哈尔滨市第九中学2023-2024学年度
高二上学期9月份考试数学试卷
（考试时间：120分钟满分150分）
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题分别给出四个选项，只有一个选项符合题意）
1．空间向量（）
A． B． C． D．
2．点关于坐标平面yOz对称的点B的坐标为（）
A． B． C． D．
3．设向量，，不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（）
A． B． C． D．
4．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（）
A． B． C． D．
5．如图，平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，则下列向量中与相等的向量是（）
A． B． C． D．
6．已知，，则的最小值为（）
A． B． C． D．
7，如图，在一个60°的二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且，，，则CD的长为（）cm．
A． B． C．5 D．
8．如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为（）
A． B． C． D．
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9．空间直角坐标系中，坐标原点到下列各点的距离不大于5的是（）
A． B． C． D．
10．以下关于向量的说法正确的有（）
A．若空间向量，，满足，则
B．若空间向量，，满足，则
C．若空间向量，满足，，则
D．若空间向量，满足，，则
11．已知向量，，则下列结论中正确的是（）
A．若，则 B．若，则
C．不存在实数，使得 D．若，则
12．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）．把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（）
A．
B．若M为线段CQ上的一个动点，则的最大值为2
C．点P到直线CQ的距离是
d．异面直线CQ与所成角的正切值为
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量，，且，则______．
14．已知向量，，，若，，共面，则x等于______．
15．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为______．
16．三棱锥中，PA，PB，PC两两垂直，，点Q为平面ABC内的动点，且满足，记直线PQ与直线AB的所成角为，则的取值范围为______．
四．解答题（本大题共6题，满分70分解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）
17．（本小题满分10分）
如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动．
（1）证明：；
（2）求平面的法向量．
18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，四边形ABCD为梯形，，，，，，M，N分别是PD，PB的中点．
（1）求证：直线平面ABCD；
（2）求平面MCN与平面ABCD夹角的余弦值．
19．（本小题满分12分）
如图，已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，．
（1）求直线BF与平面ABCD的夹角；
（2）求点A到平面FBD的距离．
20．（本小题满分12分）
空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作．
（1）若，，求的斜60°坐标；
（2）在平行六面体中，，，，如图建立“空间斜60°坐标系”．
①若，求向量的斜60°坐标；
②若，且，求．
21．（本小题满分12分）
如图，在四棱台中，底面ABCD是菱形，，，，平面ABCD．
（1）若点M是AD的中点，求证：平面；
（2）棱BC上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为？若存在，求线段CE的长；若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）
如图，圆锥SO，S为顶点，O是底面的圆心，AE为底面直径，，圆锥高，点P在高SO上，是圆锥SO底面的内接正三角形．
（1）若，证明：平面PBC；
（2）点P在高SO上的动点，当PE和平面PBC所成角的正弦值最大时，求三棱锥的体积．
2023年高二数学9月月考参考答案
1-8BBCCDCDA 9．ABD 10．BD 11．ACD 12．BCD
13． 14．1 15． 16．
17．【详解】（1）以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，，设，，所以，
所以．
（2），，，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
平面的法向量为，（答案不唯一）
18．【详解】（1）连接BD，∵M，N分别是PD，PB的中点．∴，
又∵平面ABCD，平面ABCD
∴直线平面ABCD．
（2）∵，，，
∴，，
∴，，∴AB，AD，AP两两之间互相垂直，
以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，
又∵M，N分别是PD，PB的中点，∴，，
∴，，，
设平面MCN的法向量为，
由可得
解得，令可得法向量，
∵，，，平面ABCD，
∴平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量，
，
令平面MCN与平面ABCD夹角为且为锐角，
∴，
∴平面MCN与平面ABCD夹角的余弦值为．
19．【详解】（1）设，因为菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，所以易得平面ABCD，以O点为坐标原点，以OD所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，过O点且平行于AF的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系．
由已知得，，
因为z轴垂直于平面ABCD，因此可令平面ABCD的一个法向量为，
又，设直线BF与平面ABCD的夹角为，
则有，即，
所以直线BF与平面ABCD的夹角为．
（2）由（1）空间直角坐标系，得，，所以，，
可设平面FBD的法向量为，则，得，
令，得，，即，
又因为，所以点A到平面FBD的距离为．
20．【详解】（1）解：由，，知，，
所以，所以；
（2）解：设分别为与、、同方向的单位向量，
则，，，
①
②由题，
因为，所以，
由知
则．
21．【详解】（1）方法一：连接，由已知得，，且，
所以四边形是平行四边形，即，
又平面，平面，所以平面．
方法二：连接，，由已知得，且，
，即
又平面，平面，所以平面．
（2）取BC中点Q，连接AQ，由题易得是正三角形，所以，即，
由于平面ABCD，分别以AQ，AD，为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，
，，，，
假设点E存在，设点E的坐标为，，
，，
设平面的法向量，则，
即，可取，
又平面的法向量为，
所以，解得：．
由于二面角为锐角，则点E在线段QC上，所以，即．
故BC上存在点E，当时，二面角的余弦值为．
22．【详解】（1）因为，，所以是正三角形，则，
易知底面圆O，而底面圆O，所以，
又在中，，所以，
因为是正三角形，所以，
且，，所以，，
同理可证，
又，平面PBC，所以平面PBC；
（2）如图，因为，所以以点O为原点，平行于CB方向为x轴，以OE方向为y轴，以OS方向为z轴，建立以O为原点的空间直角坐标系，
设，，∴，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，故，
设直线和平面PBC所成的角为，
则
，
当且仅当，即时，PE所在直线和平面PBC所成角的正弦值最大，
故．
