专题07 垂直平分线的性质与判定（六大类型）
【考点1 ：线段垂直平分线的性质在求线段中的应用】
1．如图，在中，，CE垂直平分线段AD于E，且CD平分，，则（ ）．
A．10cm B．16cm C．24cm D．30cm
2．如图，在中，DE是AC的垂直平分线，的周长为17cm，且的周长为11cm，则（ ）cm．
A．6 B．3 C．2 D．1
3．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ）
A．25 B．22 C．19 D．18
4．如图，在ABC中，∠C=90°，分别以A、B为圆心画弧，所画的弧交于两点，再连接该两点所在直线交BC于点D，连接AD．若BD=2，则AD的长为（ ）
A． B． C．1 D．2
5．如图．在△ABC中，边AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，如果BC＝10，△BDC的周长为22，边AC的长为（ ）
A．12 B．32 C．17 D．11
6．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝5，△ABD的周长是13，则BC的长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．12
7．如图，中，，且，垂直平分，交于点，交于点，若周长为16，，则 为（ ）．
A．10 B．9 C．8 D．5
【考点2：线段垂直平分线的性质在求角中的应用】
8．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，连接BE．若BE平分∠ABC，且∠A＝60°，则∠CED的度数为（ ）
A．60° B．55° C．50° D．45°
9．如图，在中，是的垂直平分线，且分别交、于点D和E，，，则为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，DE垂直平分BC，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP，若，则（ ）
A．50° B．100° C．130° D．150°
12．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠EAG＝40°，则∠BAC的度数是（ ）
A．140° B．130° C．120° D．110°
13．如图，在△ABE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC＝BE，则∠B的度数是（ ）
A．45° B．60° C．50° D．55°
14．如图，D，E是的BC边上的两点，DM，EN分别垂直平分AB，AC，垂足分别为M，N．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，△ABC中，∠BAC＝130°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，与AB，AC分别交于点D，G，则∠EAF的度数为（ ）
A．65° B．60° C．70° D．80°
16．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠BAC＝100°，则∠EAG的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
17．如图，中，平分，是的中点，过点作的垂线交于点，连接，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
18．如图，在△ABC中，PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，若∠BAC＝110°，则∠PAQ的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
19．如图，在△ABC中，I是三角形角平分线的交点，O是三边垂直平分线的交点，连接AI，BI，AO，BO，若∠AOB＝140°，则∠AIB的大小为（ ）
A．160° B．140° C．130° D．125°
20．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，的垂直平分线分别交于点F、G．若，则 ．
【考点3：线段垂直平分线的性质在实际中的应用】
21．如图，小艳用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片，关于这个支起的这个位置，以下说法正确的是（ ）
A．三角形的三条高的交点 B．三角形的三条角平分线的交点
C．三角形的三条中线的交点 D．三角形三边的垂直平分线的交点
22．如图，，，表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（ ）
A．，两边高线的交点处 B．，两边中线的交点处
C．，两边垂直平分线的交点处 D．，两内角平分线的交点处
23．如图，兔子的三个洞口A、B、C构成，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在( )
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三个角的角平分线的交点
24．元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点
25．如图是“一带一路”示意图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，分别连接、形成了一个三角形，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
【考点4：线段垂直平分线的性质的综合运用】
26．如图，在中，边的垂直平分线分别交于D、E．
(1)若，求的周长；
(2)若，求的度数．
27．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC=10，求△ADE的周长；
（2） 设直线DM、EN交于点O
①试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由；
②若∠BAC=100°，求∠BOC的度数
28．如图，在中，垂直平分，分别交，于D，E，，
(1)求的大小；
(2)若，求的周长．
29．如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．
(1)求∠PAQ的度数．
(2)若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．
30．如图，在中，、分别垂直平分和，交于M、N两点，与相交于点F．
(1)若的周长为cm，求的长；
(2)若，求的度数．
31．如图所示，若 MP和 NQ 分别垂直平分AB和 AC．
（1）若△APQ的周长为12，求 BC的长；
（2）∠BAC=105°，求∠PAQ 的度数．
【考点5：线段垂直平分线的判定】
32．如图，在中，，的垂直平分线，相交于点O，求证：点O在的垂直平分线上．
33．如图，点是平分线上一点，，，垂足分别是，．
求证：
(1)；
(2)是线段的垂直平分线．
34．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A=∠ABE．
（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；
（2）当AB=AC，∠A=46°时，求∠EBC及∠F的度数．
【考点6：线段垂直平分线的作法】
35．直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄．欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离相等的方案是（ ）
A． B． C． D．
36．如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建（ ）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
37．已知：如图，在中，，边的垂直平分线与分别交于点D和点E．
(1)作出边的垂直平分线；
(2)当时，求的度数．
38．已知三个村庄的位置如图所示，经过商量，三个村庄决定联合打一眼机井向三个村庄供水，要想使机井到三个村庄的距离相等，机井应该设在何处．
39．如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置？
40．已知如图，点A、点B在直线l异侧，以点A为圆心，AB长为半径作弧交直线l于C、D两点.分别以C、D为圆心，AB长为半径作弧，两弧在l下方交于点E,连结AE.
（1）根据题意，利用直尺和圆规补全图形；
（2）证明：l垂直平分AE.
41．如图所示，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M，N分别是位于公路两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等．
参考答案：
1．B
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到CA＝CD，根据角平分线的定义得到∠BCD＝∠DCE，求出∠ABC＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵CE垂直平分线段AD，
∴CA＝CD，
∵CE⊥AD，
∴∠ACE＝∠DCE，
∵CD平分∠BCE，
∴∠BCD＝∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCE＝∠BCD＝30°，
∴∠ACD＝60°，
∵CA＝CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝16cm，
故选：B．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，求出∠ABC＝30°是解题的关键．
2．B
【分析】根据DE是AC的垂直平分线，可得AD=DC，AE=CE=AC，再根据△ABC的周长为17cm，△ABD的周长为11cm，可得AB+BC+AC=17cm，AB+BC=11cm，即有AC=6cm，则问题得解．
【详解】∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，AE=CE=AC，
∵△ABC的周长为17cm，△ABD的周长为11cm，
∴AB+BC+AC=17cm，AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=11cm，
∴AC=6cm，
∴CE=3cm，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，根据△ABC的周长和△ABD的周长得出AC的长度是解答本题的关键．
3．C
【分析】由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案．
【详解】解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∵，，
∴ △ABD的周长＝AB＋AD＋BD
＝AB＋AD＋CD
＝AB＋AC
＝19．
故选：C
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
4．D
【分析】如图，根据画图过程可得直线ED是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质即可求解．
【详解】解：如图，由画图过程得：直线ED是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD=2，
故选：D．
【点睛】本题考查尺规作图-作线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，能得到直线ED是线段AB的垂直平分线是解答的关键．
5．A
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，再利用等线段代换△BDC的周长＝AC＋BC，于是可求出AC的长．
【详解】解：∵边AB的中垂线DE交AC于点D，
∴DA＝DB，
∵△BDC的周长为22，
∴BD＋BC＋CD＝22，
∴AD＋CD＋BC＝22，
即AC＋10＝22，
∴AC＝12．
故选：A．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，解题关键是掌握线段垂直平分线的性质．
6．A
【分析】先证明再证明结合 从而可得答案.
【详解】解： DE是AC的垂直平分线，
△ABD的周长是13，
AB＝5，
故选A
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”是解本题的关键.
7．D
【分析】根据等腰三角形性质得到，根据垂直平分线的性质得到，利用三角形公式求出，即可计算长．
【详解】，，
，
垂直平分，
，
，
周长为16，，
，
，
，
，
故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判断与性质，垂直平分线的性质以及三角形周长，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．
8．C
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB=EC，得到∠EBC=∠C，根据三角形内角和定理求出∠C，根据直角三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∴∠EBC=∠C，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=∠ABE，
∴∠EBC=∠C=∠ABE，
∴∠A+3∠C=180°，
∵∠A=60°，
∴∠C=40°，
∴∠CED=90°-∠C=50°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
9．B
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C，根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，计算出结果．
【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=25°，
∵∠B=70°，∠C=25°，
∴∠BAC=85°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=60°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质的知识，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10．A
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质结合三角形内角和定理得出答案．
【详解】解：∵DE垂直平分BC，
∴BD=DC，
∴∠BDE=∠CDE=64°，
∴∠ADB=180°-64°-64°=52°，
∵∠A=28°，
∴∠ABD=180°-28°-52°=100°．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，正确掌握相关定理是解题关键．
11．B
【分析】连接AP并延长交BC于D，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PB=PC，根据等腰三角形的性质得到∠PAB=∠PBA，∠PAC=∠PCA，根据三角形的外角可知∠BPD=∠PAB+∠PBA，∠CPD=∠PAC+∠PCA，相加即可求解．
【详解】解：连接AP，并延长交BC于D，
∵边AB，AC的垂直平分线交于点P，
∴PA=PB=PC，
∴∠PAB=∠PBA，∠PAC=∠PCA
∵∠BPD=∠PAB+∠PBA，∠CPD=∠PAC+∠PCA
∴∠BPC=∠BPD+∠CPD =∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA=2(∠PAB+∠PAC)=2∠BAC=100°
故答案选：B．
【点睛】本题考查的知识点是线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握线段垂直平分线的
性质．
12．D
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C+∠B，根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据等腰三角形的性质得到∠EAB=∠B，同理，∠GAC=∠C，计算即可．
【详解】解：设∠BAC=x，
∴∠C+∠B=180°-x，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠B，
同理可得：∠GAC=∠C，
∴∠EAB+∠GAC=∠C+∠B=180°-x，
∴∠EAG=∠BAC-（∠B+∠C）=x-（180°-x）=40°，
∴x=110°，
即∠BAC=110°，
故选：D．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13．C
【分析】首先连接AC，由AE的垂直平分线MN交BE于点C，可得AC＝EC，又由AB＋BC＝BE，易证得AB＝AC，然后由等腰三角形的性质与三角形内角和定理，求得∠BAE＝∠BAC＋∠CAE＝180° 4∠E＋∠E＝105°，继而求得答案．
【详解】解：连接AC，如图所示：
∵MN是AE的垂直平分线，
∴AC＝EC，
∴∠CAE＝∠E，
∵AB＋BC＝BE，BC＋EC＝BE，
∴AB＝EC＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠CAE＋∠E＝2∠E，
∴∠B＝2∠E，
∴∠BAC＝180° ∠B ∠ACB＝180° 4∠E，
∴∠BAE＝∠BAC＋∠CAE＝180° 4∠E＋∠E＝105°，解得：∠E＝25°，
∴∠B＝2∠E＝50°，
故选：C．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用是解决问题的关键．
14．A
【分析】根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到 ，，根据等腰三角形的性质得到，，计算即可．
【详解】解：在中，，
则，
，分别垂直平分、，
，，
，，
，
，
，
，
，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15．D
【分析】由DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，可得EB＝EA，FA＝FC，又由等腰三角形的性质与三角形内角和定理，可求得∠BAE＋∠FAC度数，继而求得答案．
【详解】解：∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
∴EB＝EA，FA＝FC，
∴∠BAE＝∠B，∠FAC＝∠C，
∵△ABC中，∠BAC＝130°，
∴∠B＋∠C＝50°，
∴∠BAE＋∠FAC＝50°，
∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE＋∠FAC）＝80°；
故选：D．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用．
16．B
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C＋∠B，根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，同理，∠GAC＝∠C，计算即可．
【详解】解：∵∠BAC＝100°，
∴∠C＋∠B＝180° 100°＝80°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
同理∠GAC＝∠C，
∴∠EAB＋∠GAC＝∠C＋∠B＝80°，
∴∠EAG＝100° 80°＝20°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
17．B
【分析】根据已知条件得到垂直平分，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，得，根据角平分线的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到．
【详解】是的中点，过点作的垂线交于点，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查三角形的性质定理，关键要掌握中垂线的性质．
18．A
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得出AP＝BP，CQ＝AQ，求出∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ，再求出∠BAP+∠CAQ＝70°，再求出答案即可．
【详解】解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°，
∵PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，
∴AP＝BP，CQ＝AQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝70°，
∵∠BAC＝110°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝110°﹣70°＝40°，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线性质得出AP＝BP和AQ＝CQ是解此题的关键，注意：①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，②等边对等角，③三角形内角和等于180°．
19．D
【分析】连接CO，根据三角形内角和定理求出∠OAB+∠OBA，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OC，OB=OC，进而得到∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，求出∠CAB+∠CBA，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．
【详解】解：连接CO，
∵，
∴，
∴，
∵O是三边垂直平分线的交点，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵在△ABC中，I是三角形角平分线的交点
∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴，∠，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
20．
【分析】根据中垂线的性质和三角形的内角和定理进行计算即可．
【详解】解：∵分别为的中垂线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查中垂线的性质以及三角形的内角和定理．熟练掌握相关知识点是解题的关键．
21．C
【分析】根据三角形的重心的性质解答即可．
【详解】解：小艳用铅笔支起这张质地均匀的三角形卡片，这个点是三条中线的交点，即这个三角形的重心，具有平稳性，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的重心，掌握三角形重心的应用是解题关键．
22．C
【分析】根据垂直平分线的性质可知，到，，表示三个居民小区距离相等的点，是，两边垂直平分线的交点，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，分别作，两边垂直平分线，交于点，
连接，，，
∵，是，两边垂直平分线，
∴，
∴点是到三个小区的距离相等的点，即点是，两边垂直平分线的交点，
故选：．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
23．C
【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可．
【详解】解：∵兔子的三个洞口A、B、C构成，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，
设猎狗在点，则，
∴点在线段的垂直平分线上，
同理，点在线段的垂直平分线上，
∴猎狗应蹲守在在三条边的垂直平分线的交点，
故选：C．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
24．D
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边垂直平分线的交点上．
【详解】∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最合适，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用，理解基本性质是解题关键．
25．A
【分析】根据垂直平分线的性质即可进行解答．
【详解】解：∵中转仓到A、B、C三地的距离相等，
∴应建在三边垂直平分线的交点，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的垂直平分线，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到两端的距离相等，三角形三条垂直平分线的交点到三个顶点距离相等．
26．(1)的周长为6
(2)的度数为
【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得出，求出的周长，即可得出答案；
（2）由，即可得，又由，即可求得的度数．
【详解】（1）解：在中，边的垂直平分线分别交于D、E，
∴，
又，
∴的周长；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
27．（1）10；（2）点O是否在BC的垂直平分线上，理由见解析；（3）160°
【分析】（1）由在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，AE=CE，继而可得△ADE的周长=BC；
（2）①连接OB，OA，OC，证明OB=OC即可；
②根据题意得∠BOC=2∠MON,由四边形内角和可得∠BOC的度数.
【详解】（1）∵在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴AD=BD，AE=CE，
又∵BC=10，
∴△ADE周长为：AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=10；
（2）①如图，连接OB，OA，OC，
∵MO是AB的垂直平分线，NO是AC的垂直平分线，
∴BO=AO，CO=AO，
∴BO=CO，
∴O在BC的垂直平分线上；
②∵OM⊥AB，ON⊥AC，
∴∠AMO=∠ANO=90°，
∵∠BAC=100°，
∴∠MOM=360°-∠AMO-∠BAC-∠ANO=80°;
∵MO是AB的垂直平分线，NO是AC的垂直平分线，
∴∠BOM=∠AOM，∠CON=∠AON，
∴∠BOC=2∠MON=160°．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用
28．(1)
(2)7
【分析】（1）由垂直平分，可得，再利用直角三角形两锐角互余即可得答案．
（2）利用垂直平分线的性质可得，则可求解．
【详解】（1）解：垂直平分，
，
，
．
（2）连接，如图所示：
∵垂直平分，
，
的周长为：．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质及直角三角形两锐角互余，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
29．(1)∠PAQ＝20°；(2)PQ＝2．
【分析】（1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，根据线段垂直平分线的性质得：AP＝PB，AQ＝CQ，由等腰三角形的性质得：∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y，再由三角形内角和定理相加可得结论；
（2）根据△APQ周长为12，列等式为AQ+PQ+AP＝12，由等量代换得BC+2PQ＝12，可得PQ的长．
【详解】(1)设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，
∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴AP＝PB，AQ＝CQ，
∴∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y，
∵∠BAC＝80°，
∴∠B+∠C＝100°，
即x+y+z＝80°，x+z+x+y＝100°，
∴x＝20°，
∴∠PAQ＝20°；
(2)∵△APQ周长为12，
∴AQ+PQ+AP＝12，
∵AQ＝CQ，AP＝PB，
∴CQ+PQ+PB＝12，
即CQ+BQ+2PQ＝12，
BC+2PQ＝12，
∵BC＝8，
∴PQ＝2．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和.
30．(1)15cm
(2)
【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后根据的周长即可求解．
（2）根据三角形内角和定理求出的值，再求出的值，根据等边对等角可得，然后运用三角形的内角和定理进行计算．
【详解】（1）解：、分别垂直平分和，
，
的周长，
的周长为cm，
cm；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角性质，三角形内角和定理．运用整体思想是解题的关键．
31．（1）12；（2）30°．
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质证PA=PB，QA=AC．
（2）结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解．
【详解】解：（1）∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴AP＝BP，AQ＝CQ．
∴△APQ的周长为AP＋PQ＋AQ＝BP＋PQ＋CQ＝BC．
∵△APQ的周长为12，
∴BC＝12．
（2）∵AP＝BP，AQ＝CQ，
∴∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ．
∵∠BAC＝105°，
∴∠BAP＋∠CAQ＝∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝180°－105°＝75°．
∴∠PAQ＝∠BAC－(∠BAP＋∠CAQ)＝105°－75°＝30°．
32．见解析
【分析】由垂直平分线的性质知，，通过等量代换可得，即可证明．
【详解】证明：连接OB,OC,
∵，的垂直平分线，相交于点O，
∴点O在，的垂直平分线上，
∴，，
∴，
∴点O在的垂直平分线上．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质及判定，牢记垂直平分线的性质及判定方法是解题的关键：垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．
33．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的性质得到，再判定，得出；
（2）由（1）得到点在的垂直平分线上，再根据，可得点在的垂直平分线上，进而得到是的垂直平分线．
【详解】（1）证明：是的平分线上一点，，，
．
在和中，
，
．
．
（2），
点在的垂直平分线上．
又，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键．
34．（1）见解析；（2）∠EBC=21°，∠F=23°．
【分析】（1）根据到线段的两个端点的距离相等的点在垂直平分线上证明；
（2）根据等腰三角形的性质求出∠ABE，结合图形计算即可．
【详解】（1）证明：∵∠A=∠ABE，
∴EA=EB，
∴点E在AB的垂直平分线上
∵AD=DB，
∴DF是线段AB的垂直平分线；
（2）∵∠A=46°，
∴∠ABE=∠A=46°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=67°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=21°，
∵DF是线段AB的垂直平分线；
∴∠BDF=90°
∴∠F=90°﹣∠ABC=23°．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在垂直平分线上是解题的关键．
35．C
【分析】根据轴对称的性质及最短路径问题解答．
【详解】解：解：连接PQ，作PQ的垂直平分线交直线l于点M，
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质的应用．这类问题的解答依据是“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”．
36．C
【分析】利用垂直平分线的性质即可判断．
【详解】如图，可知两个圆弧交点所连直线为线段MN的垂直平分线，
根据垂直平分线的性质，可得发射塔应该在C处，
故选：C．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的实际应用，理解中垂线的性质是解题关键．
37．(1)见解析
(2)20°
【分析】（1）分别以点A，C为圆心，以大于得长度为半径画弧，两弧在两边相交，然后过这两点作直线即可；
（2）连接，根据垂直平分线的性质，等边对等角及三角形的内角和建立方程求解即可；
【详解】（1）如图所示，即为所求作的边的垂直平分线；
（2）如图，连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
则，
在中，，
∴，
解得，
即．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的作法，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
38．见解析
【分析】根据垂直平分线的性质，连接AB、BC，分别作AB、BC的垂直平分线交于P，即可求出机井应该要设的位置．
【详解】如图所示，分别作出连接AB、BC，分别作AB、BC的垂直平分线交于P，则P为机井的位置．
【点睛】此题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等．
39．见解析．
【分析】连接AB，作AB的垂直平分线，其与河岸边的交点即是所求．
【详解】解：连接AB，分别以A和B为圆心，以大于为半径的两弧交于点E和F，
作直线EF，与河岸交于点C，如图，则码头应建在点C处．
【点睛】本题考查应用与设计作图问题，难度适中，关键要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
40．（1）见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据题意进行作图即可；
（2）根据题意可证明△ACD≌△ECD，再利用全等的性质及等腰三角形“三线合一”的性质即可证明结论.
【详解】解：（1）如图所示；
（2）证明：由题意可知，AC=AD=AB，CE=ED=AB，
∴AC=CE，AD=DE，
又∵CD=CD，
∴△ACD≌△ECD，
∴∠ACD=∠ECD，
又∵AC=CE，
∴CO垂直平分AE，
∴l垂直平分AE.
【点睛】本题考查了作图及线段的垂直平分线，需熟练掌握全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，学会应用“三线合一”证明线段的垂直平分线.
41．详见解析
【分析】到M、N距离相等的点在线段的垂直平分线上，故其位置为线段的垂直平分线与公路的交点处．
【详解】解：（1）连接；
（2）作线段的垂直平分线l，交直线于C点，则C点即为所求．
由作图可知：点C在的垂直平分线l上，
∴．
∴当汽车行驶到哪点C时，与村庄M，N的距离相等．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，属基本作图题．
