2024新高考数学第一轮章节复习
10.2 二项式定理
基础篇
考点 二项式定理
考向一 求二项展开式的特定项
1.(2020北京,3,4分)在(-2)5的展开式中,x2的系数为 ( )
A.-5 B.5 C.-10 D.10
答案 C
2.(2021山东枣庄二模,6)若x6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2++…+a6(x+1)6,则a3= ( )
A.20 B.-20
C.15 D.-15
答案 B
3.(2020课标Ⅲ理,14,5分)的展开式中常数项是 (用数字作答).
答案 240
考向二 二项式系数与项的系数问题
1.(2023届湖北应城第一高级中学热身考试,4)在(x+y)6的展开式中,x3y4的系数是 ( )
A.20 B.
C.-5 D.-
答案 D
2.(多选)(2023届广东东莞四中月考,11)已知二项式的展开式中各项系数的和为1,则下列结论正确的是 ( )
A.a=1
B.展开式中二项式系数之和为256
C.展开式中第5项为
D.展开式中x-5的系数为-14
答案 AC
3.(多选)(2022辽宁六校协作体期中,9)已知f(x)=,则 ( )
A.f(x)的展开式中的常数项是56
B.f(x)的展开式中的各项系数之和为0
C.f(x)的展开式中的二项式系数的最大值是70
D.f(x)的展开式中不含x4的项
答案 BC
4.(2020浙江,12,6分)二项展开式(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a4= ,a1+a3+a5= .
答案 80 122
5.(2023届浙江新高考研究测试,13)多项式x2+x8=a0+a1(x+1)+…+a7(x+1)7+a8(x+1)8,则a3= .
答案 -56
考向三 余数问题
1.(多选)(2022湖北黄冈中学三模,10)设(2x+1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a6(x+1)6,下列结论正确的是 ( )
A.a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=36
B.a2+a3=100
C.a1+2a2+3a3+…+6a6=12
D.当x=999时,(2x+1)6除以2 000的余数是1
答案 ACD
2.(2022湖北十一校联考二,14)811除以9的余数是 .
答案 8
3.(2023届长沙雅礼实验中学入学考,15)设a∈Z,且0≤a<13,若512 021+a能被13整除,则a= .
答案 1
综合篇
考法一 求二项展开式中的特定项或特定项的系数
考向一 二项展开式中的特定项
1.(2023届湖南岳阳月考,6)(x-y+2)5的展开式中,x3y的系数为 ( )
A.80 B.40 C.-80 D.-40
答案 D
2.(2020天津,11,5分)在的展开式中,x2的系数是 .
答案 10
3.(2023届长沙市明德中学入学考,14)(x+2y-z)4的展开式中x2yz的系数是 .
答案 -24
考向二 两个二项式相乘问题
1.(2023届辽宁六校期初考试,4)在(1-2x)(1-x)5的展开式中,x3的系数为 ( )
A.10 B.-10 C.30 D.-30
答案 D
2.(2023届辽宁丹东阶段测,4)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为 ( )
A.-56 B.-28 C.28 D.56
答案 B
3.(2020课标Ⅰ理,8,5分)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为 ( )
A.5 B.10 C.15 D.20
答案 C
4.(2019课标Ⅲ理,4,5分)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为 ( )
A.12 B.16 C.20 D.24
答案 A
5.(2023届江苏泰州中学调研,5)(x+1)5·的展开式中,一次项的系数与常数项之和为 ( )
A.33 B.34 C.35 D.36
答案 D
6.(2022广州二模,4)(x2+1)的展开式的常数项是 ( )
A.160 B.100 C.-100 D.-160
答案 C
7.(2022辽宁名校联盟二轮复习联考一,7)已知(ax2+1)的展开式中各项系数的和为-3,则该展开式中x的系数为 ( )
A.40 B.-40 C.-120 D.-240
答案 C
8.(2023届江苏百校联考,13)(1+x)6的展开式中x3的系数为 .
答案 26
9.(2023届广西北海一模,14)(2x+1)2(x-1)4的展开式中x4的系数为 .
答案 9
10.(2023届山西长治质量检测,13)(x2-3)·的展开式中的常数项为 .
答案 -45
11.(2023届浙江嘉兴基础测试,14)(x+y)·(x-y)6的展开式中x3y4的系数是 .(用数字作答)
答案 -5
12.(2023届武汉部分学校检测,14)(x+2y)(x-y)5的展开式中x2y4的系数为 .
答案 -15
13.(2023届海南中部六市县模拟,14)(x2+3x+2)5的展开式中x3的项的系数是 .
答案 1 560
14.(2022新高考Ⅰ,13,5分)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为 (用数字作答).
答案 -28
考法二 二项式系数的和与各项的系数和
考向一 赋值法解求和问题
1.(2022福建漳州一模,5)已知二项式(ax+y)5(a∈R)的展开式的所有项的系数和为32,则的展开式中的常数项为( )
A.45 B.-45 C.1 D.-1
答案 A
2.(多选)(2023届广东佛山顺德教学质量检测一,9)设(2x-1)5=a0+a1x+…+a5x5,则下列说法正确的是 ( )
A.a0=1
B.a1+a2+a3+a4+a5=1
C.a0+a2+a4=-121
D.a1+a3+a5=122
答案 CD
3.(多选)(2021江苏百校联考,11)设(1-2x)29=a0+a1x+a2x2+…+a29x29,则下列结论正确的是 ( )
A.a15+a16>0
B.a1+a2+a3+…+a29=-1
C.a1+a3+a5+…+a29=-
D.a1+2a2+3a3+…+29a29=-58
答案 ACD
(多选)(2023届河北河间一中开学考,10)若(1-2x)2 021=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 021·
x2 021(x∈R),则 ( )
A.a0=1
B.a1+a3+a5+…+a2 021=
C.a0+a2+a4+…+a2 020=
D.=-1
答案 ACD
5.(2023届湖北“宜荆荆恩”起点考,14)已知(2x+y)n的展开式中各项系数和为243,则展开式中的第3项为 .
答案 80x3y2
考向二 二项式系数、奇数项与偶数项系数和问题
1.(2023届福建漳州质检,6)已知(a为常数)的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等,则该展开式中的常数项为 ( )
A.-90 B.-10 C.10 D.90
答案 A
2.(2023届湖北摸底联考,5)若(2x+1)n的展开式中x3项的系数为160,则正整数n的值为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案 C
3.(2021五省新高考联考,6)已知(2x-1)(x+a)6(a∈R)的展开式的各项系数之和为64,则展开式中x3的系数为 ( )
A.10或2 970 B.10或1 890
C.10 D.1 890
答案 A
4.(多选)(2022广东茂名五校联考一,9)在二项式(1-4x)8的展开式中,下列结论正确的是( )
A.第5项的系数最大
B.所有项的系数和为38
C.所有奇数项的二项式系数和为-27
D.所有偶数项的二项式系数和为27
答案 BD
5.(多选)(2022山东济宁一中开学考,9)在的展开式中,下列说法正确的有 ( )
A.所有项的二项式系数和为128
B.所有项的系数和为1
C.二项式系数最大的项为第4项
D.有理项共3项
答案 AB
6.(2023届山东高密三中月考,14)已知的展开式中二项式系数之和为64,则展开式中的常数项为 .
答案 -160
7.(2021浙江,13,6分)已知多项式(x-1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则a1= ;a2+a3+a4= .
答案 5 10
专题综合检测
一、单项选择题
1.(2022重庆涪陵实验中学期中,5)有五名学生站成一排照毕业纪念照,其中甲不排在乙的左边,则不同的站法共有 ( )
A.66种 B.60种 C.36种 D.24种
答案 B
2.(2022湖北八市联考,7)已知(2x-y)5的展开式中x2y4的系数为80,则m的值为 ( )
A.-2 B.2 C.-1 D.1
答案 A
3.(2022广东汕头质检,5)2022年北京冬季奥运会期间,从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作,其中冰壶项目需要一男一女两名,花样滑冰和短道速滑各需要一名,男女不限,则不同的支援方法的种数是 ( )
A.36 B.24 C.18 D.42
答案 A
4.(2022江苏苏州3月模拟,4)举世瞩目的第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京举办,某高校甲、乙、丙、丁、戊5位大学生志愿者前往A、B、C、D四个场馆服务,每一位志愿者只去一个场馆,每个场馆至少分配一位志愿者,由于工作需要甲同学和乙同学不能去同一场馆,则所有不同的安排方法种数为 ( )
A.216 B.180 C.108 D.72
答案 A
5.(2022江苏盐城三模,4)为落实立德树人的根本任务,践行五育并举,某学校开设A,B,C三门德育校本课程.现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加校本课程的学习,每位同学仅报一门,每门至少有一位同学参加,则不同的报名方法有 ( )
A.54种 B.240种 C.150种 D.60种
答案 C
6.(2022山东青岛二中期末,6)已知a>0,b>0,在(x-1)3的展开式中,若x3项的系数为2,则的最小值为 ( )
A.
答案 D
7.(2023届重庆市缙云教育联盟质量检测,4)西安是世界四大古都之一,历史上先后有十多个王朝在西安建都.下图为唐长安(西安古称)城示意图,城中南北向共有9条街道,东西向有12条街道,被称为“九衢十二条”,整齐的街道把唐长安城划分成了108坊,各坊有坊墙包围.下列说法错误的是 ( )
A.从延平门进城到安化门出城,最近的不同路线共有15条
B.甲乙二人从安化门、明德门、启夏门这三个城门中随机选一城门进城,若二人的选择互不影响,则二人从同一城门进城的概率为
C.用四种不同的颜色给长乐、永福、大宁、兴宁四坊染色(街道忽略),要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色,共有60种不同的染色方法
D.若将街道看成直线,则图中矩形ABCD区域中共有不同矩形150个
答案 C
二、多项选择题
8.(2022广东清远阳山中学月考,11)为弘扬我国古代的“六艺文化”,某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程,每周一门,连续开设六周,则下列说法正确的是 ( )
A.某学生从中选2门课程学习,共有15种选法
B.课程“乐”“射”排在相邻的两周,共有240种排法
C.课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周,共有144种排法
D.课程“礼”不排在第一周,课程“数”不排在最后一周,共有480种排法
答案 ABC
9.(2022湖南新高考教学教研联盟联考一,10)已知(1+x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn(n∈N*),则下列结论正确的是( )
A.a0=an
B.当a3=10时,n=5
C.若(1+x)n(n∈N*)的展开式中第7项的二项式系数最大,则n等于12或13
D.当n=4时,
答案 ABD
三、填空题
10.(2023届河北唐山海港高级中学开学检测,14)将3封不同的信随机放入2个不同的信箱中,共有n种不同的放法,则在的展开式中,含x2项的系数为 .
答案 70
11.(2022湖北襄阳四中模拟,14)从3位女生,5位男生中选4人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有 种.(用数字作答)
答案 65
12.(2022辽宁鞍山一中4月线上模拟,14)在的展开式中,第3项和第6项的二项式系数相等,则展开式中x5的系数为 .
答案 -
13.(2022浙江绍兴一中模拟,15)某科室有4名人员,两男两女,参加会议时一排有5个位置,从左到右排,则两女员工不相邻(中间隔空位也叫不相邻),且左侧的男员工前面一定有女员工的排法有 种.(结果用数字表示)
答案 44
14.(2022湖北重点中学沃学联盟联考,16)已知Sn为数列{an}的前n项和,数列{an}满足a1=-2,且Sn=an+n,f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(2-x)=f(x),则f(a2 021)= .
答案 0
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