2023年全国高三数学联赛江西省预赛试题
一、填空题（本大题共8小题，共56.0分）
1. 用种不同的动物图案制作成一些动物卡片，使得每张卡片上都有其中的种不同的动物图案，且制作过程中要求任取的两张卡片有且仅有一种动物是相同的，则最多能制作的卡片数量为 ．
2. 已知点，，，，，，若直线与内包括边界点的最短距离等于直线与内包括边界点的最短距离，则直线的方程为 ．
3. 函数的单调递增区间是 ．
4. 已知关于的方程有四个不同的实根，则的取值范围是 ．
5. 边长为的正六面体被一个平面所截的最大截面面积为 ．
6. 若锐角，，满足，则的最小值是 ．
7. 设，为双曲线与实轴的交点，为双曲线外一点，，分别交双曲线于另一点，，过，的切线相交于，若是一个正三角形，且面积为，则双曲线的方程是 ．
8. 有块不同的积木，每块积木的形状为方形或者圆形，颜色为红色或者黄色，印有城市名为南昌或者北京，从块不同的积木中按顺序任取块积木，表示后一次与前一次取出的积木在形状，颜色，城市名三个方面恰好有两个相同的所有不同取法总数，则 ．
二、解答题（本大题共4小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
9. 本小题分
设，，证明：，并确定等号成立的条件．
10. 本小题分
设正数列，满足，且求数列的通项公式
证明：对任意互不相同的正整数，，，都有．
11. 本小题分
过平行四边形的顶点作一圆交直线于点，证明：．
12. 本小题分
如果直角三角形的三边是两两互素的正整数，则称这种直角三角形为本原直角三角形．
求本原直角三角形中面积恰好等于周长倍的本原直角三角形的个数，并记为
求，并列出所有面积恰好等于周长的倍的本原直角三角形．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：将种不同的动物图案编号为，，，，如果考虑相同的一种动物是号，最多有种，如，，相同的一种动物为号时，最多有种，如，相同的一种动物为号时，最多有种，如，相同的一种动物为号时，最多有种，如，，所以最多能制作的卡片数量为．
2.【答案】
【解析】解：内包括边界的点与内包括边界点的最短距离为到的中点的距离，故直线即为线段的中垂线，所以直线的方程为：，即，也即．
3.【答案】
【解析】解：，，所以函数的单调递增区间是
4.【答案】
【解析】解：由与在区间内相切，可得，再由切点横坐标必须在区间内，所以不合条件，故的取值范围是
5.【答案】
【解析】解：由边长为正六面体被一个平面所截的面积最大的平面是边长为的正六边形，故最大面积为．
6.【答案】
【解析】解：由
，
当，时，等号成立，即
．
7.【答案】
【解析】解：设，，，且
从而的直线方程为，于是有，
则的直线方程为：，的直线方程为：，
得点坐标为又由对称性及是一个正三角形可得：，，即，．
联立可得，再由得，
代入得从而得，，
所以双曲线的方程是．
8.【答案】
【解析】解：计数方法等价于六面体中作取一点沿边走步的不同走法，其中，，，，，，，，
故，，，
，
，
，，
，
即，，，，，，，
所以．
9.【答案】证明：，等号成立时有．
【解析】略
10.【答案】解：由及正数列的条件可得，归纳假设．
下证的情况如下：
代入归纳假设可得：
，
解得．
由有
，
由正整数，，，互不相同，有，
所以
【解析】略
11.【答案】证明：由，，可得∽，
所以有，从而，，，
再由托勒密定理有
将代入得，即．
【解析】略
12.【答案】解：设本原直角三角形三边长为，，，则，一奇一偶，不妨设，
由引理：不定方程满足，，，，的全部整数解可表示为，，，其中，满足，，一奇一偶，且的任意整数由条件应该有，即，也即，其中，一奇一偶，所以为奇数，从而为偶数．
当时，有，得，，即只有符合条件，即
当时，有，得，，即只有符合条件，即
设的标准分解式为，其中，，为的大于的奇素因子．
由于，一奇一偶，所以为奇数，从而为偶数，另外，
故，再由可知，
设，，则，这两种情况只能有一种出现，而且一定有一种出现其中，，，，故与的取值情况有且只有种。
所以是的大于的奇素因子的个数．
，，再由．
令，得，，从而
令，，得，，从而
令，，得，，从而
令，，得，，从而
又，，，
所以．
【解析】略
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