图形是由25个小正方形拼成的。
故答案为：C
【点睛】此题的解题关键是利用数与形的结合，通过观察图形，把图形中变化的规律转化成数字，多多练习，培养数感。
3．A
【分析】根据图示，第1个方框中的点为：1个；第2个方框中的点为：1＋4＝5（个）；第3个方框中的点为：1＋4＋4＝9（个）；第4个方框中的点为：1＋4＋4＋4＝12（个）；则第n个方框中的点为：1＋4（n－1）＝（4n－3）个。据此解答。
【详解】第⑧个方框里应画的点数为：
4n－3＝4×8－3
＝32－3
＝29（个）
则第⑧个方框里应画29个点。
故答案为：A
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
4．C
【分析】观察可知，方框中的圆点数量如，中间4圆点可以呈现出一定的规律性，再根据圆点的呈现方式进行选择。
【详解】如图，具有一定的规律性。
故答案为：C
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
5．A
【分析】根据“三角形数”的规律是：1，3，6，10，15，21，28，36，45…，而“正方形数”是两个相邻“三角形数”之和，据此逐项判断即可。
【详解】A．25＝9＋16；25＝52，是正方形数，9和16不是三角形数，不符合规律，符合题意；
B．36＝15＋21；36＝62，是正方形数，15和21是相邻的三角形数，符合规律，不符合题意；
C．49＝21＋28；49＝72，是正方形数，21和28是相邻的三角形数，符合规律，不符合题意；
D．64＝28＋36；64＝82，是正方形数，28和36是相邻的三角形数，符合规律，不符合题意。
故答案为：A
【点睛】解答本题的关键是找清楚“三角形数”和“正方形数”的关系，从而进行求解。
6．A
【分析】摆1个六边形需要1根小棒，摆2个六边形需要根小棒，摆3个六边形需要根小棒，，摆个六边形需要根小棒，据此解答即可。
【详解】摆30个六边形要用：
（根）
所以摆30个六边形要用151根小棒。
故答案为：A
【点睛】本题考查数与形，解答本题的关键是找到题中的规律。
7． 24 23
【分析】把左右两边的4人单独看，则一张桌子对应4个人，一张桌子坐4＋1×4＝8 （人） ， 2张桌子坐4＋2×4＝12人，3张桌子坐4＋3×4＝16（人），则n张桌子可以坐（4＋4n）人，据此解答即可。
【详解】这样的5张桌子连在一起可以坐的人数为：
4＋4n＝4＋4×5
＝4＋20
＝24
则这样的5张桌子连在一起可以坐24人；
4＋4n＝96
解：4＋4n－4＝96－4
4n＝92
4n÷4＝92÷4
n＝23
则坐96人需要23张桌子。
【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
8．(1)10
(2) 45 55
【分析】观察图形可知：
第1个图形：白色三角形有0个，黑色三角形有1个；
第2个图形：白色三角形有1个，1＝0＋1；黑色三角形有3个，3＝1＋2；
第3个图形：白色三角形有3个，3＝1＋2；黑色三角形有6个，6＝1＋2＋3；
第4个图形：白色三角形有6个，6＝1＋2＋3；黑色三角形有10个，10＝1＋2＋3＋4；
……
第n个图形中白色三角形的个数：0＋1＋2＋3＋…＋（n－1）＝n（n－1）；
第n个图形中黑色三角形的个数：1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n＋1）；
据此规律解答。
【详解】（1）规律：第n个图形中白色三角形有n（n－1）个；
当n＝5时，白色三角形有：
n（n－1）
＝×5×（5－1）
＝×5×4
＝10（个）
第5个图形中白色三角形的个数有10个。
（2）规律：第n个图形中白色三角形有n（n－1）个，黑色三角形有n（n＋1）个；
当n＝10时，白色三角形有：
n（n－1）
＝×10×（10－1）
＝×10×9
＝45（个）
当n＝10时，黑色三角形有：
n（n＋1）
＝×10×（10＋1）
＝×10×11
＝55（个）
第10个图形中白色三角形的个数有45个，黑色三角形的个数有55个。
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
9．42
【分析】观察图形可知：第①幅图中的小正方形一共有1行，每行2个，第②幅图中的小正方形一共有2行，每行3个，第③幅图中的小正方形一共有3行，每行4个，第④幅图中的小正方形一共有4行，每行5个，据此类推，第n幅图中小正方形一共有n行，每行有（n＋1）个， 把n＝6代入，算出第⑥幅图中一共有多少小正方形即可。
【详解】由分析可知：
6×（6＋1）
＝6×7
＝42（个）
所以第⑥幅图中一共有42个小正方形。
【点睛】本题重点考查数与形的规律，明确行数和列数之间的关系是解答本题的关键。
10． 16 2n－1
【分析】第一幅图有（1－1）×（1－1）（个）●；第二幅图有（2－1）×（2－1）（个）●；第三幅图有（3－1）×（3－1）（个）●； .....第5幅图有（5－1）×（5－1）（个）●。第一幅图有（2×1－1）（个）O；第二幅图有（2×2－1）（个）O；第三幅图有（2×3－1）（个）O； 第n幅图中的△照此规律即可求。
【详解】第5幅图中●的个数为：（5－1）×（5－1）
＝4×4
＝16
则第5幅图中有16个●，第n幅图中有（2n－1）个△。
【点睛】仔细观察，比较总结出规律是解决本题的关键。
11． 10 6 2（n＋3）
【分析】根据题意，图中每个小长方形的宽是1厘米。第1个图形正方形的周长＝2×4＝8（厘米），观察图形可以发现，第2个图形的周长比正方形的周长多了2厘米，是2×4＋2＝2×5＝10（厘米）；第3个图形的周长比正方形的周长多了4厘米，是2×4＋4＝2×6＝12（厘米）。以此类推，第n个图形的周长＝2（n＋3）。
图形的周长是18厘米，则2（n＋3）＝18，根据等式的性质解出方程即可得出图形的序号。
【详解】2×4＋2
＝8＋2
＝10（厘米）
则第2个图形的周长是10厘米；
通过分析，第n个图形的周长是2（n＋3）厘米；
2（n＋3）＝18
解：n＋3＝18÷2
n＋3＝9
n＝6
则第6个图形的周长是18厘米。
【点睛】本题考查数形结合问题。通过观察、计算和分析，发现图形的周长与序号之间的关系是解题的关键。
12．5；9；13；21；1＋4n
【分析】每增加1个正方体就增加4个露在外面的面，所以露在外面的面的个数＝5＋（总个数－1）×4。
【详解】露在外面的面的个数＝5＋（n－1）×4。
＝5＋4n－4
＝1＋4n
第几幅图 1 2 3 5 … n
共几个面在外面 5 9 13 21 … 1＋4n
【点睛】掌握图形的变化规律是解题的关键。
13．16
【分析】由图可知：第1个图中有4＝2×（1＋1）个实心圆，第2个图中有6＝2×（2＋1）个实心圆；第3个图中有8＝2×（3＋1）个实心圆……第n个图中有2×（n＋1）个实心圆；将n＝7代入计算即可。
【详解】第1个图中有4个实心圆，第2个图中有6个实心圆，第3个图中有8个实心圆……，按此规律，第7个图中有2×（7＋1）＝2×8＝16个实心圆。
【点睛】本题主要考查数与形，找出其中的变化规律是解题的关键。
14． 36
【分析】因为是用一根长48厘米的绳子在地上摆正方形，那么在每个图形中，所有正方形的周长之和就是48厘米；正方形的边长等于周长÷4，正方形的面积等于边长×边长；
因为第二个图形中围成两个一样的正方形，所以第二个图形的每个正方形的边长为第一个图形边长的一半，面积也是它的一半；
当围成3个小正方形时，边长为第一个的三分之一，面积也是三分之一。
以此类推：围成n个小正方形时，边长为第一个的n分之一，面积也是n分之一，据此解答即可。
【详解】根据分析可得：
围成一个正方形：
48÷4＝12（厘米）
12×12＝144（平方厘米）
围成2个正方形：
12÷2＝6（厘米）
144÷2＝72（平方厘米）
围成3个正方形：
12÷3＝4（厘米）
144÷3＝48（平方厘米）
围成4个正方形：
12÷4＝3（厘米）
144÷4＝36（平方厘米）
围成n个小正方形时，边长为第一个的n分之一，也就是12×＝（厘米），面积也是n分之一，也就是144×＝（平方厘米）。
当这根绳子摆出4个正方形时，正方形的总面积是36平方厘米，当这根绳子摆出n个正方形时，正方形的边长是厘米。
【点睛】本题考查了图形的变化规律，通过观察图形，得出图形的变化与边长及其面积的规律，并能应用规律解决问题。
15．（1）见详解
（2）见详解；
（3）1
【分析】（1）正方形表示“1”，先把正方形平均分成2份，一份是，剩下的也是；然后把剩下的图形平均分成2份，一份是，剩下的也是；再把剩下的图形平均分成2份，一份是，剩下的也是；最后把剩下的图形平均分成2份，一份是，剩下的也是，据此在图中用阴影表示。
（2）计算，通过画图发现最后剩下的是，与算式中最后一个分数相同，那么用整个正方形“1”减去，即是阴影部分，也就是的和，这样计算更简便。
（3）如果在图中继续如上的操作，把剩下的图形平均分成2份，一份是，剩下的也是…，会发现…的和越来越接近于整个正方形，即1。
【详解】（1）如图：
（2）用1减去图形没有涂色部分的分数（与算式中最后一个分数相同），计算更简便。
计算过程如下：
（3）如图：
如果在图中继续你的操作，会发现…的和越来越接近于1。
【点睛】通过画图，发现这组算式的规律，利用规律解答。
16．14张
【分析】根据图示，一张桌子可以坐4×1＋2＝6（人），两张桌子可以坐4×2＋2＝10（人）……，n张桌子可以坐（4n＋2）人，据此可知桌子的张数等于人数减2的差除以4；据此解答。
【详解】（58－2）÷4
＝56÷4
＝14（张）
答：接待58人需要准备14张桌子。
【点睛】本题考查了数与形的组合知识，结合找出规律，难度一般。
17．绿色6个；蓝色18个；绿色10个；蓝色26个；见详解
【分析】第1个图形，有1个绿色小正方形，8个蓝色小正方形，8＝2×1＋6；
第2个图形，有2个绿色小正方形，10个蓝色小正方形，10＝2×2＋6；
第3个图形，有3个绿色小正方形，12个蓝色小正方形，12＝2×3＋6；
第4个图形，有4个绿色小正方形，14个蓝色小正方形，14＝2×4＋6；
……
规律：第n个图形，有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形；据此解答。
【详解】规律：第n个图形，有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形。
当n＝6时，有6个绿色小正方形；
蓝色小正方形有：
2n＋6
＝2×6＋6
＝12＋6
＝18（个）
当n＝10时，有10个绿色小正方形；
蓝色小正方形有：
2n＋6
＝2×10＋6
＝20＋6
＝26（个）
答：照这样接着画下去，第6个图形有6个绿色小正方形和18个蓝色小正方形。第10个图形有10个绿色小正方形和26个蓝色小正方形。
道理：从图中发现规律：第n个图形有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形。
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
18．（1）82，352
（2）22＋2×7×2＋72
图见详解
【分析】根据题意，用算式中的数分别构造两个正方形和两个长方形。这四个图形的面积相加正好是大正方形的面积，由此可知：
图①：12＋1×3×2＋32＝（1＋3）2＝42
图②：22＋2×5×2＋52＝（2＋5）2＝72
图③：42＋4×6×2＋62＝（4＋6）2＝102
也就是说a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，据此规律解答即可。
【详解】（1）根据当当发现的规律填空：
32＋3×5×2＋52＝（3＋5）2＝82
162＋16×19×2＋192＝（16＋19）2＝352
（2）你能根据当当发现的规律，把如图这个正方形分成四块，用算式表示出来如下：
22＋2×7×2＋72＝92；
图如下：
【点睛】本题考查了数与形的组合知识，结合题意分析解答即可。
19．（1）见详解（2）45个；55个
【分析】（1）第一个图形，白色三角形数量为0个，黑色三角形数量为1＝1个；
第二个图形，白色三角形数量为0＋1＝1个，黑色三角形数量为1＋2＝3个；
第三个图形，白色三角形数量为0＋1＋2＝3个，黑色三角形数量为1＋2＋3＝6个；
第四个图形，白色三角形数量为0＋1＋2＋3＝6个，黑色三角形数量为1＋2＋3＋4＝10个；
……
以此类推：
第n个图形，白色三角形数量为：1＋2＋……＋（n－1）个，黑色三角形数量为：1＋2＋……＋n个，据此解答。
【详解】（1）由分析得：
图号 ① ② ③ ④
白色三角形个数 0 1 3 6
黑色三角形个数 1 3 6 10
（2）白色三角形的个数：
1＋2＋……＋9＝45（个）
黑色三角形的个数：
1＋2＋……＋10＝55（个）
答：照这样的规律画下去，第10个图形中有45个白色三角形、55个黑色三角形。
【点睛】掌握图形的变化规律是解题的关键。
20．（1）5；4
（2）72－62＝7＋6
（3）210
【分析】观察算式规律可得：相邻两个数的平方差等于这两个数的和，由此按规律解答即可。
【详解】（1）52－42＝5＋4
（2）72－62＝7＋6（答案不唯一）
（3）202－192＋182－172＋162－152＋…＋22－12
＝20＋19＋18＋17＋…＋3＋2＋1
＝（20＋1）×20÷2
＝21×20÷2
＝420÷2
＝210
【点睛】此题考查数与形结合的规律，进一步培养学生的观察能力和总结能力。
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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