2023-2024人教A版数学必修第一册综合测试第二章 2.3 第2课时一元二次不等式的应用（解析版）

第二章 2.3第2课时　一元二次不等式的应用
一、单项选择题
1．不等式≥0的解集为(　　)
A．{x|－1C．{x|－1≤x≤1} D．{x|－12．关于x的不等式＜0(其中a＜－1)的解集为(　　)
A. B.
C. D.
3．已知A＝{x|1A．1≤a≤2 B．14．若不等式x2＋px＋q<0的解集是{x|10的解集是(　　)
A．{x|1B．{x|x<－1或x>6}
C．{x|－1D．{x|x<－1或16}
5．已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a－2)x－1≥0的解集为 ，则实数a的取值范围是(　　)
A．－2≤a≤ B．－2≤a<
C．－6．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，每件售价可定为(　　)
A．12元 B．14元 C．16元 D．18元
7．不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0的解集为R，则m的取值范围为(　　)
A．m＝－1 B．－C．m＝3 D.8．某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h有如下关系：s＝－2x＋x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于22.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为(　　)
A．35 km/h B．40 km/h
C．45 km/h D．50 km/h
二、多项选择题
9．已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
10．已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)，则下列说法正确的是(　　)
A．若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，则k＝－
B．若不等式的解集为，则k＝
C．若不等式的解集为R，则k<－
D．若不等式的解集为 ，则k≥
11．据市场调查：某杂志价格愈高，购买的人愈少；价格愈低，购买的人愈多．现有该杂志，若每本定价2元，则可以发行10万本，若每本价格提高0.2元，发行量就减少5000本，要使总收入不低于22.4万元，则(　　)
A．每本杂志最高定价为3.5元
B．每本杂志最低定价为2.8元
C．当每本杂志定价为3.2元时，总收入最高
D．当总收入最高时，可以发行75000本
12．关于x的不等式(x－2)(x－3)A．当m＝0时，x1＝2，x2＝3
B．若不等式的解集非空，则m>－
C．当m>0时，2D．当m>0时，x1<2<3三、填空题
13.≤0的解集为________．
由数轴穿根法得x≤－1或3≤x<5.
14．已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0(k≠0)恒成立，则实数k的取值范围是________．
15．若关于x的方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，则m的取值范围是________．
16．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x%，八月份的销售额比七月份增加x%，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7000万元，则x的最小值为________，八月份的销售额至少为________万元．
四、解答题
17．解下列不等式：
(1)＜0；(2)≤2；(3)<0.
18．已知y＝ax2＋x－a.
(1)若函数y有最大值，求实数a的值；
(2)若不等式y＞－2x2－3x＋1－2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．
19．设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈{x|1≤x≤3}，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
20．某自来水厂的蓄水池存有400 t水，水厂每小时可向蓄水池中注水60 t，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t h内供水总量为120(0≤t≤24)．
(1)从供水开始到第几个小时蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？
(2)若蓄水池中水量少于80 t时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24 h内，有几个小时出现供水紧张现象？
第2课时　一元二次不等式的应用
一、单项选择题
1．不等式≥0的解集为(　　)
A．{x|－1C．{x|－1≤x≤1} D．{x|－1答案　B
解析　原不等式 ∴－1≤x＜1.
2．关于x的不等式＜0(其中a＜－1)的解集为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　将原不等式变形，得(ax－1)(x＋1)＜0，又a＜－1，∴(x＋1)＞0，解得x＜－1或x＞.
则原不等式的解集为.
3．已知A＝{x|1A．1≤a≤2 B．1答案　A
解析　方程x2－2ax＋a2－1＝0的两根为a＋1，a－1，且a＋1>a－1，所以B＝{x|a－14．若不等式x2＋px＋q<0的解集是{x|10的解集是(　　)
A．{x|1B．{x|x<－1或x>6}
C．{x|－1D．{x|x<－1或16}
答案　D
解析　由题意知x2＋px＋q＝(x－1)(x－2)，则待解不等式等价于(x－1)(x－2)(x2－5x－6)>0 (x－1)(x－2)(x－6)(x＋1)>0 x<－1或16.
5．已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a－2)x－1≥0的解集为 ，则实数a的取值范围是(　　)
A．－2≤a≤ B．－2≤a<
C．－答案　C
解析　①当a2－4＝0，即a＝±2时，若a＝2，不等式化为－1≥0，其解集为 ，因此a＝2满足题意；若a＝－2，不等式化为－4x－1≥0，即x≤－，不满足题意．②当a2－4≠0，即a≠±2时，∵不等式的解集为空集，∴解得－6．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，每件售价可定为(　　)
A．12元 B．14元 C．16元 D．18元
答案　B
解析　设销售价定为每件x元，利润为y元，则有y＝(x－8)[100－10(x－10)]，依题意得，(x－8)[100－10(x－10)]>320，即x2－28x＋192<0，解得127．不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0的解集为R，则m的取值范围为(　　)
A．m＝－1 B．－C．m＝3 D.答案　B
解析　①若m2－2m－3＝0，即m＝3或－1，m＝3时，原不等式化为－1<0，显然成立，m＝－1时，原不等式不恒成立，故m≠－1.②若m2－2m－3≠0，则解得－8．某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h有如下关系：s＝－2x＋x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于22.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为(　　)
A．35 km/h B．40 km/h
C．45 km/h D．50 km/h
答案　C
解析　由题设条件应列式为－2x＋x2≥22.5，移项、整理、化简得不等式x2－36x－405≥0.因为Δ>0，所以方程x2－36x－405＝0有两个实数根x1＝－9，x2＝45，所以不等式的解集为{x|x≤－9或x≥45}．在这个实际问题中x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为45 km/h.故选C.
二、多项选择题
9．已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
答案　ABC
解析　若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，因为y＝x2－6x＋a的对称轴为x＝3，则解得510．已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)，则下列说法正确的是(　　)
A．若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，则k＝－
B．若不等式的解集为，则k＝
C．若不等式的解集为R，则k<－
D．若不等式的解集为 ，则k≥
答案　ACD
解析　因为不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，所以k<0，且－3与－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，所以(－3)＋(－2)＝，解得k＝－，故A正确；因为不等式的解集为，所以解得k＝－，故B错误；由题意，得解得k<－，故C正确；由题意，得解得k≥，故D正确．故选ACD.
11．据市场调查：某杂志价格愈高，购买的人愈少；价格愈低，购买的人愈多．现有该杂志，若每本定价2元，则可以发行10万本，若每本价格提高0.2元，发行量就减少5000本，要使总收入不低于22.4万元，则(　　)
A．每本杂志最高定价为3.5元
B．每本杂志最低定价为2.8元
C．当每本杂志定价为3.2元时，总收入最高
D．当总收入最高时，可以发行75000本
答案　BD
解析　设每本价格提高0.2x(0≤x≤20)元，则发行量减少5000x本，提价后的单价为(2＋0.2x)元，发行量为(100000－5000x)本．由题意得(2＋0.2x)(100000－5000x)≥224000，即x2－10x＋24≤0，解得4≤x≤6.当x＝6时，最高定价为2＋0.2x＝3.2(元)，故A错误；当x＝4时，最低定价为2＋0.2x＝2.8(元)，故B正确；故每本杂志的定价应在2.8元到3.2元之间(包括2.8元和3.2元)．令总收入为y元，则y＝(2＋0.2x)(100000－5000x)＝－1000(x2－10x)＋200000，∴当x＝5，即每本价格为3元时，总收入最高，故C错误；∵当x＝5时，发行量为100000－5000×5＝75000本，∴当总收入最高时，可以发行75000本，故D正确．
12．关于x的不等式(x－2)(x－3)A．当m＝0时，x1＝2，x2＝3
B．若不等式的解集非空，则m>－
C．当m>0时，2D．当m>0时，x1<2<3答案　ABD
解析　当m＝0时，原不等式为(x－2)(x－3)<0，解得20，∴m>－，故B正确；由m>0，知不等式的解集非空，则x1，x2为方程x2－5x＋6－m＝0的两个根，∴x1＋x2＝5，x1x2＝6－m<6，又2＋3＝5,2×3＝6，∴|x1－x2|>|3－2|＝1，∴x1<2，x2>3，即x1<2<3三、填空题
13.≤0的解集为________．
答案　{x|x≤－1或3≤x<5}
解析　≤0可化为
由数轴穿根法得x≤－1或3≤x<5.
14．已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0(k≠0)恒成立，则实数k的取值范围是________．
答案　－1解析　由题意可得解得－115．若关于x的方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，则m的取值范围是________．
答案　{m|m≥25}
解析　令f(x)＝8x2－(m－1)x＋m－7.
∵方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，
∴由二次函数图象，得
解得∴m的取值范围是{m|m≥25}．
16．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x%，八月份的销售额比七月份增加x%，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7000万元，则x的最小值为________，八月份的销售额至少为________万元．
答案　20　720
解析　由题意得七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，所以一月份至十月份的销售总额为3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7000，解得1＋x%≤－(舍去)或1＋x%≥，即x%≥20%，所以x的最小值为20，八月份的销售额至少为500×(1＋20%)2＝720万元．
四、解答题
17．解下列不等式：
(1)＜0；(2)≤2；(3)<0.
解　(1)由＜0，得＞0，
此不等式等价于(x＋4)(x－3)>0，
∴原不等式的解集为{x|x<－4或x>3}．
(2)移项得－2≤0，
左边通分并化简有≤0，即≥0，
同解不等式组为
∴x<2或x≥5.
∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}．
(3)原不等式 ＞0 (x＋3)(x＋2)·(x－1)(x－3)＞0.
令(x＋3)(x＋2)(x－1)(x－3)＝0，
则有x1＝－3，x2＝－2，x3＝1，x4＝3.
如图，由图可知，原不等式的解集为{x|x＜－3或－2＜x＜1或x＞3}．
18．已知y＝ax2＋x－a.
(1)若函数y有最大值，求实数a的值；
(2)若不等式y＞－2x2－3x＋1－2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．
解　(1)显然a＜0，且＝，
解得a＝－2或a＝－.
(2)由y＞－2x2－3x＋1－2a，得
(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0.
当a＝－2时，不符合题意；当a≠－2时，得
解得a＞2.
综上，a的取值范围为a>2.
19．设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈{x|1≤x≤3}，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
解　(1)若m＝0，显然－1<0恒成立；
若m≠0，则 －4∴m的取值范围为{m|－4(2)f(x)<－m＋5恒成立，即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，
∵x2－x＋1＝2＋>0，
又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<.
∵函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，∴只需m<即可．
∴m的取值范围为.
20．某自来水厂的蓄水池存有400 t水，水厂每小时可向蓄水池中注水60 t，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t h内供水总量为120(0≤t≤24)．
(1)从供水开始到第几个小时蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？
(2)若蓄水池中水量少于80 t时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24 h内，有几个小时出现供水紧张现象？
解　(1)设t h后蓄水池中的水量为y t，
则y＝400＋60t－120(0≤t≤24)，
令＝x，则x2＝6t，
∴t＝(0≤x≤12)．
∴y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40.
∵0≤x≤12，
故当x＝6，即t＝6时，y的最小值为40.
故从供水开始到第6 h时，蓄水池中水量最少，为40 t.
(2)依题意并结合(1)，令400＋10x2－120x<80，
得x2－12x＋32<0，解得4故16∵x2＝6t，∴16<6t<64.∴又－＝8，∴每天约有8 h供水紧张．