2024新高考数学第一轮章节复习
3.5 函数与方程及函数的综合应用
基础篇
考点一 函数的零点
1.(2022华大新高考联盟3月教学质量测评,5)函数f(x)=4x-4x2的零点个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 D
2.(2019课标Ⅲ,5,5分)函数f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]的零点个数为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 B
3.(2022南京师范大学附中期中,7)用二分法研究函数f(x)=x3+2x-1的零点时,第一次计算,得f(0)<0,f(0.5)>0,第二次应计算f(x1),则x1等于 ( )
A.1 B.-1 C.0.25 D.0.75
答案 C
4.(多选)(2022湖南师大附中三模,11)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)=f(x-2).当x∈[0,2)时,f(x)=若函数g(x)=f(x)-k在[0,+∞)上的零点从小到大恰好构成一个等差数列,则k的可能取值为 ( )
A.0 B.1 C.-1
答案 ABD
5.(2014北京文,6,5分)已知函数f(x)=-log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是 ( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,4) D.(4,+∞)
答案 C
6.(2021北京,15,5分)已知函数f(x)=|lg x|-kx-2,给出下列四个结论:
①当k=0时, f(x)恰有2个零点;
②存在负数k,使得f(x)恰有1个零点;
③存在负数k,使得f(x)恰有3个零点;
④存在正数k,使得f(x)恰有3个零点.
其中所有正确结论的序号是 .
答案 ①②④
考点二 函数模型及应用
1.(2023届河北衡水部分学校月考,3)已知某种食品保鲜时间与储存温度有关,满足函数关系y=ekx+b(y为保鲜时间,x为储存温度).若该食品在冰箱中0 ℃的保鲜时间是144小时,在常温20 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在高温40 ℃的保鲜时间是 ( )
A.16小时 B.18小时
C.20小时 D.24小时
答案 A
2.(2022广东惠州调研,8)某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d(每层玻璃的厚度相同)及两层玻璃间夹空气层厚度l对保温效果的影响,利用热传导定律得到热传导量q满足关系式q=,其中玻璃的热传导系数λ1=4×10-3焦耳/(厘米·度),不流通、干燥空气的热传导系数λ2=2.5×10-4焦耳/(厘米·度),|ΔT|为室内外温度差,q值越小,保温效果越好,现有4种型号的双层玻璃窗户,具体数据如下表:
型号 每层玻璃厚度d(单位:厘米) 玻璃间夹空气层厚度l(单位:厘米)
A型 0.4 3
B型 0.3 4
C型 0.5 3
D型 0.4 4
则保温效果最好的双层玻璃的型号是 ( )
A.A型 B.B型 C.C型 D.D型
答案 D
3.(2020课标Ⅲ理,4,5分)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3) ( )
A.60 B.63 C.66 D.69
答案 C
4.(2020新高考Ⅰ,6,5分)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69) ( )
A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天
答案 B
5.(2022山东潍坊安丘等三县测试,6)某投资机构从事一项投资,先投入本金a(a>0)元,得到的利润是b(b>0)元,收益率为(%),假设在第一次投资的基础上,此机构每次都定期追加投资x(x>0)元,得到的利润也增加了x元,若使得该项投资的总收益率是增加的,则 ( )
A.a≥b B.a≤b C.a>b D.a
6.(2022山东德州一中期中,20)某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元,每生产x千件,需另投入成本C(x)万元,当年产量不足50千件时,C(x)=x2+10x,当年产量不小于50千件时,C(x)=52x+-1 200,已知每千件商品售价为50万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大
解析 (1)当0
所以L(x)=
(2)当0
所以L(x)=1 000-≤1 000-238=762.
因为600<762,所以当年产量为59千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大,为762万元.
综合篇
考法一 判断函数零点所在区间和零点的个数
1.(2022辽宁葫芦岛协作校月考,7)已知a是函数f(x)=ln x+x2-2的零点,则ea-1+a-5的值为 ( )
A.正数 B.0
C.负数 D.无法判断
答案 C
2.(2022山东省实验中学诊断性训练,8)已知函数f(x)=则函数y=f[f(x)+1]的零点个数是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 D
3.(2022海南直辖县级单位三模,8)设函数f(x)的定义域为R,f(x-1)为奇函数,f(x+1)为偶函数,当x∈(-1,1]时,f(x)=-x2+1,则函数y=f(x)+lg x有 个零点( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案 C
4.(多选)(2021山东枣庄三中月考一)已知函数f(x)=下列是函数y=f(f(x))+1的零点个数的4个判断,其中正确的是 ( )
A.当k>0时,有3个零点
B.当k<0时,有2个零点
C.当k>0时,有4个零点
D.当k<0时,有1个零点
答案 CD
5.(2023届湖湘名校教育联合体大联考,13)已知函数f(x)=2ln(2x)-x2+,则函数f(x)的零点个数为 .
答案 2
6.(2023届重庆一中月考,15)函数f(x)=sin πx-ln|2x-3|的所有零点之和为 .
答案 9
考法二 已知函数有零点(方程有根)求参数值(或取值范围)
1.(2023届长春六中月考,7)若函数f(x)=ln x+x2+a-1在区间(1,e)内有零点,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-e2,0) B.(-e2,1)
C.(1,e) D.(1,e2)
答案 A
2.(2017课标Ⅲ,文12,理11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a= ( )
A.- D.1
答案 C
3.(2022重庆缙云教育联盟诊断,7)已知函数f(x)=|x+1|+|x-1|+2cos x,若函数g(x)=f(x)-a恰有三个零点,m+n=a(其中m,n为正实数),则的最小值为 ( )
A.9 B.7 C. D.4
答案 A
4.(2019天津文,8,5分)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=-x+a(a∈R)恰有两个互异的实数解,则a的取值范围为 ( )
A.
C.∪{1} D.∪{1}
答案 D
5.(多选)(2022辽宁抚顺三模,10)已知函数f(x)=下列选项正确的是 ( )
A.点(0,0)是函数f(x)的零点
B. x1∈(0,1), x2∈(1,3),使f(x1)>f(x2)
C.函数f(x)的值域为[-e-1,+∞)
D.若关于x的方程[f(x)]2-2af(x)=0有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是(0,+∞)∪
答案 CD
6.(2022山东青州打靶,6)对实数m与n定义新运算“”:mn=设函数f(x)=(x-x2)(x2-2),x∈R.若方程f(x)-c=0有两个不相等的实数根,则实数c的取值范围是 ( )
A.(-∞,-2]∪
B.(-∞,-2)∪
C.
D.
答案 B
7.(2022广东肇庆一中月考,14)若函数f(x)=x2-ax+1在区间上有零点,则实数a的取值范围是 .
答案
8.(2023届哈尔滨师大附中月考,16)设a∈R,函数f(x)=若函数f(x)的最小值为0,则a的取值范围是 ;若函数y=f(x)-1有4个零点,则a的值是 .
答案 (-∞,4]
专题综合检测
一、单项选择题
1.(2022海南学业水平诊断一,3)已知函数f(x)=若f(x)=-,则x= ( )
A.7 B.-2 C.2 D.7或-2
答案 D
2.(2022海南三亚华侨学校月考,5)y=-log2(4-x2)的定义域是 ( )
A.(-2,0)∪(1,2) B.(-2,0]∪(1,2)
C.(-2,0)∪[1,2) D.[-2,0]∪[1,2]
答案 C
3.(2022重庆七中期中,3)已知函数f(x)=则f(2 021)= ( )
A.1 B.2 C.log26 D.3
答案 A
4.(2022重庆云阳江口中学期末,5)已知函数f(x)=x-,若f(x)≤m对任意x∈[1,4]恒成立,则实数m的取值范围为 ( )
A.(-∞,-3) B.(-∞,-3]
C.(3,+∞) D.[3,+∞)
答案 D
5.(2022河北衡水中学模拟一,2)已知幂函数f(x)=x2+m是定义在区间[-1,m]上的奇函数,则f(m+1)= ( )
A.8 B.4 C.2 D.1
答案 A
6.(2022广东江门陈经纶中学月考,5)已知函数f(x)=x-4+,x∈(0,4),当x=a时,f(x)取得最小值b,则函数g(x)=的图象为 ( )
A B
C D
答案 B
7.(2022海南海口四中期中,4)已知f(x)是定义在R上的偶函数且f(x+3)=f(x-1),若当x∈[-2,0]时,f(x)=3-x+1,则f(2 021)=( )
A.6 B.4 C.2 D.1
答案 B
8.(2022重庆涪陵实验中学期中,8)已知y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且对任意x∈R,都有f(x-1)=f(3-x)成立,当x∈[-1,0)时,f(x)=2x2,则f(2 021)= ( )
A.-8 B.-2 C.0 D.2
答案 B
9.(2022广东华附、省实、广雅、深中四校联考,6)已知函数f(x)=ln(-x)+1,定义域为R的函数g(x)满足g(-x)+g(x)=2,若函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(x6,y6),则(xi+yi)=( )
A.0 B.6 C.12 D.24
答案 B
二、多项选择题
10.(2022湖北襄阳四中考试,9)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,是解析数论的创始人之一,以其命命名的函数f(x)=称为狄利克雷函数,则关于f(x),下列说法正确的是 ( )
A.f(x)的值域为[0,1]
B. f(x)的定义域为R
C. x∈R,f(f(x))=1
D.任意一个非零有理数T, f(x+T)=f(x)对任意x∈R恒成立
答案 BCD
11.(2022重庆南开中学月考,9)下列函数中,既是奇函数,又是增函数的是 ( )
A.y=2x-2-x B.y=x-
C.y= D.y=ln(+x)
答案 ACD
12.(2022广东江门陈经纶中学月考,12)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x-1)是奇函数,f(x+1)为偶函数,当-1
B.函数f(x)的最小正周期为4
C.函数f(x)在[-2,2]上有4个零点
D. f(5)>f(4)
答案 AC
13.(2022辽宁六校协作体期中,12)已知函数f(x)=若关于x的方程f(|x|-2)=k有6个不同的实数根,则实数k的值可以是 ( )
A.0 B. D.1
答案 ACD
三、填空题
14.(2022河北邢台期末,13)已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=-ln(ax).若f(-e2)=2,则a= .
答案 1
四、解答题
15.(2022沈阳三十一中月考,19)已知f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且满足f(x)-g(x)=
21-x.
(1)求f(x)、g(x)的解析式;
(2)若方程mf(x)=[g(x)]2+2m+9有解,求实数m的取值范围;
(3)若h(x)=,且方程[h(x)]2-h(x)+k=0有三个解,求实数k的取值范围.
解析 (1)因为f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,
所以由已知可得f(-x)-g(-x)=21+x,
即f(x)+g(x)=21+x,所以
解得
(2)由mf(x)=[g(x)]2+2m+9可得m(2x+2-x)=(4x+4-x)+2m+7,
令t=2x+2-x,则t≥2=2,当且仅当x=0时,等号成立,则t2=4x+4-x+2,
故有t2-mt+2m+5=0,其中t≥2,
令F(t)=t2-mt+2m+5,其中t≥2,则函数F(t)在[2,+∞)上有零点,
①当≤2,即m≤4时,F(t)在[2,+∞)上单调递增,所以F(t)≥F(2)=9>0,不合题意;
②当>2,即m>4时,有Δ=m2-8m-20≥0,解得m≥10或m≤-2,此时m≥10.
综上所述,实数m的取值范围是[10,+∞).
(3)h(x)==|2x-1|=
作出函数h(x)的图象如图所示,
由[h(x)]2-h(x)+k=0可得·[h(x)-2k]=0,
由图可知,方程h(x)=有两个不等的实根,
由题意可知,方程h(x)=2k有且只有一个根,故2k=0或2k≥1,解得k=0或k≥.
因此,实数k的取值范围是{0}∪.
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