辽宁省朝阳市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．一元二次方程的应用（共1小题）
1．（2021 朝阳）某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于38元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
（3）设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？
二．二次函数综合题（共3小题）
2．（2023 朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M（m，0），交BC于点N，连接CM，PB，PC．△PCB的面积记为S1，△BCM的面积记为S2，当S1＝S2时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线上，直线MQ与直线BC交于点H，当△HMN与△BCM相似时，请直接写出点Q的坐标．
3．（2022 朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC．
（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．
（2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．
（3）动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2021 朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及对称轴；
（2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；
（3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，请直接写出点M的横坐标．
三．四边形综合题（共2小题）
5．（2023 朝阳）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接EA，将线段EA绕点E逆时针旋转，使点A落在射线CB上的点F处，连接EC．
【问题引入】
（1）请你在图1或图2中证明EF＝EC（选择一种情况即可）；
【探索发现】
（2）在（1）中你选择的图形上继续探索：延长FE交直线CD于点M．将图形补充完整，猜想线段DM和线段BF的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，AB＝3，延长AE至点N，使NE＝AE，连接DN．当△ADN的周长最小时，请你直接写出线段DE的长．
．
6．（2022 朝阳）【思维探究】
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．
小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明△ADE≌△ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的证明过程．
【思维延伸】
（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．
【思维拓展】
（3）在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝，AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长．
四．切线的判定与性质（共2小题）
7．（2021 朝阳）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，且∠AOD＝90°，点C是⊙O外一点，分别连接CA，CB、CD，CA交⊙O于点M，交OD于点N，CB的延长线交⊙O于点E，连接AD，ME，且∠ACD＝∠E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接DM，若⊙O的半径为6，tanE＝，求DM的长．
8．（2023 朝阳）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，分别交AC，BC于点D，E，点F在BC上，∠CDF＝∠ABD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若＝，tan∠CDF＝，BC＝，求⊙O的半径．
五．作图—复杂作图（共1小题）
9．（2023 朝阳）如图1，在 ABCD中，求作菱形EFGH，使其面积等于 ABCD的面积的一半，且点E，F，G，H分别在边AD，AB，BC，CD上．
小明的作法①如图2，连接AC，BD相交于点O．②过点O作直线l∥AD，分别交AB，CD于点F，H．③过点O作l的垂线，分别交AD，BC于点E，G．④连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH为所求作的菱形．
（1）小明所作的四边形EFGH是菱形吗？为什么？
（2）四边形EFGH的面积等于 ABCD的面积的一半吗？请说明理由．
六．几何变换综合题（共1小题）
10．（2021 朝阳）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．
（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；
（3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含
k的式子表示）．
七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
11．（2021 朝阳）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）
八．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
12．（2023 朝阳）如图，CD是一座东西走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路l上由南向北行驶，在A处测得桥头C在北偏东30°方向上，继续行驶500米后到达B处，测得桥头D在北偏东45°方向上．已知大桥CD长300米，求桥头C到公路l的距离．（结果保留根号）
九．用样本估计总体（共1小题）
13．（2022 朝阳）为了解学生的睡眠情况，某校随机抽取部分学生对他们最近两周的睡眠情况进行调查，得到他们每日平均睡眠时长x（单位：h）的一组数据，将所得数据分为四组（A：x＜8；B：8≤x＜9；C：9≤x＜10；D：x≥10），并绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次一共抽样调查了 名学生．
（2）求出扇形统计图中D组所对应的扇形圆心角的度数．
（3）将条形统计图补充完整．
（4）若该校共有1200名学生，请估计最近两周有多少名学生的每日平均睡眠时长大于或等于9h．
一十．列表法与树状图法（共1小题）
14．（2023 朝阳）某校在八年级开展了以“争创文明城市，建设文明校园”为主题的系列艺术展示活动，活动项目有“绘画展示”“书法展示”“文艺表演”“即兴演讲”四组（依次记为A，B，C，D）．学校要求八年级全体学生必须参加且只能参加其中的一个项目，为了解八年级学生对这几项活动的喜爱程度，随机抽取了部分八年级学生进行调查，并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次一共抽样调查了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校八年级共有600名学生，请估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数；
（4）学校从这四个项目中随机抽取两项参加“全市中学生才艺展示活动”．用列表法或画树状图法求出恰好抽到“绘画展示”和“书法展示”的概率．
辽宁省朝阳市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．一元二次方程的应用（共1小题）
1．（2021 朝阳）某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于38元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
（3）设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y＝﹣2x+120；
（2）30元；
（3）售价定为38元/件时，每天最大利润w＝792元．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由所给函数图象可知：，
解得，
故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+120；
（2）根据题意，得：（x﹣20）（﹣2x+120）＝600，
整理，得：x2﹣80x+1500＝0，
解得：x＝30或x＝50（不合题意，舍去），
答：每件商品的销售价应定为30元；
（3）∵y＝﹣2x+120，
∴w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+120）
＝﹣2x2+160x﹣2400
＝﹣2（x﹣40）2+800，
∵x≤38
∴当x＝38时，w最大＝792，
∴售价定为38元/件时，每天最大利润w＝792元．
二．二次函数综合题（共3小题）
2．（2023 朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M（m，0），交BC于点N，连接CM，PB，PC．△PCB的面积记为S1，△BCM的面积记为S2，当S1＝S2时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线上，直线MQ与直线BC交于点H，当△HMN与△BCM相似时，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）m的值为2；
（3）Q的坐标为（，）或（，）或（﹣2+2，﹣12+6）或（﹣2﹣2，﹣12﹣6）．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，
∴C（0，4），
由B（4，0），C（0，4）可得直线BC解析式为y＝﹣x+4，
∵直线l⊥x轴，M（m，0），
∴P（m，﹣m2+m+4），N（m，﹣m+4），
∴PN＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，
∴S1＝PN |xB﹣xC|＝×（﹣m2+2m）×4＝﹣m2+4m，
∵B（4，0），C（0，4），M（m，0），
∴S2＝BM |yC|＝×（4﹣m）×4＝8﹣2m，
∵S1＝S2，
∴﹣m2+4m＝8﹣2m，
解得m＝2或m＝4（P与B重合，舍去），
∴m的值为2；
（3）∵B（4，0），C（0，4），
∴OB＝OC，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠CBO＝45°，
∴△BMN是等腰直角三角形，
∴∠BNM＝∠MBN＝45°，
∵△HMN与△BCM相似，且∠MNH＝∠CBM＝45°，
∴H在MN的右侧，且＝或＝，
设H（t，﹣t+4），
由（2）知M（2，0），N（2，2），B（4，0），C（4，0），
∴BC＝4，BM＝2，MN＝2，NH＝＝|t﹣2|，
当＝时，如图：
∴＝，
解得t＝6或t＝﹣2（此时H在MN左侧，舍去），
∴H（6，﹣2），
由M（2，0），H（6，﹣2）得直线MH解析式为y＝﹣x+1，
解得或，
∴Q的坐标为（，）或（，）；
当＝时，如图：
∴＝，
解得t＝（舍去）或t＝，
∴H（，），
由M（2，0），H（，）得直线MH解析式为y＝3x﹣6，
解得或，
∴Q的坐标为（﹣2+2，﹣12+6）或（﹣2﹣2，﹣12﹣6）；
综上所述，Q的坐标为（，）或（，）或（﹣2+2，﹣12+6）或（﹣2﹣2，﹣12﹣6）．
3．（2022 朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC．
（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．
（2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．
（3）动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3，B（﹣3，0）；
（2）；
（3）N（﹣3，﹣）或（﹣2，1）或（0，3﹣3）．
【解答】解：（1）由题意得，
，
∴，
∴y＝x2+2x﹣3，
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
∴x1＝1，x2＝﹣3，
∴B（﹣3，0）；
（2）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x﹣3，
设点P（m，﹣m﹣3），Q（m，m2+2m﹣3），
∴PQ＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，
∴当m＝﹣时，PQ最大＝；
（3）如图1，
∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
作PD⊥y轴于D，
∴CD＝PD＝PC sin∠OCB＝＝t，
当BM＝PM时，
∴∠MPB＝∠OBC＝45°，
∵∠PMO＝∠PDO＝∠MOD＝90°，
∴四边形OMPD是矩形，
∴OM＝PD＝t，
由BM+OM＝OB得，
∴2t＝3，
∴t＝，
∴P（﹣，﹣），
∴N（﹣3，﹣），
如图2，
当PM＝PB时，作PD⊥y轴于D，作PE⊥x轴于E，
∴BM＝2BE，
可得四边形PDOE是矩形，
∴OE＝PD＝t，
∴BE＝3﹣t，
∴t＝2（3﹣t），
∴t＝2，
∴P（﹣2，﹣1），
∴N（﹣2，1），
如图3，
当PB＝MB时，
3﹣＝t，
∴t＝6﹣3，
∴P（3，3﹣3），
∴N（0，3﹣3），
综上所述：N（﹣3，﹣）或（﹣2，1）或（0，3﹣3）．
4．（2021 朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及对称轴；
（2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；
（3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，请直接写出点M的横坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，对称轴x＝1．
（2）P（1，1），或（1，2）．
（3）点M的坐标为或．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），点C（0，3）的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，得到，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，对称轴x＝﹣＝1．
（2）如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）．
∵点D与点C关于对称轴对称，C（0，3），
∴D（2，3），
∵B（3，0），
∴T（，），BD＝＝，
∵∠BPD＝90°，DT＝TB，
∴PT＝BD＝，
∴（1﹣）2+（m﹣）2＝（）2，
解得m＝1或2，
∴P（1，1）或（1，2）．
（3）当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T，设N（1，t），设抛物线的对称轴交x轴于E．
∵△BMN是等边三角形，
∴∠NMB＝∠NBM＝60°，
∵∠NBT＝90°，
∴∠MBT＝30°，BT＝BN，
∵∠NMB＝∠MBT+∠BTM＝60°，
∴∠MBT＝∠BTM＝30°，
∴MB＝MT＝MN，
∵∠NBE+∠TBJ＝90°，∠TBJ+∠BTJ＝90°，
∴∠NBE＝∠BTJ，
∵∠BEN＝∠TJB＝90°，
∴△BEN∽△TJB，
∴＝＝＝，
∴BJ＝t，TJ＝2，
∴T（3+t，2），
∵NM＝MT，
∴M（，），
∵点M在y＝﹣x2+2x+3上，
∴＝﹣（）2+2×+3，
整理得，3t2+（4+2）t﹣12+4＝0，
解得t＝﹣2（舍弃）或，
∴M（，）．
如图3﹣2中，当点M在第四象限时，设N（1，n），过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T．
同法可得T（3﹣n，﹣2），M（，），
则有＝﹣（）2+2×+3，
整理得，3n2+（2﹣4）n﹣12﹣4＝0，
解得n＝或2（舍弃），
∴M（，），
解法二：连接MA，证明∠MAB＝30°，求出直线AM的解析式，构建方程组确定点M的坐标即可．
综上所述，满足条件的点M的横坐标为或．
三．四边形综合题（共2小题）
5．（2023 朝阳）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接EA，将线段EA绕点E逆时针旋转，使点A落在射线CB上的点F处，连接EC．
【问题引入】
（1）请你在图1或图2中证明EF＝EC（选择一种情况即可）；
【探索发现】
（2）在（1）中你选择的图形上继续探索：延长FE交直线CD于点M．将图形补充完整，猜想线段DM和线段BF的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，AB＝3，延长AE至点N，使NE＝AE，连接DN．当△ADN的周长最小时，请你直接写出线段DE的长．
．
【答案】（1）证明见解答；
（2）DM＝BF．理由见解答；
（3）DE＝．
【解答】（1）证明：选择图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，
∵BE＝BE，
∴△BEA≌△BEC（SAS），
∴EA＝EC，
由旋转得：EA＝EF，
∴EF＝EC．
选择图2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，
∵BE＝BE，
∴△BEA≌△BEC（SAS），
∴EA＝EC，
由旋转得：EA＝EF，
∴EF＝EC．
（2）解：猜想DM＝BF．理由如下：
选择图1，过点F作FH⊥BC交BD于点H，
则∠HFB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠HFB＝∠BCD，
∴FH∥CD，
∴∠HFE＝∠M，
∵EF＝EC，
∴∠EFC＝∠ECF，
∵∠FCD＝90°，
∴∠EFC+∠M＝90°，∠ECD+∠ECF＝90°，
∴∠M＝∠ECM，
∴EC＝EM，
∴EF＝EM，
∵∠HEF＝∠DEM，
∴△HEF≌△DEM（ASA），
∴DM＝FH，
∵∠HBF＝45°，∠BFH＝90°，
∴∠BHF＝45°，
∴BF＝FH，
∴DM＝BF．
若选择图2，过点F作FH⊥BC交DB的延长线于点H，
则∠HFB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠HFB＝∠BCD，
∴FH∥CD，
∴∠H＝∠EDM，
∵EF＝EC，
∴∠EFC＝∠ECF，
∵∠EFC+∠FMC＝90°，∠ECF+∠ECM＝90°，
∴∠FMC＝∠ECM，
∴EC＝EM，
∴EF＝EM，
∵∠HEF＝∠DEM，
∴△HEF≌△DEM（AAS），
∴FH＝DM，
∵∠DBC＝45°，
∴∠FBH＝45°，
∴∠H＝45°，
∴BF＝FH，
∴DM＝BF．
（3）解：如图3，取AD的中点G，连接EG，
∵NE＝AE，
∴点E是AN的中点，
∴EG＝DN，
∵△ADN的周长＝AD+DN+AN＝3+2（AE+EG），
∴当△ADN的周长最小时，AE+EG最小，此时，C、E、G三点共线，如图4，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝3，AD∥BC，∠BAD＝90°，
在Rt△ABD中，BD＝3，
∵点G是AD的中点，
∴DG＝AD＝，＝，
∵AD∥BC，
∴△DEG∽△BEC，
∴＝＝，
∴BE＝2DE，
∵BE+DE＝BD＝3，
∴2DE+DE＝3，即3DE＝3，
∴DE＝．
6．（2022 朝阳）【思维探究】
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．
小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明△ADE≌△ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的证明过程．
【思维延伸】
（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．
【思维拓展】
（3）在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝，AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长．
【答案】（1）证明见解析部分；
（2）结论：CB+CD＝AC．证明见解析部分；
（3）OD的长为3﹣3或3﹣．
【解答】（1）证明：如图1中，延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．
∵∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠ADE+∠ADC＝180°
∴∠B＝∠ADE，
在△ADE和△ABC中，
，
∴△ADE≌△ABC（SAS），
∴∠DAE＝∠BAC，AE＝AC，
∴∠CAE＝∠BAD＝60°，
∴△ACE的等边三角形，
∴CE＝AC，
∵CE＝DE+CD，
∴AC＝BC+CD；
（2）解：结论：CB+CD＝AC．
理由：如图2中，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥CB交CB的延长线于点N．
∵∠DAB＝∠DCB＝90°，
∴∠CDA+∠CBA＝180°，
∵∠ABN+∠ABC＝180°，
∴∠D＝∠ABN，
∵∠AMD＝∠N＝90°，AD＝AB，
∴△AMD≌△ANB（AAS），
∴DM＝BN，AM＝AN，
∵AM⊥CD，AN⊥CN，
∴∠ACD＝∠ACB＝45°，
∴AC＝CM，
∵AC＝AC．AM＝AN，
∴Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），
∴CM＝CN，
∴CB+CD＝CN﹣BN+CM+DM＝2CM＝AC；
（3）解：如图3﹣1中，当∠CDA＝75°时，过点O作OP⊥CB于点P，CQ⊥CD于点Q．
∵∠CDA＝75°，∠ADB＝45°，
∴∠CDB＝30°，
∵∠DCB＝90°，
∴CD＝CB，
∵∠DCO＝∠BCO＝45°，OP⊥CB，OQ⊥CD，
∴OP＝OQ，
∴＝＝，
∴＝＝，
∵AB＝AD＝，∠DAB＝90°，
∴BD＝AD＝2，
∴OD＝×2＝3﹣3．
如图3﹣2中，当∠CBA＝75°时，同法可证＝，OD＝×2＝3﹣，
综上所述，满足条件的OD的长为3﹣3或3﹣．
四．切线的判定与性质（共2小题）
7．（2021 朝阳）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，且∠AOD＝90°，点C是⊙O外一点，分别连接CA，CB、CD，CA交⊙O于点M，交OD于点N，CB的延长线交⊙O于点E，连接AD，ME，且∠ACD＝∠E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接DM，若⊙O的半径为6，tanE＝，求DM的长．
【答案】（1）详见解答；
（2）．
【解答】解：（1）∵∠ACD＝∠E，∠E＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∴∠ODC＝∠AOD＝90°，
即OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AC于F，
∵⊙O的半径为6，tanE＝＝tan∠ACD＝tan∠OAN，
∴ON＝OA＝×6＝2，
∴DN＝OD﹣ON＝6﹣2＝4，
∴CD＝3DN＝12，
在Rt△CDN中，
CN＝＝＝4，
由三角形的面积公式可得，
CN DF＝DN CD，
即4DF＝4×12，
∴DF＝，
又∵∠AMD＝∠AOD＝×90°＝45°，
在Rt△DFM中，
DM＝DF＝×＝．
8．（2023 朝阳）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，分别交AC，BC于点D，E，点F在BC上，∠CDF＝∠ABD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若＝，tan∠CDF＝，BC＝，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）⊙O的半径为．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵AB是⊙O 的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BDF+∠CDF＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵∠CDF＝∠ABD，
∴∠ODB＝∠CDF，
∴∠ODB+∠BDF＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴DF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O 的切线；
（2）解：如图，连接AE，
∵＝，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵AB是⊙O 的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEB＝∠AEC，
∵AE＝AE，
∴△AEB≌△AEC（ASA），
∴AB＝AC，
∵tan∠CDF＝，∠CDF＝∠ABD，
∴tan∠ABD＝，
在Rt△ABD中，＝，
设AD＝4x，则BD＝3x，
∴AB＝＝5x，
∴AC＝5x，
∴CD＝x，
在Rt△BDC中，BD2+CD2＝BC2，
∴（3x）2+x2＝（）2，
∴x＝l，
∴5x＝5，
∴AB＝5，
∴OA＝，
∴⊙O的半径为．
五．作图—复杂作图（共1小题）
9．（2023 朝阳）如图1，在 ABCD中，求作菱形EFGH，使其面积等于 ABCD的面积的一半，且点E，F，G，H分别在边AD，AB，BC，CD上．
小明的作法①如图2，连接AC，BD相交于点O．②过点O作直线l∥AD，分别交AB，CD于点F，H．③过点O作l的垂线，分别交AD，BC于点E，G．④连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH为所求作的菱形．
（1）小明所作的四边形EFGH是菱形吗？为什么？
（2）四边形EFGH的面积等于 ABCD的面积的一半吗？请说明理由．
【答案】（1）是；
（2）四边形EFGH的面积等于 ABCD的面积的一半．
【解答】解：（1）小明所作的四边形EFGH是菱形．
理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，
∴∠OAF＝∠OCH，
在△AOF和△COH中，
，
∴△AOF≌△COH（ASA），
∴OF＝OH，
同理可得OE＝OG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EG⊥FH，
∴四边形EFGH是菱形；
（2）四边形EFGH的面积等于 ABCD的面积的一半．
理由如下：
∵FH∥AD，AB∥CD，
∴四边形AFHD为平行四边形，
∴FH＝AD，
∵菱形EFGH的面积＝FH EG，平行四边形ABCD的面积＝AD EG，
∴菱形EFGH的面积＝平行四边形ABCD的面积的一半．
六．几何变换综合题（共1小题）
10．（2021 朝阳）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．
（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；
（3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含
k的式子表示）．
【答案】（1）（2）见以上证明；（3）＝．
【解答】解：（1）OM＝ON，
如图1，
作OD⊥AM于D，OE⊥CB于E，
∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°，
∴∠DOE＝90°，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
在Rt△AOD中，
OD＝OA．sin∠A＝OA．sin45°＝OA，
同理：OE＝OB，
∵OA＝OB，
∴OD＝OE，
∵∠DOE＝90°，
∴∠DOM+∠MOE＝90°，
∵∠MON＝90°，
∴∠EON+∠MOE＝90°，
∴∠DOM＝∠EON，
在Rt△DOM和Rt△EON中，
，
∴△DOM≌△EON（ASA），
∴OM＝ON．
（2）如图2，
作OD⊥AM于D，OE⊥BC于E，
由（1）知：OD＝OA，OE＝OB，
∴＝＝，
由（1）知：
∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°，
∴△DOM∽△EON，
∴＝＝，
∴ON＝k OM．
（3）如图3，
设AC＝BC＝a，
∴AB＝a，
∵OB＝k OA，
∴OB＝ a，OA＝ a，
∴OE＝OB＝a，
∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°﹣15°＝30°，
∴EN＝＝OE＝ a，
∵CE＝OD＝OA＝a，
∴NC＝CE+EN＝a+ a，
由（2）知：＝＝，△DOM∽△EON，
∴∠M＝∠N
∵＝，
∴＝，
∴△PON∽△AOM，
∴∠P＝∠A＝45°，∠AMO＝∠N＝30°，
∴PE＝OE＝a，
∴PN＝PE+EN＝a+ a，
设AD＝OD＝x，
∴DM＝，
由AD+DM＝AC+CM得，
（）x＝AC+CM，
∴x＝（AC+CM）＜（AC+）＝AC，
∴k＞1
∴＝＝，
∴＝．
七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
11．（2021 朝阳）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）
【答案】（9+4）m．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
则CH＝BD，BH＝CD＝1m，
由题意得：DF＝9m，
∴DG＝DF﹣FG＝6（m），
在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，
∵tan∠ACH＝＝tan30°＝，
∴BD＝CH＝AH，
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°．
由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG，
∴＝，
即＝，
解得：AH＝（8+4）m，
∴AB＝AH+BH＝（9+4）m，
即这棵古树的高AB为（9+4）m．
八．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
12．（2023 朝阳）如图，CD是一座东西走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路l上由南向北行驶，在A处测得桥头C在北偏东30°方向上，继续行驶500米后到达B处，测得桥头D在北偏东45°方向上．已知大桥CD长300米，求桥头C到公路l的距离．（结果保留根号）
【答案】桥头C到公路l的距离为400（1）米．
【解答】解：如图．延长DC交直线l于H，
设CH＝x米，根据题意得，∠DHA＝90°，
在Rt△AHC中，∠A＝30°，tan30°＝，
∴AH＝x米，
∵AB＝500米，
∴HB＝（x﹣500）米，
在Rt△BHD中，∠HBD＝45°，
∴HB＝HD，
∵HD＝（x+300）米，
∴x﹣500＝x+300，
解得x＝400（1）米，
答：桥头C到公路l的距离为400（1）米．
九．用样本估计总体（共1小题）
13．（2022 朝阳）为了解学生的睡眠情况，某校随机抽取部分学生对他们最近两周的睡眠情况进行调查，得到他们每日平均睡眠时长x（单位：h）的一组数据，将所得数据分为四组（A：x＜8；B：8≤x＜9；C：9≤x＜10；D：x≥10），并绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次一共抽样调查了 50 名学生．
（2）求出扇形统计图中D组所对应的扇形圆心角的度数．
（3）将条形统计图补充完整．
（4）若该校共有1200名学生，请估计最近两周有多少名学生的每日平均睡眠时长大于或等于9h．
【答案】（1）50；
（2）14.4°；
（3）见解答；
（4）720名．
【解答】解：（1）本次调查的学生人数为16÷32%＝50（名），
故答案为：50；
（2）表示D组的扇形圆心角的度数为360°×＝14.4°；
（3）A组人数为50﹣（16+28+2）＝4（名），
补全图形如下：
（4）1200×＝720（名）．
答：估计该校最近两周有720名学生的每日平均睡眠时长大于或等于9h．
一十．列表法与树状图法（共1小题）
14．（2023 朝阳）某校在八年级开展了以“争创文明城市，建设文明校园”为主题的系列艺术展示活动，活动项目有“绘画展示”“书法展示”“文艺表演”“即兴演讲”四组（依次记为A，B，C，D）．学校要求八年级全体学生必须参加且只能参加其中的一个项目，为了解八年级学生对这几项活动的喜爱程度，随机抽取了部分八年级学生进行调查，并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次一共抽样调查了 50 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校八年级共有600名学生，请估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数；
（4）学校从这四个项目中随机抽取两项参加“全市中学生才艺展示活动”．用列表法或画树状图法求出恰好抽到“绘画展示”和“书法展示”的概率．
【答案】（1）50；
（2）．
【解答】解：（1）12÷24%＝50（人），
所以本次一共抽样调查了50名学生；
故答案为：50；
（2）B组人数为50﹣18﹣5﹣12＝15（人），
条形统计图补充为：
（3）600×＝60（人），
所以估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数60人；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽到“绘画展示”和“书法展示”的结果数为2，
所以恰好抽到“绘画展示”和“书法展示”的概率＝＝．
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辽宁省朝阳市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2022 朝阳）先化简，再求值：÷+，其中x＝（）﹣2．
2．（2023 朝阳）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3．
3．（2021 朝阳）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝tan60°．
二．分式方程的应用（共2小题）
4．（2023 朝阳）某化工厂为了给员工创建安全的工作环境，采用A，B两种机器人来搬运化工原料．其中A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运1500千克所用时间与B型机器人搬运1000千克所用时间相等．
（1）求A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料；
（2）若每台A型，B型机器人的价格分别为5万元和3万元，该化工厂需要购进A，B两种机器人共12台，工厂现有资金45万元，则最多可购进A型机器人多少台？
5．（2021 朝阳）为了进一步丰富校园文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的进价比每个足球的进价多25元，用2000元购进篮球的数量是用750元购进足球数量的2倍，求：每个篮球和足球的进价各多少元？
三．一元一次不等式的应用（共1小题）
6．（2022 朝阳）某中学要为体育社团购买一些篮球和排球，若购买3个篮球和2个排球，共需560元；若购买2个篮球和4个排球，共需640元．
（1）求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元；
（2）该中学决定购买篮球和排球共10个，总费用不超过1100元，那么最多可以购买多少个篮球？
四．二次函数的应用（共2小题）
7．（2022 朝阳）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
8．（2023 朝阳）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x/元 … 12 13 14 …
每天销售数量y/件 … 36 34 32 …
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
五．相似三角形的判定与性质（共1小题）
9．（2022 朝阳）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AD是△AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．
六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
10．（2022 朝阳）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：≈1.7）
七．条形统计图（共1小题）
11．（2021 朝阳）“赏中华诗词，寻文化基因，品文学之美”，某校对全体学生进行了古诗词知识测试，将成绩分为一般、良好、优秀三个等级，从中随机抽取部分学生的测试成绩，根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
（1）求本次抽样调查的人数；
（2）在扇形统计图中，阴影部分对应的扇形圆心角的度数是 ；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）该校共有1500名学生，根据抽样调查的结果，请你估计测试成绩达到优秀的学生人数．
八．列表法与树状图法（共2小题）
12．（2022 朝阳）某社区组织A，B，C，D四个小区的居民进行核酸检测，有很多志愿者参与此项检测工作，志愿者王明和李丽分别被随机安排到这四个小区中的一个小区组织居民排队等候．
（1）王明被安排到A小区进行服务的概率是 ．
（2）请用列表法或画树状图法求出王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率．
13．（2021 朝阳）为了迎接建党100周年，学校举办了“感党恩 跟党走”主题社团活动，小颖喜欢的社团有写作社团、书画社团、演讲社团、舞蹈社团（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片正面，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小颖从中随机抽取一张卡片是舞蹈社团D的概率是 ；
（2）小颖先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母，请用列表法或画树状图法求出小颖抽取的两张卡片中有一张是演讲社团C的概率．
辽宁省朝阳市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2022 朝阳）先化简，再求值：÷+，其中x＝（）﹣2．
【答案】x，4．
【解答】解：原式＝ +
＝+
＝
＝
＝x，
∵x＝（）﹣2＝4，
∴原式＝4．
2．（2023 朝阳）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3．
【答案】，1．
【解答】解：原式＝[+]
＝
＝，
当x＝3时，原式＝＝1．
3．（2021 朝阳）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝tan60°．
【答案】；1+．
【解答】解：原式＝÷
＝×
＝．
x＝tan60°＝，代入得：原式＝＝1+．
二．分式方程的应用（共2小题）
4．（2023 朝阳）某化工厂为了给员工创建安全的工作环境，采用A，B两种机器人来搬运化工原料．其中A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运1500千克所用时间与B型机器人搬运1000千克所用时间相等．
（1）求A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料；
（2）若每台A型，B型机器人的价格分别为5万元和3万元，该化工厂需要购进A，B两种机器人共12台，工厂现有资金45万元，则最多可购进A型机器人多少台？
【答案】（1）A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运60千克化工原料；
（2）最多可购进A型机器人4台．
【解答】解：（1）设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运（x+30）千克化工原料，
根据题意得：＝，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意，
∴x+30＝60+30＝90．
答：A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运60千克化工原料；
（2）设购进m台A型机器人，则购进（12﹣m）台B型机器人，
根据题意得：5m+3（12﹣m）≤45，
解得：m≤，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为4．
答：最多可购进A型机器人4台．
5．（2021 朝阳）为了进一步丰富校园文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的进价比每个足球的进价多25元，用2000元购进篮球的数量是用750元购进足球数量的2倍，求：每个篮球和足球的进价各多少元？
【答案】每个足球的进价是75元，每个篮球的进价是100元．
【解答】解：设每个足球的进价是x元，则每个篮球的进价是（x+25）元，
依题意得：＝2×，
解得：x＝75，
经检验，x＝75是原方程的解，且符合题意，
∴x+25＝75+25＝100．
答：每个足球的进价是75元，每个篮球的进价是100元．
三．一元一次不等式的应用（共1小题）
6．（2022 朝阳）某中学要为体育社团购买一些篮球和排球，若购买3个篮球和2个排球，共需560元；若购买2个篮球和4个排球，共需640元．
（1）求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元；
（2）该中学决定购买篮球和排球共10个，总费用不超过1100元，那么最多可以购买多少个篮球？
【答案】（1）每个篮球的价格是120元，每个排球的价格是100元；
（2）最多可以购买5个篮球．
【解答】解：（1）设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，
根据题意得：，
解得，
∴每个篮球的价格是120元，每个排球的价格是100元；
（2）设购买m个篮球，
根据题意得：120m+100（10﹣m）≤1100，
解得m≤5，
答：最多可以购买5个篮球．
四．二次函数的应用（共2小题）
7．（2022 朝阳）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150；
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；
（3）每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
【解答】解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）函数关系式为：y＝kx+b，
由题意可知：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150；
（2）（﹣5x+150）（x﹣8）＝425，
解得：x1＝13，x2＝25（舍去），
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；
（3）w＝y（x﹣8），
＝（﹣5x+150）（x﹣8），
w＝﹣5x2+190x﹣1200，
＝﹣5（x﹣19）2+605，
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x＜19时，w随x的增大而增大，
∴当x＝15时，w有最大值，最大值为525．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
8．（2023 朝阳）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x/元 … 12 13 14 …
每天销售数量y/件 … 36 34 32 …
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y＝﹣2x+60；
（2）18元；
（3）当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由所给函数图象可知：
，
解得：，
故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+60；
（2）根据题意得：
（x﹣10）（﹣2x+60）＝192，
解得：x1＝18，x2＝22
又∵10≤x≤19，
∴x＝18，
答：销售单价应为18元．
（3）w＝（x﹣10）（﹣2x+60）＝﹣2x2+80x﹣600＝﹣2（x﹣20）2+200
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线 x＝20，
∴当10≤x≤19时，w随x的增大而增大，
∴当 x＝19 时，w有最大值，W最大＝198．
答：当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元．
五．相似三角形的判定与性质（共1小题）
9．（2022 朝阳）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AD是△AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵∠ACD＝∠B，∠B＝∠DAF，
∴∠DAF+∠DAC＝90°，
∴OA⊥AF，
∵OA是半径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解：作DH⊥AC于点H，
∵⊙O的半径为5，
∴AC＝10，
∵∠AHD＝∠ADC，∠DAH＝∠CAD，
∴△ADH∽△ACD，
∴，
∴AD2＝AH AC，
∴AH＝，
∵AD是△AEF的中线，∠EAF＝90°，
∴AD＝ED，
∴AE＝2AH＝．
六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
10．（2022 朝阳）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：≈1.7）
【答案】旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m．
【解答】解：延长DF交AB于点G，
由题意得：
DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，
设AG＝xm，
在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，
∴FG＝＝x（m），
∴DG＝DF+FG＝（x+8）m，
在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，
∴tan30°＝＝＝，
∴x＝4+4，
经检验：x＝4+4是原方程的根，
∴AB＝AG+BG≈12（m），
∴旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m．
七．条形统计图（共1小题）
11．（2021 朝阳）“赏中华诗词，寻文化基因，品文学之美”，某校对全体学生进行了古诗词知识测试，将成绩分为一般、良好、优秀三个等级，从中随机抽取部分学生的测试成绩，根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
（1）求本次抽样调查的人数；
（2）在扇形统计图中，阴影部分对应的扇形圆心角的度数是 90° ；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）该校共有1500名学生，根据抽样调查的结果，请你估计测试成绩达到优秀的学生人数．
【答案】（1）120；（2）90°；（3）见解答过程；（4）500．
【解答】解：（1）总人数＝50÷＝120（人）；
（2）阴影部分扇形的圆心角＝360°×＝90°，
故答案为：90°；
（3）优秀的人数为：120﹣30﹣50＝40（人），
条形统计图如图所示：
（4）测试成绩达到优秀的学生人数有：1500×＝500（人），
答：该校1500名学生中测试成绩达到优秀的学生大约有500人．
八．列表法与树状图法（共2小题）
12．（2022 朝阳）某社区组织A，B，C，D四个小区的居民进行核酸检测，有很多志愿者参与此项检测工作，志愿者王明和李丽分别被随机安排到这四个小区中的一个小区组织居民排队等候．
（1）王明被安排到A小区进行服务的概率是 ．
（2）请用列表法或画树状图法求出王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）王明被安排到A小区进行服务的概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：
A B C D
A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D）
由表知，共有16种等可能结果，其中王明和李丽被安排到同一个小区工作的有4种结果，
所以王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率为＝．
13．（2021 朝阳）为了迎接建党100周年，学校举办了“感党恩 跟党走”主题社团活动，小颖喜欢的社团有写作社团、书画社团、演讲社团、舞蹈社团（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片正面，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小颖从中随机抽取一张卡片是舞蹈社团D的概率是 ；
（2）小颖先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母，请用列表法或画树状图法求出小颖抽取的两张卡片中有一张是演讲社团C的概率．
【答案】（1）；（2）小颖抽取的两张卡片中有一张是演讲社团C的概率是．
【解答】解：（1）∵共有4种可能出现的结果，其中是舞蹈社团D的有1种，
∴小颖从中随机抽取一张卡片是舞蹈社团D的概率是，
故答案为：；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，其中有一张是演讲社团C的有6种，
∴小颖抽取的两张卡片中有一张是演讲社团C的概率是＝．
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辽宁省朝阳市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题知识点分类
一．相反数（共1小题）
1．（2023 朝阳）2023的相反数是（ ）
A．﹣2023 B．2023 C． D．
二．倒数（共1小题）
2．（2022 朝阳）2022的倒数是（ ）
A．2022 B．﹣2022 C． D．﹣
三．有理数大小比较（共1小题）
3．（2021 朝阳）在有理数2，﹣3，，0中，最小的数是（ ）
A．2 B．﹣3 C． D．0
四．同底数幂的乘法（共1小题）
4．（2022 朝阳）下列运算正确的是（ ）
A．a8÷a4＝a2 B．4a5﹣3a5＝1 C．a3 a4＝a7 D．（a2）4＝a6
五．幂的乘方与积的乘方（共1小题）
5．（2021 朝阳）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．a2 a3＝a6 C．（ab）2＝ab2 D．（a2）4＝a8
六．同底数幂的除法（共1小题）
6．（2023 朝阳）下列运算正确的是（ ）
A．5a2﹣4a2＝1 B．a7÷a4＝a3 C．（a3）2＝a5 D．a2 a3＝a6
七．根的判别式（共1小题）
7．（2023 朝阳）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞且k≠1 B．k＞ C．k≥且k≠1 D．k≥
八．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）
8．（2022 朝阳）八年一班学生周末乘车去红色教育基地参观学习，基地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，出发30min后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车每小时行驶xkm，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．﹣＝ B．﹣＝
C．﹣＝30 D．﹣＝30
九．解一元一次不等式（共1小题）
9．（2021 朝阳）不等式﹣4x﹣1≥﹣2x+1的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
一十．动点问题的函数图象（共1小题）
10．（2021 朝阳）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AB运动，同时动点N从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线AD→DC→CB运动，当点N运动到点B时，点M，N同时停止运动．设△AMN的面积为y，运动时间为x（s），则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
一十一．一次函数的应用（共1小题）
11．（2023 朝阳）甲乙两人骑自行车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到B地，乙匀速骑行到A地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离y（米）和骑行的时间x（秒）之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①a＝450；②b＝150；③甲的速度为10米/秒；④当甲、乙相距50米时，甲出发了55秒或65秒．其中正确的结论有（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
一十二．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
12．（2021 朝阳）如图，O是坐标原点，点B在x轴上，在△OAB中，AO＝AB＝5，OB＝6，点A在反比例函数y＝（k≠0）图象上，则k的值（ ）
A．﹣12 B．﹣15 C．﹣20 D．﹣30
一十三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
13．（2022 朝阳）如图，正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（﹣2，m）和B两点，则不等式ax＞的解集为（ ）
A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣2或0＜x＜2
一十四．二次函数的性质（共1小题）
14．（2022 朝阳）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0
B．3a+c＞0
C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数）
D．﹣1＜a＜﹣
一十五．平行线的性质（共2小题）
15．（2023 朝阳）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示的方式放置，其中∠A＝30°，∠ACB＝90°，若∠1＝45°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
16．（2021 朝阳）将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．65° C．75° D．85°
一十六．平行四边形的性质（共1小题）
17．（2022 朝阳）将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，则∠EGC的度数为（ ）
A．100° B．80° C．70° D．60°
一十七．菱形的性质（共1小题）
18．（2021 朝阳）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，点G，H分别是AC的三等分点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
一十八．圆周角定理（共1小题）
19．（2022 朝阳）如图，在⊙O中，点A是的中点，∠ADC＝24°，则∠AOB的度数是（ ）
A．24° B．26° C．48° D．66°
一十九．弧长的计算（共1小题）
20．（2023 朝阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝120°，⊙O的半径为3，则的长为（ ）
A．π B．2π C．3π D．6π
二十．中心对称图形（共1小题）
21．（2023 朝阳）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
二十一．位似变换（共1小题）
22．（2023 朝阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（4，4）或（8，2）
C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4）
二十二．简单组合体的三视图（共2小题）
23．（2022 朝阳）如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成的，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2021 朝阳）如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成的，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
二十三．中位数（共1小题）
25．（2021 朝阳）某校开展了以“爱我家乡”为主题的艺术活动，从九年级5个班收集到的艺术作品数量（单位：件）分别为48，50，47，44，50，则这组数据的中位数是（ ）
A．44 B．47 C．48 D．50
二十四．众数（共2小题）
26．（2023 朝阳）学校篮球队队员进行定点投篮训练，每人投篮10次，其中5名队员投中的次数分别是：6，7，6，9，8，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．6，6 B．7，6 C．6，7 D．7，8
27．（2022 朝阳）新冠肺炎疫情期间，学校要求学生每天早晨入校前在家测量体温，七年三班第二学习小组6名同学某天的体温（单位：℃）记录如下：36.1，36.2，36.0，36.0，36.1，36.1．则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．36.0，36.1 B．36.1，36.0 C．36.2，36.1 D．36.1，36.1
二十五．概率公式（共2小题）
28．（2023 朝阳）五一期间，商场推出购物有奖活动：如图，一个可以自由转动的转盘被平均分成六份，其中红色1份，黄色2份，绿色3份，转动一次转盘，指针指向红色为一等奖，指向黄色为二等奖，指向绿色为三等奖（指针指向两个扇形的交线时无效，需重新转动转盘）．转动转盘一次，获得一等奖的概率为（ ）
A．1 B． C． D．
29．（2021 朝阳）一个不透明的口袋中有4个红球，6个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从口袋中随机摸出1个球，则摸到绿球的概率是（ ）
A． B． C． D．
二十六．几何概率（共1小题）
30．（2022 朝阳）如图所示的是由8个全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取一点，那么这个点取在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．1
辽宁省朝阳市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题知识点分类
参考答案与试题解析
一．相反数（共1小题）
1．（2023 朝阳）2023的相反数是（ ）
A．﹣2023 B．2023 C． D．
【答案】A
【解答】解：2023的相反数是﹣2023．
故选：A．
二．倒数（共1小题）
2．（2022 朝阳）2022的倒数是（ ）
A．2022 B．﹣2022 C． D．﹣
【答案】C
【解答】解：2022的倒数是．
故选：C．
三．有理数大小比较（共1小题）
3．（2021 朝阳）在有理数2，﹣3，，0中，最小的数是（ ）
A．2 B．﹣3 C． D．0
【答案】B
【解答】解：∵﹣3＜0＜＜2，
∴在有理数2，﹣3，，0中，最小的数是﹣3．
故选：B．
四．同底数幂的乘法（共1小题）
4．（2022 朝阳）下列运算正确的是（ ）
A．a8÷a4＝a2 B．4a5﹣3a5＝1 C．a3 a4＝a7 D．（a2）4＝a6
【答案】C
【解答】解：A．a8÷a4＝a4，故本选项不合题意；
B．4a5﹣3a5＝a5，故本选项不合题意；
C．a3 a4＝a7，故本选项符合题意；
D（a2）4＝a8，故本选项不合题意；
故选：C．
五．幂的乘方与积的乘方（共1小题）
5．（2021 朝阳）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．a2 a3＝a6 C．（ab）2＝ab2 D．（a2）4＝a8
【答案】D
【解答】解：A．a3+a3＝2a3，故本选项不符合题意；
B．a2 a3＝a5，故本选项不符合题意；
C．（ab）2＝a2b2，故本选项不符合题意；
D．（a2）4＝a8，故本选项符合题意；
故选：D．
六．同底数幂的除法（共1小题）
6．（2023 朝阳）下列运算正确的是（ ）
A．5a2﹣4a2＝1 B．a7÷a4＝a3 C．（a3）2＝a5 D．a2 a3＝a6
【答案】B
【解答】解：A、5a2﹣4a2＝a2，原计算错误，不符合题意；
B、a7÷a4＝a3，正确，符合题意；
C、（a3）2＝a6，原计算错误，不符合题意；
D、a2 a3＝a5，原计算错误，不符合题意．
故选：B．
七．根的判别式（共1小题）
7．（2023 朝阳）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞且k≠1 B．k＞ C．k≥且k≠1 D．k≥
【答案】A
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k＞且k≠1，
∴k的取值范围是k＞且k≠1．
故选：A．
八．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）
8．（2022 朝阳）八年一班学生周末乘车去红色教育基地参观学习，基地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，出发30min后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车每小时行驶xkm，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．﹣＝ B．﹣＝
C．﹣＝30 D．﹣＝30
【答案】A
【解答】解：设慢车每小时行驶xkm，则快车每小时行驶1.5xkm，
根据题意可得：﹣＝．
故选：A．
九．解一元一次不等式（共1小题）
9．（2021 朝阳）不等式﹣4x﹣1≥﹣2x+1的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：不等式﹣4x﹣1≥﹣2x+1，
移项得：﹣4x+2x≥1+1，
合并得：﹣2x≥2，
解得：x≤﹣1，
数轴表示，如图所示：
故选：D．
一十．动点问题的函数图象（共1小题）
10．（2021 朝阳）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AB运动，同时动点N从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线AD→DC→CB运动，当点N运动到点B时，点M，N同时停止运动．设△AMN的面积为y，运动时间为x（s），则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：当点N在AD上时，即0＜x＜2
∵AM＝x，AN＝2x，
∴，
此时二次项系数大于0，
∴该部分函数图象开口向上，
当点N在DC上时，即2≤x＜4，
此时底边AM＝x，高AD＝4，
∴y＝＝2x，
∴该部分图象为直线段，
当点N在CB上时，即4≤x＜6时，
此时底边AM＝x，高BN＝12﹣2x，
∴y＝，
∵﹣1＜0，
∴该部分函数图象开口向下，
故选：B．
一十一．一次函数的应用（共1小题）
11．（2023 朝阳）甲乙两人骑自行车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到B地，乙匀速骑行到A地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离y（米）和骑行的时间x（秒）之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①a＝450；②b＝150；③甲的速度为10米/秒；④当甲、乙相距50米时，甲出发了55秒或65秒．其中正确的结论有（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】C
【解答】解：由图可得，
甲的速度为：600÷100＝6（米/秒），故③错误，不符合题意；
乙的速度为：600÷60﹣6＝4（米/秒），
a＝4×100＝400，故①错误，不符合题意；
b＝600÷4＝150，故②正确，符合题意；
设当甲、乙相距50米时，甲出发了m秒，
两人相遇前：（600﹣50）＝m（6+4），
解得m＝55；
两人相遇后：（600+50）＝m（6+4），
解得m＝65；故④正确，符合题意；
故选：C．
一十二．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
12．（2021 朝阳）如图，O是坐标原点，点B在x轴上，在△OAB中，AO＝AB＝5，OB＝6，点A在反比例函数y＝（k≠0）图象上，则k的值（ ）
A．﹣12 B．﹣15 C．﹣20 D．﹣30
【答案】A
【解答】解：过A点作AC⊥OB，
∵AO＝AB，AC⊥OB，OB＝6，
∴OC＝BC＝3，
在Rt△AOC中，OA＝5，
∵AC＝，
∴A（﹣3，4），
把A（﹣3，4）代入y＝，可得k＝﹣12，
故选：A．
一十三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
13．（2022 朝阳）如图，正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（﹣2，m）和B两点，则不等式ax＞的解集为（ ）
A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣2或0＜x＜2
【答案】D
【解答】解：∵正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（﹣2，m）和B两点，
∴B（2，﹣m），
∴不等式ax＞的解集为x＜﹣2或0＜x＜2，
故选：D．
一十四．二次函数的性质（共1小题）
14．（2022 朝阳）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0
B．3a+c＞0
C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数）
D．﹣1＜a＜﹣
【答案】D
【解答】解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，
故abc＜0，不正确，不符合题意；
B．函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，
∵从图象看，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，
故不正确，不符合题意；
C．∵当x＝1时，函数有最大值为y＝a+b+c，
∴am2+bm+c≤a+b+c（m为任意实数），
∴am2+bm≤a+b，
∵a＜0，
∴a2m2+abm≥a2+ab（m为任意实数）
故不正确，不符合题意；
D．∵﹣＝1，故b＝﹣2a，
∵x＝﹣1，y＝0，故a﹣b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∵2＜c＜3，
∴2＜﹣3a＜3，
∴﹣1＜a＜﹣，故正确，符合题意；
故选：D．
一十五．平行线的性质（共2小题）
15．（2023 朝阳）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示的方式放置，其中∠A＝30°，∠ACB＝90°，若∠1＝45°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
【答案】D
【解答】解：如图，
∵a∥b，∠1＝45°，
∴∠AEF＝∠1＝45°，
∵∠A＝30°，∠AEF是△ABE的外角，
∴∠2＝∠AEF﹣∠A＝15°．
故选：D．
16．（2021 朝阳）将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．65° C．75° D．85°
【答案】C
【解答】解：∵∠2+60°+45°＝180°，
∴∠2＝75°．
∵直尺的上下两边平行，
∴∠1＝∠2＝75°．
故选：C．
一十六．平行四边形的性质（共1小题）
17．（2022 朝阳）将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，则∠EGC的度数为（ ）
A．100° B．80° C．70° D．60°
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠AEG＝∠EGC，
∵∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，
∴∠GEF＝30°，
∴∠GEA＝80°，
∴∠EGC＝80°．
故选：B．
一十七．菱形的性质（共1小题）
18．（2021 朝阳）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，点G，H分别是AC的三等分点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵BE＝2AE，DF＝2FC，
∴，
∵G、H分别是AC的三等分点，
∴，，
∴，
∴EG∥BC
∴，
同理可得HF∥AD，，
∴，
故选：A．
一十八．圆周角定理（共1小题）
19．（2022 朝阳）如图，在⊙O中，点A是的中点，∠ADC＝24°，则∠AOB的度数是（ ）
A．24° B．26° C．48° D．66°
【答案】C
【解答】解：∵点A是的中点，
∴，
∴∠AOB＝2∠ADC＝2×24°＝48°．
故选：C．
一十九．弧长的计算（共1小题）
20．（2023 朝阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝120°，⊙O的半径为3，则的长为（ ）
A．π B．2π C．3π D．6π
【答案】B
【解答】解：∵∠C＝120°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝60°，
∴∠BOD＝2∠A＝120°，
∴的长为＝2π，
故选：B．
二十．中心对称图形（共1小题）
21．（2023 朝阳）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：选项A、B、D的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
二十一．位似变换（共1小题）
22．（2023 朝阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（4，4）或（8，2）
C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4）
【答案】D
【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，点A的坐标为（2，2），
∴点A的对应点A′的坐标为（2×2，2×2）或（2×（﹣2），2×（﹣2）），即（4，4）或（﹣4，﹣4），
故选：D．
二十二．简单组合体的三视图（共2小题）
23．（2022 朝阳）如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成的，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：从正面看，只有一层，共有四个小正方形，．
故选：B．
24．（2021 朝阳）如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成的，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
故选：A．
二十三．中位数（共1小题）
25．（2021 朝阳）某校开展了以“爱我家乡”为主题的艺术活动，从九年级5个班收集到的艺术作品数量（单位：件）分别为48，50，47，44，50，则这组数据的中位数是（ ）
A．44 B．47 C．48 D．50
【答案】C
【解答】解：将这五个数据从小到大排列后处在第3位的数是48，因此中位数是48；
故选：C．
二十四．众数（共2小题）
26．（2023 朝阳）学校篮球队队员进行定点投篮训练，每人投篮10次，其中5名队员投中的次数分别是：6，7，6，9，8，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．6，6 B．7，6 C．6，7 D．7，8
【答案】C
【解答】解：投中次数6的人数最多，故众数是6；
共有数据5个，由小到大排序后第3个数是7，所以中位数是7．
故选：C．
27．（2022 朝阳）新冠肺炎疫情期间，学校要求学生每天早晨入校前在家测量体温，七年三班第二学习小组6名同学某天的体温（单位：℃）记录如下：36.1，36.2，36.0，36.0，36.1，36.1．则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．36.0，36.1 B．36.1，36.0 C．36.2，36.1 D．36.1，36.1
【答案】D
【解答】解：将这组数据重新排列为36.0，36.0，36.1，36.1，36.1，36.2，
所以这组数据的中位数为＝36.1，众数为36.1，
故选：D．
二十五．概率公式（共2小题）
28．（2023 朝阳）五一期间，商场推出购物有奖活动：如图，一个可以自由转动的转盘被平均分成六份，其中红色1份，黄色2份，绿色3份，转动一次转盘，指针指向红色为一等奖，指向黄色为二等奖，指向绿色为三等奖（指针指向两个扇形的交线时无效，需重新转动转盘）．转动转盘一次，获得一等奖的概率为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解答】转盘共分成6等份，其中红色区域1份，即获得一等奖的区域是1份，
所以获得一等奖的概率是．
故选：B．
29．（2021 朝阳）一个不透明的口袋中有4个红球，6个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从口袋中随机摸出1个球，则摸到绿球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵袋中装有4个红球，6个绿球，
∴共有10个球，
∴摸到绿球的概率为：＝；
故选：D．
二十六．几何概率（共1小题）
30．（2022 朝阳）如图所示的是由8个全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取一点，那么这个点取在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解答】解：由图知，阴影部分的面积占图案面积的，
即这个点取在阴影部分的概率是，
故选：A．
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辽宁省朝阳市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类
一．科学记数法—表示较大的数（共3小题）
1．（2023 朝阳）中国汽车工业协会2023年4月11日发布统计数据显示：今年1至3月，我国新能源汽车累计出口248000辆，显示出我国新能源汽车产业发展势头正劲．将数据248000用科学记数法表示为 ．
2．（2022 朝阳）光在真空中1s传播299792km．数据299792用科学记数法表示为 ．
3．（2021 朝阳）2020年9月1日以来，教育部组织开展重点地区、重点行业、重点单位、重点群体“校园招聘服务”专场招聘活动，提供就业岗位3420000个，促就业资源精准对接．数据3420000用科学记数法表示为 ．
二．因式分解-提公因式法（共1小题）
4．（2021 朝阳）因式分解：﹣3am2+12an2＝ ．
三．提公因式法与公式法的综合运用（共1小题）
5．（2023 朝阳）因式分解：a3﹣a＝ ．
四．二次根式的混合运算（共1小题）
6．（2022 朝阳）计算：÷﹣|﹣4|＝ ．
五．解二元一次方程组（共1小题）
7．（2023 朝阳）已知关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝4，则a的值为 ．
六．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
8．（2023 朝阳）如图，点A是反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接PA，PB．若△ABP的面积等于3，则k的值为 ．
七．全等三角形的判定与性质（共1小题）
9．（2022 朝阳）等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为 ．
八．等腰三角形的性质（共1小题）
10．（2021 朝阳）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），过点M作MN∥x轴，点P在射线MN上，若△MAP为等腰三角形，则点P的坐标为 ．
九．圆周角定理（共1小题）
11．（2021 朝阳）已知⊙O的半径是7，AB是⊙O的弦，且AB的长为7，则弦AB所对的圆周角的度数为 ．
一十．作图—基本作图（共1小题）
12．（2022 朝阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，分别以点B和点C为圆心、大于BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF交AB于点D，连接CD，则△ACD的周长是 ．
一十一．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
13．（2023 朝阳）在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M是边AD上一点（点M不与点A，D重合），连接CM，将△CDM沿CM翻折得到△CNM，连接AN，DN．当△AND为等腰三角形时，DM的长为 ．
一十二．旋转的性质（共1小题）
14．（2022 朝阳）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，DC＝4，将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，当点C的对应点E恰好落在边AB上时，图中阴影部分的面积是 ．
一十三．相似三角形的判定与性质（共1小题）
15．（2021 朝阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，连接AC，过点D作DC1⊥AC于点C1，以C1A，C1D为邻边作矩形AA1DC1，连接A1C1，交AD于点O1，过点D作DC2⊥A1C1于点C2，交AC于点M1，以C2A1，C2D为邻边作矩形A1A2DC2，连接A2C2，交A1D于点O2，过点D作DC3⊥A2C2于点C3，交A1C1于点M2；以C3A2，C3D为邻边作矩形A2A3DC3，连接A3C3，交A2D于点O3，过点D作DC4⊥A3C3于点C4，交A2C2于点M3…若四边形AO1C2M1的面积为S1，四边形A1O2C3M2的面积为S2，四边形A2O3C4M3的面积为S3…四边形An﹣1OnCn+1Mn的面积为Sn，则Sn＝ ．（结果用含正整数n的式子表示）
一十四．方差（共2小题）
16．（2023 朝阳）某校在甲、乙、丙、丁四名同学中选中一人参加今年5月份举办的教育系统文艺展演独唱大赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是88.5分，方差分别是s甲2＝1.5，s乙2＝2.6，s丙2＝1.7，s丁2＝2.8，则这四名同学独唱成绩最稳定的是 ．
17．（2022 朝阳）甲、乙、丙、丁四名同学参加掷实心球测试，每人掷5次，他们的平均成绩恰好相同，方差分别是s甲2＝0.55，s乙2＝0.56，s丙2＝0.52，s丁2＝0.48，则这四名同学掷实心球的成绩最稳定的是 ．
一十五．几何概率（共1小题）
18．（2021 朝阳）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小等边三角形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），则击中黑色区域的概率是 ．
辽宁省朝阳市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类
参考答案与试题解析
一．科学记数法—表示较大的数（共3小题）
1．（2023 朝阳）中国汽车工业协会2023年4月11日发布统计数据显示：今年1至3月，我国新能源汽车累计出口248000辆，显示出我国新能源汽车产业发展势头正劲．将数据248000用科学记数法表示为 2.48×105 ．
【答案】2.48×105．
【解答】解：248000＝2.48×105．
故答案为：2.48×105．
2．（2022 朝阳）光在真空中1s传播299792km．数据299792用科学记数法表示为 2.99792×105 ．
【答案】2.99792×105．
【解答】解：数据299792用科学记数法表示为2.99792×105．
故答案为：2.99792×105．
3．（2021 朝阳）2020年9月1日以来，教育部组织开展重点地区、重点行业、重点单位、重点群体“校园招聘服务”专场招聘活动，提供就业岗位3420000个，促就业资源精准对接．数据3420000用科学记数法表示为 3.42×106 ．
【答案】3.42×106．
【解答】解：数据3420000用科学记数法表示为3.42×106．
故答案为：3.42×106．
二．因式分解-提公因式法（共1小题）
4．（2021 朝阳）因式分解：﹣3am2+12an2＝ ﹣3a（m+2n）（m﹣2n） ．
【答案】﹣3a（m+2n）（m﹣2n）．
【解答】解：原式＝﹣3a（m2﹣4n2）
＝﹣3a（m+2n）（m﹣2n）．
故答案为：﹣3a（m+2n）（m﹣2n）．
三．提公因式法与公式法的综合运用（共1小题）
5．（2023 朝阳）因式分解：a3﹣a＝ a（a+1）（a﹣1） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1），
故答案为：a（a+1）（a﹣1）
四．二次根式的混合运算（共1小题）
6．（2022 朝阳）计算：÷﹣|﹣4|＝ ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：原式＝﹣4
＝3﹣4
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
五．解二元一次方程组（共1小题）
7．（2023 朝阳）已知关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝4，则a的值为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：，
①﹣②得：x﹣y＝a+2，
又∵关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝4，
∴a+2＝4，
∴a＝2．
故答案为：2．
六．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
8．（2023 朝阳）如图，点A是反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接PA，PB．若△ABP的面积等于3，则k的值为 6 ．
【答案】6．
【解答】解：设反比例函数的解析式为 y＝，
∵△AOB的面积＝△ABP的面积＝3，△AOB的面积＝|k|，
∴|k|＝3，
∴k＝±6；
又∵反比例函数的图象的一支位于第二象限，
∴k＜0．
∴k＝﹣6．
故答案为：6．
七．全等三角形的判定与性质（共1小题）
9．（2022 朝阳）等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为 3或． ．
【答案】3或．
【解答】解：如图，E点在AD的右边，
∵△ADE与△ABC都是等边三角形，
∴AC＝AB，AE＝AD，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD，
即∠CAE＝∠BAD．
在△CAE和△BAD中，
，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴CE＝BD＝2，
∵BD＝2CD，
∴CD＝1，
∴BC＝BD+CD＝2+1＝3，
∴等边三角形ABC的边长为3，
如图，E点在AD的左边，
同上，△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝60°，
∴∠EBD＝120°，
过点E作EF⊥BC交CB的延长线于点F，则∠EBF＝60°，
∴EF＝BE＝CD，BF＝BE＝CD，
∴CF＝BF+BD+CD＝CD，
在Rt△EFC中，CE＝2，
∴EF2+CF2＝CE2＝4，
∴+＝4，
∴CD＝或CD＝﹣（舍去），
∴BC＝，
∴等边三角形ABC的边长为，
故答案为：3或．
八．等腰三角形的性质（共1小题）
10．（2021 朝阳）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），过点M作MN∥x轴，点P在射线MN上，若△MAP为等腰三角形，则点P的坐标为 （，4）或（，4）或（10，4） ．
【答案】（，4）或（，4）或（10，4）．
【解答】解：设点P的坐标为（x，4），
分三种情况：①PM＝PA，
∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），
∴PM＝x，PA＝，
∵PM＝PA，
∴x＝，解得：x＝，
∴点P的坐标为（，4）；
②MP＝MA，
∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），
∴MP＝x，MA＝＝，
∵MP＝MA，
∴x＝，
∴点P的坐标为（，4）；
③AM＝AP，
∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），
∴AP＝，MA＝＝，
∵AM＝AP，
∴＝，解得：x1＝10，x2＝0（舍去），
∴点P的坐标为（10，4）；
综上，点P的坐标为（，4）或（，4）或（10，4）．
故答案为：（，4）或（，4）或（10，4）．
九．圆周角定理（共1小题）
11．（2021 朝阳）已知⊙O的半径是7，AB是⊙O的弦，且AB的长为7，则弦AB所对的圆周角的度数为 60°或120° ．
【答案】60°或120°．
【解答】解：∠ACB和∠ADB为弦AB所对的圆周角，连接OA、OB，如图，
过O点作OH⊥AB于H，则AH＝BH＝AB＝，
在Rt△OAH中，∵cos∠OAH＝＝＝，
∴∠OAH＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠OBH＝∠OAH＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠ACB＝∠AOB＝60°，
∵∠ADB+∠ACB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣60°＝120°，
即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．
故答案为60°或120°．
一十．作图—基本作图（共1小题）
12．（2022 朝阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，分别以点B和点C为圆心、大于BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF交AB于点D，连接CD，则△ACD的周长是 18 ．
【答案】18．
【解答】解：由题可知，EF为线段BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∵∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴AC＝＝5，
∴△ACD的周长为AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝5+13＝18．
故答案为：18．
一十一．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
13．（2023 朝阳）在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M是边AD上一点（点M不与点A，D重合），连接CM，将△CDM沿CM翻折得到△CNM，连接AN，DN．当△AND为等腰三角形时，DM的长为 或 ．
【答案】或．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝5，BC＝6，
∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝6，∠ADC＝90°，
设DN与CM交于点T，
由翻折的性质得：DT＝NT，DM＝NM，CM⊥DN，∠CNM＝CDM＝90°，
∵△AND为等腰三角形，
∴有以下两种情况：
①当AN＝DN时，过点N作NH⊥AD于H，则AH＝DH＝3，如图：
设DM＝x，DT＝y，则NM＝x，NT＝y，
∴DN＝AN＝2y，MH＝DH﹣DM＝3﹣x，
在Rt△ANH中，AN＝2y，AH＝3，
由勾股定理得：HN2＝AN2﹣AH2＝4y2﹣9，
在Rt△MNH中，MH＝3﹣x，NM＝x，
由勾股定理得：HN2＝MN2﹣MH2＝x2﹣（3﹣x）2＝6x﹣9，
∴4y2﹣9＝6x﹣9，
即：y2＝x，
在Rt△CGM中，CD＝5，DM＝x，
由勾股定理得：CM2＝CD2+DM2＝25+x2，
∵S△CNM＝CD DM＝CM DT，
∴CD DM＝CM DT，
即：5x＝CM y，
∴25x2＝CM2 y2，
即：25x2＝（25+x2） y2，
将y2＝x代入上式得：25x2＝（25+x2） x，
∵x≠0，
∴25x＝（25+x2） ，
整理得：3x2﹣50x+75＝0，
解得：x1＝，x2＝15（不合题意，舍去），
∴DM的长为．
②当DN＝AD时，则DN＝6，如图：
∴DT＝TN＝3，
设DM＝x，MT＝y，
在Rt△CDT中，CD＝5，DT＝3，
由勾股定理得：，
∴CM＝CT+MT＝4+x，
在Rt△DTM中，DT＝3，MT＝y，DM＝x，
由勾股定理得：DM2＝DT2+MT2，
即：x2＝y2+9，
∵S△CNM＝CD DM＝CM DT，
∴CD DM＝CM DT，
即：5x＝3（4+y），
整理得：y＝x﹣4，
将y＝x﹣4代入x2＝y2+9，得：，
整理得：16x2﹣120x+225＝0，
即：（4x﹣15）2＝0，
∴x＝．
∴DM的长为．
综上所述：DM的长为或．
一十二．旋转的性质（共1小题）
14．（2022 朝阳）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，DC＝4，将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，当点C的对应点E恰好落在边AB上时，图中阴影部分的面积是 24﹣6﹣4π ．
【答案】24﹣6﹣4π．
【解答】解：∵将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，
∴DE＝DC＝4，
∵cos∠ADE＝＝＝，
∴∠ADE＝60°，
∴∠EDC＝30°，
∴S扇形EDC＝＝4π，
∵AE＝＝＝6，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴EB∥CD，∠B＝∠DCB＝90°，
∵EB≠CB，
∴四边形DCBE是直角梯形，
∴S四边形DCBE＝＝24﹣6，
∴阴影部分的面积＝24﹣6﹣4π，
故答案为：24﹣6﹣4π．
一十三．相似三角形的判定与性质（共1小题）
15．（2021 朝阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，连接AC，过点D作DC1⊥AC于点C1，以C1A，C1D为邻边作矩形AA1DC1，连接A1C1，交AD于点O1，过点D作DC2⊥A1C1于点C2，交AC于点M1，以C2A1，C2D为邻边作矩形A1A2DC2，连接A2C2，交A1D于点O2，过点D作DC3⊥A2C2于点C3，交A1C1于点M2；以C3A2，C3D为邻边作矩形A2A3DC3，连接A3C3，交A2D于点O3，过点D作DC4⊥A3C3于点C4，交A2C2于点M3…若四边形AO1C2M1的面积为S1，四边形A1O2C3M2的面积为S2，四边形A2O3C4M3的面积为S3…四边形An﹣1OnCn+1Mn的面积为Sn，则Sn＝ ．（结果用含正整数n的式子表示）
【答案】．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，AD＝BC＝2，CD＝AB＝1，
∴AC＝＝＝，
∵DC1 AC＝AB BC，
∴DC1＝＝＝，
同理，DC2＝DC1＝（）2，
DC3＝（）3，
……，
D n＝（）n，
∵＝tan∠ACD＝＝2，
∴CC1＝DC1＝，
∵tan∠CAD＝＝＝，
∴A1D＝AC1＝2DC1＝，
∴AM1＝AC1﹣C1M1＝2DC1﹣DC1＝×DC1＝，
同理，A1M2＝×DC2，
A2M3＝×DC3，
……，
An﹣1Mn＝×D n，
∵四边形AA1DC1是矩形，
∴O1A＝O1D＝O1A1＝O1C1＝1，
同理∵DC2 A1C1＝A1D DC1，
∴DC2＝＝＝，
在Rt△DOC中，O1C2＝＝＝＝DC2，
同理，O2C3＝DC3，
O3C4＝DC4，
……，
OnCn+1＝DCn+1，
∴S1＝＝﹣＝×AM1×DC1﹣×O1C2×DC2＝（﹣）＝＝，
同理，S2＝﹣＝＝×＝，
S3＝＝×＝，
……，
Sn＝＝×＝．
故答案为：．
一十四．方差（共2小题）
16．（2023 朝阳）某校在甲、乙、丙、丁四名同学中选中一人参加今年5月份举办的教育系统文艺展演独唱大赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是88.5分，方差分别是s甲2＝1.5，s乙2＝2.6，s丙2＝1.7，s丁2＝2.8，则这四名同学独唱成绩最稳定的是 甲 ．
【答案】甲．
【解答】解：∵S甲2＝1.5，S乙2＝2.6，S丙2＝1.7，S丁2＝2.8，
∴S甲2＜S丙2＜S乙2＜S丁2，
∴在平均成绩相等的情况下，这四名同学独唱成绩最稳定的是甲．
故答案为：甲．
17．（2022 朝阳）甲、乙、丙、丁四名同学参加掷实心球测试，每人掷5次，他们的平均成绩恰好相同，方差分别是s甲2＝0.55，s乙2＝0.56，s丙2＝0.52，s丁2＝0.48，则这四名同学掷实心球的成绩最稳定的是 丁 ．
【答案】丁．
【解答】解：∵s甲2＝0.55，s乙2＝0.56，s丙2＝0.52，s丁2＝0.48，
∴s丁2＜s丙2＜s甲2＜s乙2，
∴这四名同学掷实心球的成绩最稳定的是丁，
故答案为：丁．
一十五．几何概率（共1小题）
18．（2021 朝阳）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小等边三角形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），则击中黑色区域的概率是 ．
【答案】．
【解答】解：∵总面积为9个小三角形的面积，其中黑色部分面积为3个小三角形的面积，
∴飞镖落在黑色部分的概率是＝，
故答案为：．
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