永州市名校2023-2024学年高二上学期9月月考
数学试题
时间：120分钟 分值：150分
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1.直线的倾斜角（ ）
A.30° B.60° C.120° D.150°
2.已知向量，，且，那么实数等于（ ）
A.3 B. C.9 D.
3.已知直线与直线平行，则实数的值是（ ）
A.1 B. C.1或 D.不存在
4.已知，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5.若方程表示椭圆，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ）
A.1 B.2 C. D.
7.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知圆，圆，点、分别是圆、圆上的动点，点为轴上的动点，则的最大值是（ ）
A. B.9 C.7 D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.设向量，，可构成空间一个基底，下列选项中正确的是（ ）
A.若，，则
B.则，，两两共面，但，，不可能共面
C.对空间任一向量，总存在有序实数组，使
D.则，，一定能构成空间的一个基底
10.如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，得出如下四个结论，其中正确的是（ ）
A. B.
C. D.平面的法向量和平面的法向量互相垂直
11.方程有两个不等实根，则的取值可以是（ ）
A. B. C.1 D.
12.已知的顶点在圆上，顶点，在圆上.若，则（ ）
A.的面积的最大值为
B.直线被圆截得的弦长的最小值为
C.有且仅有一个点，使得为等边三角形
D.有且仅有一个点，使得直线，都是圆的切线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆过焦点的弦，则的周长是______.
14.如图，已知平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱长为3，且，则______.
15.已知，直线，点为直线上的动点，过点作的切线，切点为，则切线段长的最小值为______.
16.如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是______.
四、解答题：本题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.若直线的方程为.
（1）若直线与直线垂直，求的值；
（2）若直线在两轴上的截距相等，求该直线的方程.
18.已知空间中的三点，，，设，.
（1）若与互相垂直，求的值；
（2）求点到直线的距离.
19.在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点.
（1）求圆的方程；
（2）过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.
20.如图，在四棱锥中，平面，，为线段的中点，已知，.
（1）证明：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21.已知三棱柱中，，，，.
（1）求证：平面平面.
（2）若，在线段上是否存在一点使平面和平面所成角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
22.已知点，，曲线上任意一点满足.
（1）求曲线的方程；
（2）设点，问是否存在过定点的直线与曲线相交于不同两点，，无论直线如何运动，轴都平分，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由.
永州市名校2023-2024学年高二上学期9月月考
参考答案
1-8：BDCD CACB 9.BCD 10.ABC 11.BC 12.ACD
13.16 14. 15.1 16.
【12详解】设线段的中点为，因为圆的半径为2，，
所以，且，
对于A选项，设点到直线的距离为，则，
所以当且仅当，，，四点共线时，点到直线距离的最大值为15，所以的面积的最大值为，故A正确；对于B选项，点到直线的距离小于等于，当时，等号成立，又的最大值为7，所以点到直线的距离的最大值为7，这时直线被圆截得的弦长的最小值为，故B错误；对于C选项，若为等边三角形，则需，，因为，所以点的轨迹是以为圆心的单位圆，所以，又的最小值为4，所以，当且仅当，，，四点共线时成立，因此有且仅有一个点，使得为等边三角形，故C正确；对于D选项，若直线，都是圆的切线，则，由射影定理，可得，同上，当且仅当，，三点共线时，，因此有且仅有一个点，使得直线，都是圆的切线，故D正确；故选：ACD
【16详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、，设点，
，，因为，则，即，即点，由题意可得，则，取点，则点的轨迹为线段，
设点关于直线的对称点为点，
则线段的中点在直线上，所以，，可得，①
，，②，
联立①②可得，，则点，由对称性可知，
所以，点到底面的距离与它到点的距离之和的最小值，
即为点到平面的距离，即为.故答案为：.
17.解：（1）∵直线与直线垂直，∴，解得；（4分）
（2）当时，直线化为：.不满足题意.
当时，可得直线与坐标轴的交点，.
∵直线在两轴上的截距相等，∴，解得：.
∴该直线的方程为：，.（10分）
18.因为，，，所以，，
（1），，
因为，所以，
整理得，解得或，所以的值为或.（6分）
（2）设直线的单位方向向量为，则.
由于，所以，，
所以点到直线的距离.（12分）
19.（1）过点且与直线垂直的直线方程为，
联立，解得，所以，
所以圆的半径为，所以圆的方程为.（5分）
（2）由（1）可知圆的方程为，因为直线被圆截得的弦长为，
所以到直线的距离为，
若直线的斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线的距离为1，不符合题意；
若直线的斜率存在，设方程为，
则，即，解得或，
所以直线的方程为或.（12分）
20.（1）连接交于点，连接，
∵，，∴四边形是平行四边形，∴是的中点，又为线段的中点，
∴，又平面，平面，∴直线平面.（5分）
（2）∵平面，作，建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知，，
得，，，，
∴，，，
设平面的一个法向量为，则，得，不妨取，
∴，所以直线与平面所成角的正弦值为.（12分）
21.（1）在三棱柱中，四边形是平行四边形，
而，则是菱形，连接，如图，则有，
因，，，平面，
于是得平面，而平面，则，
由得，，，平面，
从而得平面，又平面，所以平面平面.（5分）
（2）在平面内过作，
由（1）知平面平面，平面平面，
则平面，以为原点，射线，，分别为，，轴正半轴，
建立空间直角坐标系，如图，因，，，
则，，，，
假设在线段上存在符合要求的点，设其坐标为，，
则有，，设平面的一个法向量，
则有，令得，而平面的一个法向量，
依题意，，化简整理得：而，解得，所以在线段上存在一点，且是靠近的四等分点，使平面和平面所成角的余弦值为.（12分）
22.（1）设点的坐标为，因为，可得，整理得，即曲线的方程为.（5分）
（2）①如果斜率不存在，直线垂直于轴，此时与圆交于两点，
可得这些直线都是平行的，不可能经过同一点，不符合题意.
②设存在定点满足条件，设直线的方程为，
设，，联立方程组，整理得，
可得，，，
无论直线如何运动，轴都平分，可得，
所以，可得，
所以，所以，
整理得，可得，所以，可得直线经过定点，
所以存在过定点的直线与曲线相交于不同两点，，无论直线如何运动，轴都平分.（12分）
