2023-2024学年陕西省西安二十三中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的倒数是( )
A. B. C. D.
2. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 若，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
4. 计算：( )
A. B. C. D.
5. 在中，，，的对边分别记为，，，由下列条件不能判定为直角三角形的是( )
A. B. ：：：：
C. D. ：：：：
6. 若分式有意义，则应满足的条件为( )
A. B. C. D. 且
7. 在一个不透明的盒子里，装有个黑球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将其摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再把它放回盒子中，不断重复，共摸球次，其中次摸到黑球，请估计盒子中白球的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8. 下列命题中，真命题是( )
A. 平行四边形的对角线平分对角 B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 有一个角是直角的菱形是正方形 D. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
9. 如图，中，，是边的垂直平分线，分别交、于点、，连接，若恰好为的平分线，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，在正方形外取一点，连接，，过点作的垂线交于点若，，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11. 因式分解______．
12. 若多边形的每一个外角都等于，则该多边形的边数是______ ．
13. 在平面直角坐标系中，一次函数均为常数与正比例函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______．
14. 分如图，菱形的对角线相交于点，，，点为边上一点，且不与写、重合．过作于，于，连接，则的最小值等于____．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
15. 化简：．
四、解答题（本大题共8小题，共53.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
计算：．
17. 本小题分
解不等式组：．
18. 本小题分
解方程：．
19. 本小题分
如图，已知，点为边上一点，请用尺规在边上作一点，使得要求：保留作图痕迹，不写作法和证明．
20. 本小题分
如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点．
求证：是等腰三角形；
21. 本小题分
已知：如图，，是正方形的对角线上的两点，且求证：四边形是菱形．
22. 本小题分
某水果店第一次用元购进一批大樱桃，很快售完；又用元购进第二批大樱桃，所购公斤数是第一批的倍，但进价比第一批每公斤多了元．
求第一批大樱桃每公斤进价多少元？
若以每公斤元的价格销售第二批大樱桃，售出后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批大樱桃的销售利润不少于元，剩余的大樱桃每公斤售价至少打几折利润售价进价？
23. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，四边形的点在坐标原点上，点在轴上，，点的坐标为，点的坐标为，动点从点沿方向以每秒个长度单位的速度运动，动点从点沿的方向以每秒个长度单位的速度运动．点、同时出发，一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为秒．
当时，点的坐标为______ ，点的坐标为______ ；
当为何值时，四边形是矩形？
运动过程中，四边形能否为菱形？若能，求出的值；若不能说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的倒数是，
故选：．
根据倒数的定义即可得到结论．
本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：旋转，不能与原图形完全重合，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.旋转，与原图形能够完全重合，是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.旋转，不能与原图形完全重合，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.旋转，不能与原图形完全重合，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形的性质得出图形旋转，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出即可．
此题主要考查了中心对称图形的性质，根据中心对称图形的定义判断图形是解决问题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、若，则成立，原变形不成立，故此选项不符合题意；
B、若，则成立，原变形一定成立，故此选项符合题意；
C、若，则不一定成立，当时原变形不成立，故此选项不符合题意；
D、若，则成立，原变形不成立，故此选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的基本性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可．
此题主要考查了不等式的性质，关键是注意不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
4.【答案】
【解析】解：原式．
故选：．
单项式乘以单项式，首先系数乘以系数，然后相同字母相乘，最后只在一个单项式含有的字母照写．
本题主要考查了单项式乘单项式，解决本题的关键是掌握单项式乘单项式法则．
5.【答案】
【解析】解：、，，是直角三角形，不符合题意；
B、设，，，，不是直角三角形，符合题意；
C、，，是直角三角形，不符合题意；
D、：：：：，，是直角三角形，不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐个判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，三角形的内角和等于．
6.【答案】
【解析】解：分式有意义，
则，
解得：且．
故选：．
利用分式分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义得出答案．
本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
分式无意义分母为零；
分式有意义分母不为零；
分式值为零分子为零且分母不为零．
7.【答案】
【解析】解：共试验次，其中有次摸到黑球，
白球所占的比例为，
设盒子中共有白球个，则，
解得：．
故选：．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
8.【答案】
【解析】解：、菱形和正方形的对角线平分对角，原命题是假命题；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题；
C、有一个角是直角的菱形是正方形，是真命题；
D、对角线平分且互相垂直的四边形是菱形，原命题是假命题；
故选：．
根据平行四边形的性质，矩形、正方形、菱形的判定判断即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的性质，矩形、正方形、菱形的判定，难度不大．
9.【答案】
【解析】解：设，
是边的垂直平分线，
，
，
平分，
，
，
，
在中，根据三角形的内角和定理得：，
解得：，
，
故选：．
设出的度数，然后利用垂直平分线和角平分线的性质表示出和的度数，利用三角形内角和定理列出方程求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是设出未知数并列出方程求解．
10.【答案】
【解析】解：，，
，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
≌
，
，
，
，
在中，，
在中，，
过作于，如图：
，
是等腰直角三角形，
，
即点到直线的距离为．
故选：．
先根据题意说明≌，从而得出，再结合题意说明，进而求出，，再运用勾股定理即可求解．
本题考正方形的性质和全等三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线并说明是等腰直角三角形是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：原式
，
故答案为：
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：一个多边形的每一个外角都等于，且多边形的外角和等于，
这个多边形的边数是：，
故答案是：．
由一个多边形的每一个外角都等于，且多边形的外角和等于，即可求得这个多边形的边数．
此题考查了多边形的外角和定理．此题比较简单，注意掌握多边形的外角和等于是关键．
13.【答案】
【解析】解：把代入，
解得：，
由图象可知，不等式的解集为：，
故答案为：．
把代入，得出，再根据函数的图象即可得出不等式的解集．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
14.【答案】略
【解析】解：连接，如图所示：
四边形是菱形，，，
，，，
，
，，，
四边形是矩形，
，
当时，有最小值，
此时，
，
的最小值为，
故答案为：．
由菱形的性质可得，，，再由勾股定理可求的长，然后证四边形是矩形，得，时，有最小值，最后由面积法可求解．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理以及三角形面积等知识；掌握菱形的性质好矩形的判定与性质是解题的关键．
15.【答案】解：原式
．
【解析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的．
本题考查分式的混合运算，理解分式混合运算的运算顺序和计算法则，掌握通分和约分的技巧是解题关键．
16.【答案】解：原式
．
【解析】利用立方根的定义，绝对值的性质，负整数指数幂进行计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
18.【答案】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19.【答案】解：如图，点即为所求作．
【解析】如图所示：过点作的垂线，交于点，点即为所求
本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】证明：平分，
，
，，
，，
，
，
，
，
是等腰三角形．
【解析】根据题意和图形，可以求得，然后即可证明结论成立．
本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】证明：
连接交于点，
是正方形，
，，，
，
四边形是菱形对角线互相平分且垂直的四边形是菱形．
【解析】利用菱形的判定定理进行证明．
本题考查了菱形的判定定理，理解特殊四边形之间的关系是解题的关键．
22.【答案】解：设第一批大樱桃每公斤进价为元，则第二批大樱桃每公斤进价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：第一批大樱桃每公斤进价为元．
设剩余的大樱桃每公斤售价打折，
依题意得：，
解得：．
答：剩余大樱桃每公斤售价最少打折．
【解析】设第一批大樱桃每公斤进价为元，则第二批大樱桃每公斤进价为元，根据数量总价单价结合第二批购进大樱桃的数量是第一批的倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设剩余的大樱桃每公斤售价打折，根据利润售价进价结合第二批大樱桃的销售利润不少于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】；
【解析】解：点的坐标为，点的坐标为，动点从点沿方向以每秒个长度单位的速度运动，动点从点沿的方向以每秒个长度单位的速度运动，
，，
，
点的坐标为：，点的坐标为：；
当四边形是矩形时，，
所以，解得：．
故秒时四边形是矩形；
存在秒时，四边形为菱形，
理由：四边形为平行四边形时，，
所以，
解得： 此时，．
过点作于点，则四边形是矩形．
，，
在中，，
，
平行四边形是菱形，
当时，四边形为菱形．
根据已知点的坐标和移动的速度求得和的长，然后即可求得点和点的坐标；
利用矩形的对边相等得到，从而得到有关的方程，求得值即可；
先求出四边形是平行四边形的值，并求出的长度，然后过点作于，得到四边形是矩形，根据矩形的对边相等可得，，然后求出，再利用勾股定理列式求出，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形进行验证．
本题是四边形综合题型，主要利用了矩形的性质，平行四边形与菱形的关系，梯形的问题，以及勾股定理，根据矩形、菱形与平行四边形的联系列出方程是解题的关键．
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