第一章 集合与常用逻辑用语
时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中的元素个数为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
2．若集合P，Q满足P＝{x∈Z|x＜3}，Q N，则P∩Q不可能是( )
A．{0,1,2} B．{1,2} C．{－1} D．
3．已知集合A＝{y|y＝－x2－2x}，B＝{x|y＝}，且A∪B＝R，则实数a的最大值是( )
A．1 B．－1 C．0 D．2
4．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3
C．{a|3＜a＜4} D．
5．设p：|x|≥1，q：>0，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知命题p： x∈R, ≤1，则( )
A．p： x0∈R, ≥1
B．p： x∈R, ≥1
C．p： x0∈R, ＞1
D．p： x∈R, ＞1
7．若命题“ x∈R，x2＋x＋a－1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．a> B．a≥ C．a≤ D．a<
8．已知p：－4＜x－a＜4，q：2
C．a≥6 D．a≤－1或a≥6
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．设全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{0,1,4}，B＝{0,1,3}，则( )
A．A∩B＝{0,1}
B． UB＝{4}
C．A∪B＝{0,1,3,4}
D．集合A的真子集个数为8
10．在下列命题中，真命题有( )
A． x∈N*，≤x
B． x∈R，x2＋x＋2>0
C．存在锐角α，sinα＝1.5
D．已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3m}，则对于任意的n，m∈N*，都有A∩B＝
11．下列说法正确的是( )
A．“a≠0”是“a2＋a≠0”的必要不充分条件
B．若命题p：某班所有男生都爱踢足球，则p：某班至少有一个女生爱踢足球
C．“任意菱形的对角线一定相等”的否定是“菱形的对角线一定不相等”
D．“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的充要条件
12．非空集合G关于运算 满足：
(1)对任意a，b∈G，都有a b∈G；
(2)存在e∈G，使得对一切a∈G，都有a e＝e a＝a，则称G关于运算 为“融洽集”．
现给出下列集合和运算，其中G关于运算 为“融洽集”的是( )
A．G＝{有理数}， 为实数的乘法
B．G＝{非负整数}， 为整数的加法
C．G＝{偶数}， 为整数的乘法
D．G＝{二次三项式}， 为多项式的加法
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．用列举法表示集合M＝＝______________.
14．已知全集U＝R，A＝{x|x＜－1或x＞3}，B＝{x|0＜x＜4}，则A∩B＝________，( RA)∩B＝________.
15．命题：存在一个实数对，使2x＋3y＋3＜0成立的否定是________．
16．已知p：x>1或x<－3，q：x＞a(a为实数)．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)全集U＝R，若集合A＝{x|3≤x<10}，B＝{x|2
(2)若集合C＝{x|x>a}，A C，求a的取值范围．
18．(本小题满分12分)分别写出下列含有一个量词的命题的否定，并判断其真假．
(1)有些素数是奇数；
(2)所有的矩形都是平行四边形；
(3)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根；
(4) x∈R，x2＋2x＋5>0.
19．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|(x－a)(x－3a)＜0}．
(1)若A B，求实数a的取值范围；
(2)若A∩B＝ ，求实数a的取值范围；
(3)若A∩B＝{x|3＜x＜4}，求实数a的取值范围．
20．(本小题满分12分)已知M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|－a≤x≤8}．
(1)求a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5
22．(本小题满分12分)求证：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0
时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中的元素个数为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 C
解析 ∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，∴x＝2,3,4,5,6,8，∴B中有6个元素，故选C.
2．若集合P，Q满足P＝{x∈Z|x＜3}，Q N，则P∩Q不可能是( )
A．{0,1,2} B．{1,2} C．{－1} D．
答案 C
解析 依题意，知P∩Q中的元素可能是0,1,2，也可能没有元素，所以P∩Q不可能是{－1}．故选C.
3．已知集合A＝{y|y＝－x2－2x}，B＝{x|y＝}，且A∪B＝R，则实数a的最大值是( )
A．1 B．－1 C．0 D．2
答案 A
解析 根据题意，得A＝{y|y≤1}，B＝{x|x≥a}，因为A∪B＝R，画出数轴可知a≤1，即实数a的最大值是1.
4．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3
C．{a|3＜a＜4} D．
答案 B
解析 由题意知即∴3≤a≤4.故选B.
5．设p：|x|≥1，q：>0，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由|x|≥1，得x≤－1或x≥1，由>0，得2x－4>0，即x>2，∵x≤－1或x≥1 x>2，x>2 x≤－1或x≥1，∴p是q的必要不充分条件．故选B.
6．已知命题p： x∈R, ≤1，则( )
A．p： x0∈R, ≥1
B．p： x∈R, ≥1
C．p： x0∈R, ＞1
D．p： x∈R, ＞1
答案 C
解析 全称量词命题的否定是存在量词命题，故选C.
7．若命题“ x∈R，x2＋x＋a－1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．a> B．a≥ C．a≤ D．a<
答案 D
解析 因为命题“ x∈R，x2＋x＋a－1＜0”是真命题等价于x2＋x＋a－1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝1－4(a－1)＞0，即1－4a＋4＞0.解得a<.故选D.
8．已知p：－4＜x－a＜4，q：2
C．a≥6 D．a≤－1或a≥6
答案 A
解析 p：－4＜x－a＜4 a－4＜x＜a＋4.q：2＜x＜3.p：x≤a－4或x≥a＋4，q：x≤2或x≥3，又p是q的充分条件．∴解得－1≤a≤6.故选A.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．设全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{0,1,4}，B＝{0,1,3}，则( )
A．A∩B＝{0,1}
B． UB＝{4}
C．A∪B＝{0,1,3,4}
D．集合A的真子集个数为8
答案 AC
解析 因为A＝{0,1,4}，B＝{0,1,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{0,1,3,4}，A，C正确；又全集U＝{0,1,2,3,4}，所以 UB＝{2,4}，B错误；集合A＝{0,1,4}的真子集有7个，所以D错误．
10．在下列命题中，真命题有( )
A． x∈N*，≤x
B． x∈R，x2＋x＋2>0
C．存在锐角α，sinα＝1.5
D．已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3m}，则对于任意的n，m∈N*，都有A∩B＝
答案 AB
解析 A中命题为真命题．当x＝1时，＝1；B中命题是真命题．x2＋x＋2＝2＋>0恒成立；C中命题为假命题．根据锐角三角函数的定义可知，对于锐角α，总有0
A．“a≠0”是“a2＋a≠0”的必要不充分条件
B．若命题p：某班所有男生都爱踢足球，则p：某班至少有一个女生爱踢足球
C．“任意菱形的对角线一定相等”的否定是“菱形的对角线一定不相等”
D．“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的充要条件
答案 AD
解析 对于A，“a2＋a≠0” “a≠－1且a≠0”，“a≠0” “a≠－1且a≠0”，“a≠－1且a≠0” “a≠0”，所以“a≠0”是“a2＋a≠0”的必要不充分条件，A正确；对于B，若命题p：某班所有男生都爱踢足球，则p：某班至少有一个男生不爱踢足球，B错误；对于C，“任意菱形的对角线一定相等”的否定是“存在菱形，其对角线不相等”，C错误；对于D，当k>4，b<5时，函数y＝(k－4)x＋b－5的图象如图所示，显然交y轴于负半轴，交x轴于正半轴．当一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴时，即x＝0，y＝b－5<0，所以b<5.当y＝0时，x＝>0，因为b<5，所以k>4，D正确．
12．非空集合G关于运算 满足：
(1)对任意a，b∈G，都有a b∈G；
(2)存在e∈G，使得对一切a∈G，都有a e＝e a＝a，则称G关于运算 为“融洽集”．
现给出下列集合和运算，其中G关于运算 为“融洽集”的是( )
A．G＝{有理数}， 为实数的乘法
B．G＝{非负整数}， 为整数的加法
C．G＝{偶数}， 为整数的乘法
D．G＝{二次三项式}， 为多项式的加法
答案 AB
解析 对于A，任取a，b∈Q，则a·b∈Q，存在1∈Q，使得a·1＝1·a＝a，因此有理数集Q关于实数的乘法为“融洽集”；对于B，任取a，b∈N，则a＋b∈N，存在0∈N，使得a＋0＝0＋a＝a，因此非负整数集N关于整数的加法为“融洽集”；对于C，任取偶数a＝2m，b＝2n，m，n∈Z，则a·b＝2m·2n＝4mn＝2(2mn)为偶数；但不存在这样的e∈G，使得对于一切a∈G，都有a e＝e a＝a，因此不为“融洽集”；对于D，条件(1)(2)均不满足，因此不为“融洽集”．故选AB.
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．用列举法表示集合M＝＝______________.
答案 {－11，－6，－3，－2,0,1,4,9}
解析 由∈Z，且m∈Z，知m＋1是10的约数，故|m＋1|＝1,2,5,10，从而m的值为－11，－6，－3，－2，0,1,4,9.
14．已知全集U＝R，A＝{x|x＜－1或x＞3}，B＝{x|0＜x＜4}，则A∩B＝________，( RA)∩B＝________.
答案 {x|3
答案 对任意实数对，2x＋3y＋3≥0恒成立
解析 “存在一个实数对”改为“对任意实数对”，“2x＋3y＋3<0”的否定是“2x＋3y＋3≥0”．
16．已知p：x>1或x<－3，q：x＞a(a为实数)．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是________．
答案 a≥1
解析 因为q的一个充分不必要条件是p，所以所以a≥1.
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)全集U＝R，若集合A＝{x|3≤x<10}，B＝{x|2
(2)若集合C＝{x|x>a}，A C，求a的取值范围．
解 (1)A∩B＝{x|3≤x<10}∩{x|2
(2)A＝{x|3≤x<10}，C＝{x|x>a}，要使A C，结合数轴分析可知a<3，即a的取值范围是{a|a<3}．
18．(本小题满分12分)分别写出下列含有一个量词的命题的否定，并判断其真假．
(1)有些素数是奇数；
(2)所有的矩形都是平行四边形；
(3)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根；
(4) x∈R，x2＋2x＋5>0.
解 (1)是存在量词命题，其否定为：所有的素数都不是奇数，假命题．
(2)是全称量词命题，其否定为：存在一个矩形不是平行四边形，假命题．
(3)是全称量词命题，其否定为：存在实数m，使得x2＋2x－m＝0没有实数根．
∵当Δ＝4＋4m<0，即m<－1时，一元二次方程没有实根，
∴其否定是真命题．
(4)是存在量词命题，其否定为： x∈R，x2＋2x＋5≤0.
∵x2＋2x＋5＝x2＋2x＋1＋4＝(x＋1)2＋4，
∴x2＋2x＋5恒大于0，
∴ x∈R，x2＋2x＋5≤0为假命题．
19．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|(x－a)(x－3a)＜0}．
(1)若A B，求实数a的取值范围；
(2)若A∩B＝ ，求实数a的取值范围；
(3)若A∩B＝{x|3＜x＜4}，求实数a的取值范围．
解 (1)若A B，
当a＝0时，B＝ ，显然不成立；
当a＞0时，由或得a
当a＜0时，由或得3a
综上，若A B，则实数a的取值范围是.
(2)要满足A∩B＝ ，
当a＝0时，B＝ ，满足条件；
当a＞0时，B＝{x|a＜x＜3a}，则a≥4或3a≤2，
∴0＜a≤或a≥4；
当a＜0时，B＝{x|3a＜x＜a}，则a≤2或3a≥4，
∴a＜0.
综上，若A∩B＝ ，
则实数a的取值范围是.
(3)要满足A∩B＝{x|3＜x＜4}，显然a＝3.
所以实数a的取值范围是{3}．
20．(本小题满分12分)已知M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|－a≤x≤8}．
(1)求a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5
解 A＝{x∈R|x2－2x－8＝0}＝{－2,4}．
由条件①②③，得B?A，且B≠ ，
所以B＝{－2}或{4}．
①若B＝{－2}，则(－2)2－2a＋a2－12＝0，
所以a2－2a－8＝0，即a＝－2或a＝4.
当a＝－2时，B＝{x∈R|x2－2x－8＝0}＝{－2,4}，故舍去；
当a＝4时，B＝{x∈R|x2＋4x＋4＝0}＝{－2}，满足条件，所以a＝4.
②若B＝{4}，则42＋4a＋a2－12＝0，
所以a2＋4a＋4＝0，即a＝－2.
由①知，a＝－2不满足条件，舍去．
综上所述，a＝4.
22．(本小题满分12分)求证：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0
∴方程mx2－2x＋3＝0的判别式Δ＝4－12m＞0，且x1x2＝＞0.
∴方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根．
②必要性：若方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则有∴0＜m＜.
综合①②可知，方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0
