第01讲 比例线段
知识点1 比例线段
1．线段的比：
如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成．
2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．比例的基本性质：
（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；
（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）．
知识点2 黄金分割比
1．黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段，如果，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值)．
2．作一条线段的黄金分割点：
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB．
（2）连接AD，在DA上截取DE=DB．
（3）在AB上截取AC=AE．则点C为线段AB的黄金分割点．
注意：一条线段的黄金分割点有两个．
知识点3 平行线分线段成比例
类型1 平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
几何语言：
如图一：直线AB//CD//EF，直线AE、BF分别交AB、CD、EF于A、B、C、D、E、F，若AC=EC，则BD=FD
拓展：
1）．如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等；
如图一：直线AB//CD//EF，直线AE、BF分别交AB、CD、EF于A、B、C、D、E、F，且AB、CD、EF的距离为d1，d2，若d1=d2，则AC=EC，BD=FD
2）．经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边；
如图二：在中，D为中点，//交于点F，则
3）经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半．
如图三，在梯形ABCD中，E为AB中点，EF//BC交DC于点F，则AF=CF；EF=
类型2 平行线分线段成比例定理
（1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交，截得的对应线段成比例．
如图四，在中，//，则；
如图五，在中，//，交CA、BA延长线于点E、D，则
（2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例
如图四，在中，//，则；
如图五，在中，//，交CA、BA延长线于点E、D，则
知识点4 相似图形
在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures)．
注意：
（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
（2） “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；
知识点5相似多边形
相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
注意：
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比．
【题型1 比例性质】
（2023春 乳山市期末）
【典例1】
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
（2022秋 万州区期末）
【变式1-1】
2．已知，则的值是（ ）
A．3 B． C． D．
（2023春 张店区期末）
【变式1-2】
3．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（2023 大丰区校级模拟）
【变式1-3】
4．若，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【题型2 比例线段】
（2022秋 于洪区期末）
【典例2】
5．若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则（ ）
A．8cm B．0.5cm C．2cm D．3cm
（2023 金山区一模）
【变式2-1】
6．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A． B．
C． D．
（2022秋 叙州区期末）
【变式2-2】
7．下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（ ）
A．1，2，3，4 B．1，2，3，6 C．2，3，4，5 D．1，3，4，7
（2023 邵阳模拟）
【变式2-3】
8．四条线段a，b，c，d成比例，其中，则线段c的长为（ ）
A．1cm B．4cm C．9cm D．12cm
（2022秋 余姚市期末）
【典例3】
9．已知线段，，则，的比例中项线段等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
（2022秋 池州期末）
【变式3-1】
10．已知线段，线段b是、的比例中项，则线段c的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
（2022秋 兴化市期末）
【变式3-2】
11．已知线段，，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么（ ）
A．±3 B．3 C．4.5 D．5
【题型3 黄金分割比】
（2023春 海阳市期末）
【典例4】
12．已知如图，点是线段的黄金分割点（），则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023春 栖霞市期末）
【变式4-1】
13．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（ ）
A．AB2＝AP2+BP2 B．BP2＝AP BA
C． D．
（2022秋 渭南期末）
【变式4-2】
14．已知点是线段的黄金分割点（），若线段，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
（2023 开化县模拟）
【变式4-3】
15．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近黄金分割比时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高L的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）．
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【题型4 平行线分线段成比例定理及其推论基本应用】
（2022秋 惠安县期末）
【典例5】
16．如图，直线，若，，，则的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
（2023 武侯区校级模拟）
【变式5-1】
17．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ）
A． B． C．5 D．9
（2023春 张店区期末）
【变式5-2】
18．如图，直线，直线a，b，c分别交直线m，n于点A，C，E，B，D，F，若，，，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
（2023春 任城区期末）
【典例6】
19．如图：，，那么CE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（2023春 罗定市校级期中）
【变式6-1】
20．如图，已知，，若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（2023 宁化县模拟）
【变式6-2】
21．如图，已知一组平行线，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且，则（ ）
A． B． C． D．
（2023 市中区一模）
【典例7】
22．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则AC的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
（2022秋 西岗区校级期末）
【变式7-1】
23．如图，已知D，E分别是，上的点，且，，那么等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
（2023 吉林）
【变式7-2】
24．如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
（2023 三明模拟）
【变式7-3】
25．如图，在中，，，，则的长为（ ）
A． B．4 C．6 D．
【题型5 相似图形】
（2023 茂南区二模）
【典例8】
26．任意下列两个图形不一定相似的是（ ）
A．正方形 B．等腰直角三角形 C．矩形 D．等边三角形
（2023 东洲区模拟）
【变式8-1】
27．下列各组图形不是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
（2022秋 铁西区期末）
【变式8-2】
28．如图，有三个矩形，其中是相似图形的是（ ）
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙
【题型6 相似多边形的性质】
（2022秋 高新区期末）
【典例9】
29．如图，矩形∽矩形，已知，，，则FG的长为（ ）
A．8cm B．cm C．cm D．cm
（2023 婺城区模拟）
【变式9】
30．如图，矩形中，，，剪去一个矩形后，余下的矩形矩形，则的长为 ．
（2023 鼓楼区二模）
【典例10】
31．若两个相似四边形的面积比是，则它们的周长比是 ．
（2022秋 双牌县期末）
【变式10-1】
32．已知相似三角形的相似比为9：4，那么这两个三角形的周长比为（ ）
A．9：4 B．4：9 C．3：2 D．81：16
（2022秋 会宁县校级期末）
【变式10-2】
33．两相似多边形的面积比是，较小多边形的周长为，则较大多边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
（2023 金昌）
34．若，则（ ）
A．6 B． C．1 D．
（2023 吉林）
35．如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
（2022 巴中）
36．如图，在平面直角坐标系中，C为的边上一点，，过C作交于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
（2023 威海）
37．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
（2023 泰州）
38．两个相似图形的周长比为，则面积比为 ．
（2023 北京）
39．如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．
（2022 镇江）
40．《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 倍．
（2023 达州）
41．如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，之间的距离为 ．
（2023春 肇源县月考）
42．若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
（2023 柳州二模）
43．宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
（2022秋 祁阳县期末）
44．若x：（x+y）＝3：5，则x：y＝（ ）
A． B． C． D．
（2023 兴庆区二模）
45．生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（ ）
A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米
（2022秋 伊川县期末）
46．下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．a＝，b＝3，c＝2，d＝ D．a＝2，b＝，c＝2，d＝
（2023 铁东区一模）
47．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2022秋 兖州区校级期末）
48．如图，直线，直线AC分别交，，于点A，B，C；直线DF分别交，，于点D，E，F．AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
（2022秋 隆回县期末）
49．如图，在△ABC中，DEBC，若，则等于( )
A． B． C． D．
（2022秋 郯城县校级期末）
50．如图，已知在中，点D、E、F分别是边、、上的点，，，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．
（2022秋 朔城区期末）
51．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1
（2022秋 崂山区校级期末）
52． 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，
OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是【 】
A．（－2，3） B．（2，－3） C．（3，－2）或（－2，3） D．（－2，3）或（2，－3）
（2022秋 滨海新区校级期末）
53．下列多边形一定相似的是 （ ）
A．两个菱形 B．两个平行四边形 C．两个矩形 D．两个正方形
（2022秋 法库县期末）
54．如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（ ）
A． B．
C． D．
（2022秋 于洪区期末）
55．如图，已知，，那么下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2023春 威海期中）
56．如图，，若，，，则DE的长度是（ ）
A．6 B． C． D．
（2023春 渝中区期末）
57．若线段AB＝2，且点C是AB的黄金分割点，则BC等于（ ）
A． B．3﹣ C． D．或3﹣
（2022秋 池州期末）
58．已知线段，线段b是、的比例中项，则线段c的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
（2023 新都区模拟）
59．已知，且，则的值为 ．
（2023春 环翠区期末）
60．若，则 = ．
（2022秋 池州期末）
61．如图所示,已知AM∶MD=4∶1,BD∶DC=2∶3,则AE∶EC= .
（2022秋 浦东新区校级期末）
62．如图，直线AD∥BE∥CF，BC=AB，DE=6，那么EF的值是 ．
（2023 偃师市模拟）
63．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为 米．
（2022秋 通州区期末）
64．如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值．
参考答案：
1．C
【分析】先求得，再代值求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查分式的求值，掌握分式的性质并正确求解是解答的关键．
2．B
【分析】根据，得到，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的基本性质，是解题的关键．
3．D
【分析】根据比例的性质：内项之积等于外项之积进行解答即可．
【详解】解：由得：，则，
∴==，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查比例的性质、代数式求值，解答的关键是熟练掌握比例的性质：内项之积等于外项之积．
4．D
【分析】把比例式转化为乘积式，逐项判断即可．
【详解】解：A.由，可得，不符合题意；
B.由，可得，不符合题意；
C.由，可得，不符合题意；
D.由，可得，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了比例的基本性质，解题关键是熟练掌握比例式与乘积式的互相转化．
5．A
【分析】根据四条线段成比例的概念，得比例式a：b=c：d，再根据比例的基本性质，即可求得d的值．
【详解】解：∵线段，，，成比例，
∴，
∴(cm)．
故答案为：A ．
【点睛】本题考查了成比例线段的定义，熟练掌握比例式的计算是解题的关键．
6．D
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】解：A、∵，
∴四条线段不成比例，不符合题意；
B、∵，
∴四条线段不成比例，不符合题意；
C、∵，
∴四条线段成比例，不符合题意；
D、∵，
∴四条线段成比例，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
7．B
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．
【详解】解：A.1：2≠3：4，故四条线段不成比例，不合题意；
B.1：2=3：6，故四条线段成比例，符合题意；
C.2：3≠4：5，故四条线段不成比例，不合题意；
D.1：3≠4：7，故四条线段不成比例，不合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了比例线段，如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
8．B
【分析】根据成比例线段的定义得到，据此求解即可
【详解】解：∵四条线段a，b，c，d成比例，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了成比例线段，正确理解题意得到是解题的关键．
9．C
【分析】利用比例中项的平方等于两外项的乘积，进行计算即可．
【详解】解：设a，b的比例中项线段为c，
则：，
∵，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查比例中项．熟练掌握比例中项的平方等于两外项的乘积，是解题的关键．
10．C
【分析】根据线段b是的比例中项，得，即可求出线段c的值．
【详解】解：线段b是的比例中项，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查比例中项的定义，解题的关键是掌握比例中项的性质．
11．B
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出比例中项，注意线段不能为负．
【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：
比例中项的平方等于两条线段的乘积．
则，
解得（线段是正数，负值舍去），
所以．
故选：B．
【点睛】此题考查了比例线段，正确理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数是解题关键．
12．C
【分析】根据黄金分割的定义可得，进而可得答案．
【详解】解：∵点是线段的黄金分割点（），
∴，
∴选项C是正确的．
故选：C．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握该知识是解题的关键．
13．D
【分析】根据黄金分割的定义分别进行判断．
【详解】解：P为AB的黄金分割点（AP＞PB）可得AP2＝AB PB或．
故选：D．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
14．A
【分析】根据黄金分割点的定义，；则，代入数据即可得出的长度．
【详解】解：由于为线段的黄金分割点，
且是较长线段；
则．
故选：A．
【点睛】本题考查了黄金分割点的概念，解题的关键是熟记黄金比的值进行计算．
15．C
【分析】先求得下半身的实际高度，再列出方程求解．
【详解】解：根据已知条件得下半身长是165×0.60=99cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，
由题意可得： ＝0.618，
解得：y≈8cm．
经检验：y≈8cm是原方程的解，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程在黄金分割比的应用，掌握分式方程的列出和黄金分割比的式子是本题关键．
16．C
【分析】根据，得到，代入数值求出，即可求出的长．
【详解】解：∵，
∴,
∴，
解得，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例：一组平行线截两条直线，所截对应线段成比例．
17．A
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
18．A
【分析】由直线，根据平行线分线段成比例定理，即可得，又由，，，即可求得的长即可．
【详解】解：，
，
，，，
，
解得：，
故选：A．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．题目比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
19．A
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
，
即，
∴CE＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确列出比例式是解题的关键．
20．B
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可.
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确列出比例式是解题的关键．
21．C
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
【详解】解：∵，
∴，即，
解得，，
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
22．C
【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得，解比例方程可求出EC，最后即可求出AC．
【详解】∵DE∥BC，
∴，即，
解得：EC＝2，
∴AC＝AE+EC＝4+2＝6；
故选C．
【点睛】此题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理及推论和比例的基本性质是解决此题的关键．
23．C
【分析】先证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：，
，，
，
，
设，
，
，
解得．
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24．A
【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出，即可求解．
【详解】解：∵中，，
∴，
∵
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”．
25．B
【分析】证明，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握利用相似三角形的判定和性质进行解题．
26．C
【分析】相似图形的定义：形状相同的两个图形是相似形；如果各角分别相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形；根据这两个定义即可判断得解．
【详解】解：A、因为任意两个正方形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以A不符合题意
B、因为任意两个等腰直角三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以B不符合题意；
C、因为任意两个矩形的对应边不一定成比例，对应角相等，不是相似图形，所以C符合题意；
D、因为任意两个等边三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以A不符合题意；
故选C．
【点睛】此题考查了相似图形的概念，熟练掌握相似形与相似多边形的概念是解答此题的关键．
27．B
【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】解：选项A、C、D的形状相同，但大小不同，符合相似形的定义；
选项B形状不相同，不符合相似形的定义；
故选：B．
【点睛】本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的图形是相似图形．
28．B
【分析】根据对应角相等且对应边成比例的两个多边形相似即可判断．
【详解】解：∵，
∴是相似形的是甲和丙
故选B．
【点睛】本题主要考查了相似多边形的判定，熟知相似多边形对应边成比例是解题的关键．
29．B
【分析】根据相似三角形的性质得，进行计算即可得．
【详解】解：∵矩形∽矩形，
∴，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．
30．1
【分析】根据相似多边形的性质得，即，然后利用比例性质求出即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵余下的矩形矩形，
∴，即，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解决本题的关键是掌握如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比．
31．##
【分析】根据相似多边形的性质可进行求解．
【详解】解：若两个相似四边形的面积比是，则它们的周长比是；
故答案为．
【点睛】本题主要考查相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
32．A
【分析】根据“相似三角形的周长比等于相似比”进行求解．
【详解】解：∵这两个相似三角形的相似比为9：4，
∴这两个相似三角形的周长比为9：4．
故选：A．
【点晴】本题考查了相似三角形的性质．解题关键是掌握相似三角形的周长比等于相似比．
33．A
【分析】利用面积比等于相似比的平方，求出相似比，再利用周长比等于相似比进行计算即可．
【详解】解：两相似多边形的面积比是，
∴两相似多边形的相似比为：，
∴两相似多边形的周长比为：，
∵较小多边形的周长为，
∴较大多边形的周长为：；
故选A．
【点睛】本题考查相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比是解题的关键．
34．A
【分析】根据等式的性质即可得出结果．
【详解】解：等式两边乘以，得，
故选：A．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是本题的关键．
35．A
【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出，即可求解．
【详解】解：∵中，，
∴，
∵
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”．
36．C
【分析】由相似三角形的判定和性质，即可求得的长，即可求得点B的纵坐标．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∵C、D两点纵坐标分别为1、3，
∴，
∴，
解得：，
∴B点的纵坐标为6，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形，平行线分线段成比例定理，由此平行线分线段成比例定理求得的长是解题的关键．
37．C
【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可．
【详解】解：，由折叠可得：，，
∵矩形，
∴，
∴，
设的长为x，则，
∵矩形，
∴，
∵矩形与原矩形相似，
∴，即，
解得：（负值不符合题意，舍去）
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题的关键．
38．
【分析】由两个相似图形，其周长之比为，根据相似图形的周长的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相似图形的面积的比等于相似比的平方，即可求得答案．
【详解】解：两个相似图形，其周长之比为，
其相似比为，
其面积比为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了相似图形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是关键．
39．
【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而.
【详解】， ，，
，
，
，
，
；
故答案为：.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键.
40．1.2
【分析】设被称物的重量为，砝码的重量为，根据图中可图列出方程即可求解．
【详解】解：设被称物的重量为，砝码的重量为，依题意得，
，
解得，
故答案为：1.2．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握杠杆的原理是解题的关键．
41．
【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为，由此即可求解．
【详解】解：弦，点是靠近点的黄金分割点，设，则，
∴，解方程得，，
点是靠近点的黄金分割点，设，则，
∴，解方程得，，
∴之间的距离为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键．
42．D
【详解】∵，
∴==，
故选：D
43．D
【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．
【详解】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1
在直角三角形DCF中，
∴矩形DCGH为黄金矩形
故选：D．
【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形．
44．A
【分析】由比例的基本性质，把比例式转换为等积式后，能用其中一个字母表示另一个字母，达到约分的目的即可．
【详解】解：由得5x＝3x+3y，即2x＝3y，
所以．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，关键是掌握内项之积等于外项之积．
45．A
【分析】根据a:b≈0.618，且b=2即可求解．
【详解】解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2，
∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．
故答案为：A
【点睛】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题．
46．D
【分析】根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案．
【详解】解：A、4×10≠6×5，故不符合题意，
B、1×4≠2×3，故不符合题意，
C、×3≠2×，故不符合题意，
D、2×=2×，故符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
47．B
【详解】根据平行线分线段成比例可得，
代入计算可得：，
即可解EC=2，
故选B．
48．D
【分析】根据AG=2，GB=1求出AB的长，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案．
【详解】解：∵AG=2，GB=1，
∴AB=3，
∵ ，
∴ ，
故选D．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系列出比例式是解题的关键．
49．C
【详解】解：∵DEBC，
∴，
故选C．
【点睛】考点：平行线分线段成比例．
50．A
【分析】根据平行线分线段成比例，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
51．B
【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比进行求解即可．
【详解】解：∵两个相似多边形的面积之比为1：4，
∴这两个相似多边形的相似之比为1：2，
∴这两个相似多边形的周长之比为1：2，
故选B．
【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，熟知相似多边形面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比是解题的关键．
52．D
【详解】如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在一
条直线上，那么这两个图形叫做位似图形．把一个图形变换成与之位似的图形是位似变换．因此，
∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC．
∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，∴位似比为：．
∵点B的坐标为（－4，6），∴点B′的坐标是：（－2，3）或（2，－3）．故选D．
53．D
【分析】利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析．
【详解】解：要判断两个多边形是否相似，需要看对应角是否相等，对应边的比是否相等．
矩形、菱形、平行四边形都属于形状不唯一确定的图形，即对应角、对应边的比不一定相等，故不一定相似，A、B、D错误；
而两个正方形，对应角都是，对应边的比也都相等，故一定相似，C正确．
故选：D．
【点睛】本题考查相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对应角相等．两个条件必须同时具备．
54．A
【分析】根据相似多边形的定义逐项进行判断即可．
【详解】解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意；
B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似多边形的判定，熟练掌握相似多边形的定义，是解题的关键．
55．A
【分析】根据平行线分线段成比例定理求解．
【详解】解：∵，，
∴，故A选项正确；
，故B选项错误；
的值无法确定，故C选项错误；
的值无法确定，故D选项错误；
故选A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题关键是掌握：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
56．D
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例是，代入求出即可．
【详解】解∶∵，
∴DF=DE+4，
∵，
∴，
∵，，DF=DE+4，
∴，
∴DE=，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
57．D
【分析】分AC＜BC、AC＞BC两种情况，根据黄金比值计算即可．
【详解】当AC＜BC时，BC＝AB＝﹣1；
当AC＞BC时，BC＝2﹣(﹣1)＝3﹣，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了黄金分割比性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
58．C
【分析】根据线段b是的比例中项，得，即可求出线段c的值．
【详解】解：线段b是的比例中项，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查比例中项的定义，解题的关键是掌握比例中项的性质．
59．12
【分析】直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b-2c=6，得出答案．
【详解】解：∵，
∴设a=6x，b=5x，c=4x，
∵a+b-2c=6，
∴6x+5x-8x=6，
解得：x=2，
故a=12．
故答案为12．
【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．
60．
【详解】设，
即x=2k，y=3k ，z=4k ，
∴，
故答案为：
【点睛】考点：比例的应用．
61．8∶5
【分析】过点D作DF∥BE,再根据平行线分线段成比例,而为公共线段,作为中间联系,整理即可得出结论.
【详解】过点D作DF∥BE交AC于F,
∵DF∥BE,
∴AM:MD=AE:EF=4:1=8:2,BD:DC=EF:FC=2:3,
∴AE:EC=AE:(EF+FC)=8:(2+3)=8:5.
故答案为8:5.
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理的应用,作出辅助线,利用中间量EF即可得出结论.
62．4．
【详解】∵AD∥BE∥CF，BC＝AB，
∴＝=，
即=，
解得EF=4.
故答案为4．
点睛：本题利用平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
63．##
【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案．
【详解】∵点E是AB的黄金分割点，
∴．
∵AB=2米，
∴米．
故答案为：（）．
【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．
64．
【分析】解法1：过点D作AC的平行线交BN于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
解法2：过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
解法3：过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
解法4：过点D作BN的平行线交AC于点H，根据三角形中位线定理得出，
即可得出答案；
【详解】解法1：如图2，过点D作AC的平行线交BN于点H．
因为．
所以，
所以．
因为D为BC的中点，所以．
因为，所以，
所以．
因为M为AD的中点，所以．
所以，
所以．
解法2：如图3，过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H．
因为，所以，
所以．
因为D为BC的中点，所以．
因为M为AD的中点，所以，
所以．
因为，
所以，
所以．
解法3：如图4，过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H．
因为，所以，
所以．
因为M为AD的中点，所以，所以．
因为，所以，
所以．
因为D为BC的中点，且，
所以．
解法4：如图5，过点D作BN的平行线交AC于点H．
在中，
因为M为AD的中点，，
所以N为AH的中点，即．
在中，因为D为BC的中点，，所以H为CN的中点，即，
所以．
所以．
