2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区文晖实验学校九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
2. 抛物线是由抛物线( )
A. 向下平移个单位长度得到 B. 向上平移个单位长度得到
C. 向左平移个单位长度得到 D. 向右平移个单位长度得到
3. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是( )
A. B. C. D. 均不可能
4. 对于二次函数的图象，下列说法错误的是( )
A. 开口向上 B. 与轴有两个交点
C. 抛物线的对称轴为直线 D. 当时，随的增大而减小
5. 函数是关于的二次函数，则的值为( )
A. B. C. D.
6. 在中，，，，以为圆心，为半径作，则点与的位置关系是( )
A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定
7. 如图，是的直径，点、在圆周上，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
8. 下列说法正确的有( )
圆中的线段是弦；直径是圆中最长的弦；经过圆心的线段是直径；半径相等的两个圆是等圆；长度相等的两条弧是等弧；弧是半圆，半圆是弧．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
9. 如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，使点恰好落在上的点处，折痕为，则阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
10. 在平面直角坐标系式中，对于点和，给出如下定义：若，则称点为点的“可控变点”例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点若点在函数的图象上，则其“可控变点”的纵坐标关于的函数图象大致正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 如果一个正多边形的一个内角是，则这个正多边形是______．
12. 如图，若关于的二次函数的图象与轴交于两点，那么方程的解是______．
13. 已知扇形面积为，半径为，则扇形的弧长为______．
14. 已知二次函数，当时，的取值范围是______．
15. 二次函数的部分图象如图所示对称轴为，图象过点，且，以下结论：
；
；
关于的不等式的解集：；
若，且，则；
其中正确的结论是______ ．
16. 如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示．已知桥面跨径米，为圆上一点，于点，且米，则该圆的半径长为______米．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数．
若这个函数是一次函数，求的值；
若这个函数是二次函数，则的值应怎样？
18. 本小题分
在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点为，且经过点．
求该二次函数的解析式；
求该二次函数图象与轴的交点坐标．
19. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
直接写出点关于原点对称的点的坐标：______；
平移，使平移后点的对应点的坐标为，请画出平移后的；
画出绕原点逆时针旋转后得到的．
20. 本小题分
某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，市场调查发现，若每箱以元的价格调查，平均每天销售箱，价格每提高元，平均每天少销售箱．
求平均每天销售量箱与销售价元箱之间的函数关系式；
求该批发商平均每天的销售利润元与销售价元箱之间的函数关系式；
若物价部门规定每箱售价不得高于元，则每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？
21. 本小题分
如图，经过的顶点、，与边、分别交于点、，连接、，且．
求证：是等腰三角形；
若，，求的半径．
22. 本小题分
根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷灌器喷水口的升降方案
素材 随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．图中某庭院内有一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱成抛物线形．图是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处．
素材 为了美化庭院，准备在庭院内沿围墙建花坛种植绣球花，花坛高，宽，侧面用大理石包围，长方形是花坛截面，如图调整喷水口的高度，喷出的水柱形状与原来相同，水柱落在花坛的上方边上大理石厚度不计，达到给花坛喷灌的效果．
问题解决
任务 确定水柱的形状 在图中，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的表达式．
任务 确定喷灌器的位置 求出喷灌器与围墙的距离．
任务 拟定喷头升降方案 调整喷水口的高度，使水柱可以喷灌花坛，求喷水口距离地面高度的最小值．
23. 本小题分
若凸四边形的两条对角线所夹锐角为，我们称这样的凸四边形为“美丽四边形”．
在“平行四边形、矩形、菱形、正方形”中，一定不是“美丽四边形”的有______ ；
若矩形是“美丽四边形”，且，则 ______ ；
如图，“美丽四边形”内接于，与相交于点，且对角线，为直径，，，求另一条对角线的长；
如图，平面直角坐标系中，已知“美丽四边形”的四个顶点，，在第三象限，在第一象限，与交于点，且四边形的面积为，若二次函数、、为常数，且的图象同时经过这四个顶点，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为抛物线，
所以抛物线的顶点坐标是．
故选：．
根据二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标即可．
本题考查了二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：抛物线向下平移个单位，即可得出抛物线．
故选：．
根据二次函数平移的性质“左加右减，上加下减”进而得出即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据平移规律得出是解题关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．
要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第块可确定半径的大小．
【解答】
解：第块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选A．
4.【答案】
【解析】解：、二次函数中，，则，
抛物线开口向上，故选项正确，不符合题意；
B、当时，，
，
方程有两个不相等的实数根，则二次函数的图象与轴有两个交点，故选项正确，不符合题意；
C、，
抛物线的对称轴为，故选项正确，不符合题意；
D、，
抛物线的对称轴是直线，
，
抛物线开口向上，
当时，随的增大而增大，故选项错误，符合题意．
故选：．
根据二次函数的图象和性质分别对抛物线开口方向、与轴交点个数、顶点坐标、函数的增减性进行判断即可．
此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：函数是关于的二次函数，
且，
解得，
故选：．
根据二次函数的定义：二次函数求解即可，
本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是注意二次项的系数不能为．
6.【答案】
【解析】解：中，，，，
，
，
点在内，
故选：．
利用勾股定理求得边的长，然后通过比较与半径的长即可得到结论．
本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是确定圆的半径和点与圆心之间的距离之间的大小关系．
7.【答案】
【解析】解：连接，
是的直径，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，从而求出的度数，最后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：圆中的线段是弦，错误，不符合题意；
直径是圆中最长的弦，正确，符合题意；
经过圆心的线段是直径，错误，不符合题意；
半径相等的两个圆是等圆，正确，符合题意；
长度相等的两条弧是等弧，错误，不符合题意；
弧不一定是半圆，但半圆是弧，故原命题错误，不符合题意，
正确的有个，
故选：．
利用圆的有关定义和性质分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关定义和性质，难度不大．
9.【答案】
【解析】解：如图，过点作，交的延长线于点，连接，
根据折叠的性质，，，，
，
为等边三角形，
．
，
，
，
，
与面积相等，
．
故选：．
连接，可得为等边三角形，再求出以及，得到三角形的面积，又因为与面积相等，最后利用求解即可．
本题考查与扇形有关的不规则图形的面积求法，掌握割补法求面积是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：画出函数的图象，如图所示．
将轴右侧的图象关于轴颠倒过来，即可得出关于的函数图象．
故选A．
画出函数的图象，根据“可控变点”的定义找出关于的函数图象，由此即可得出结论．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解“可控变点”的定义．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数图象的变换找出图形是关键．
11.【答案】正八边形
【解析】解：正多边形的一个内角是，
它的每一个外角为．
又因为多边形的外角和恒为，
即该正多边形为正八边形．
故答案为：正八边形．
先求出正多边形的一个外角，利用外角和求出该正多边形的边数．
本题考查了内角、外角的关系及外角和与正多边形外角的关系．掌握正多边形外角与边数间关系是解决本题的关键．正多边形的一个外角度数边数．
12.【答案】或
【解析】解：由函数的图象知，抛物线和轴的交点坐标为、，
故的解是或，
故答案为或．
由函数的图象知，抛物线和轴的交点坐标为、，即可求解．
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
13.【答案】
【解析】解：设扇形的弧长为，由扇形面积公式可得，
，
解得，
故答案为：．
根据扇形面积的计算公式即可求出答案．
本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算公式是正确解答的关键．
14.【答案】
【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
将代入得，
当时，的取值范围是，
故答案为：．
将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线开口方向及顶点坐标求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．掌握二次函数与不等式的关系．
15.【答案】
【解析】解：抛物线开口向下，
，
，
，
交轴的正半轴，
，
，
故正确；
，对称轴是直线，
抛物线与轴的交点为，
对称轴是直线，
抛物线与轴的另一个交点为，
当时，，
；
故正确；
，
，
，
或；
故错误；
，
，
，
；
故正确；
综上，正确结论的有，
故答案为：．
根据抛物线的开口方向，对称轴以及与轴的交点即可判断；根据对称性可判断；根据不等式和二次函数图象的交点可判断；根据抛物线与轴的交点和一元二次方程根与系数的关系即可判断．
此题考查图象二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，以及二次函数与不等式的关系，根的判别式的熟练运用．
16.【答案】
【解析】解：过作于，过作于，如图所示：
则米，，
，
，
四边形是矩形，
米，米，
设该圆的半径长为米，
由题意得：，
解得：，
即该圆的半径长为米，
故答案为：．
过作于，过作于，由垂径定理得米，再证四边形是矩形，则米，米，设该圆的半径长为米，然后由题意列出方程组，解方程组即可．
本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
17.【答案】解：依题意得
；
依题意得，
且．
【解析】本题考查了一次函数的定义以及二次函数的定义，二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键．
根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得关于方程的方程组，解方程组可得答案；
根据二次项的系数不等于零，可得不等式，根据解不等式，可得答案．
18.【答案】解：由题得：设抛物线解析式为：，
将代入得：，
．
抛物线解析式为：．
令时，则，
，．
该二次函数与轴交点坐标为，．
【解析】先利用顶点为二次函数的顶点式，再将代入求即可；
令，解一元二次方程即可求出交点横坐标，从而得出交点坐标．
本题考查待定系数法求二次函数解析式，求抛物线与轴的交点等知识，掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键．
19.【答案】
如图所示，即为所求．
如图所示，即为所求．
【解析】解：点关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：；
见答案；
见答案。
根据关于原点对称的两点的横纵坐标均与原来点的横纵坐标互为相反数，据此可得答案；
将三个点分别向右平移个单位、再向上平移个单位，继而首尾顺次连接即可；
将三个点分别绕原点逆时针旋转后得到对应点，再首尾顺次连接即可．
本题主要考查作图平移变换、旋转变换，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
20.【答案】解：，
平均每天销售量箱与销售价元箱之间的函数关系式为；
根据题意得：，
该批发商平均每天的销售利润元与销售价元箱之间的函数关系式为；
由知
，
，，
当元时，利润最大．
每箱苹果的销售价为元时，可以获得最大利润．
【解析】平均每天销售量原来的销售量相对于元的单价提高的价格；
销售利润每箱苹果的利润平均每天销售量；
结合得到的关系式，用配方法得到相应的销售价和最大利润即可．
考查二次函数的应用；得到平均每天的销售量是解决本题的关键．
21.【答案】证明：四边形为圆内接四边形，
．
又，
．
又，
．
，
为等腰三角形．
解：如图，连接并延长交于点，连接，，
，，
点、在的垂直平分线上，即垂直平分，
于点，．
，，
，．
在中：，
．
【解析】由四边形为圆内接四边形，得出利用同弧所对的圆周角相等得出，再利用等量代换得到，从而得证；
连接并延长交于点，连接，，
本题考查同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的判定等知识，掌握与圆有关的基础知识是解题的关键．
22.【答案】解：如图，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
设抛物线解析式为，把代入得：，
解得：，
抛物线的表达式为．
令，得，
解得：，，
，
，
故喷灌器与围墙的距离为．
如图，由题意得：，，
，，
设，把代入得，，
解得：，
，
当时，，
，
设，把代入得，，
解得：，
，
当时，
，
，
故，喷水口距离地面高度的最小值为．
【解析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，理清题中的数量关系并结合实际分析，是解题的关键．
建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的函数表达式；
令，求得方程的解，根据问题的实际意义作出取舍即可；
由题意可得： ，，，分别代入和，求得的最小值和最大值，再令，即可分别求得的最小值和最大值．
23.【答案】菱形、正方形 或
【解析】解：菱形、正方形的对角线互相垂直，
菱形、正方形不是“美丽四边形”，
故答案为：菱形、正方形；
设矩形对角线相交于点，
，，，，
，
矩形是“美丽四边形”，
、夹角为，
如图，若为较短的边，则，
是等边三角形，
，
在中，，
；
如图，若为较长的边，则，
是等边三角形，
，
在中，，
，
故答案为：或；
过点作于点，连接，
，，
，，
直径，
，
，
四边形是“美丽四边形”，
，
在中，，
，
在中，，
；
过点作轴于点，过点作轴于点，
，
四边形是“美丽四边形”，
，
，
即，
直线解析式为，
二次函数的图象过点、，
即与轴交点为、，
用交点式设二次函数解析式为，
整理得：，
，，
，
，
，
，
，
解得：，，
的值为：或．
由菱形、正方形的对角线互相垂直即可判断．
矩形对角线相等且互相平分，再加上对角线夹角为，即出现等边三角形，所以得到矩形相邻两边的比等于由于边不确定是较长还是较短的边，故需要分类讨论计算．
过点作垂直，连接，由可求得，在中勾股定理可求，再由垂径定理可得．
由与轴成角可知直线解析为，由二次函数图象与轴交点为、可设解析式为，把两解析式联立方程组，消去后得到关于的一元二次方程，解即为点、横坐标，所以用韦达定理得到和进而得到用表示的又由四边形面积可求得，即得到关于的方程并解方程求得．
本题考查了新定义的理解和性质应用，掌握菱形、正方形的性质，矩形的性质，特殊三角函数的应用，垂径定理，一次函数的性质，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
第1页，共1页
