专题3.4 平面直角坐标系
单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023春·山东聊城·七年级统考期末）已知在平面直角坐标系中，有线段，其中点，点，则线段中点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·河北保定·七年级校联考期中）在平面直角坐标系中，若点到轴的距离为2，则下列结论正确的是（ ）
A． B．或 C． D．或
3．（2023春·河北保定·七年级校联考期中）如图，一本数学书放置在平面直角坐标系中，数学书一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2023春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）若点是第四象限内的点，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·七年级课时练习）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2023春·湖北宜昌·七年级统考期末）如图，以正方形的顶点为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，点的坐标为，那么以正方形的顶点为原点，所在的直线为轴重新建立平面直角坐标系，这时点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·广东广州·七年级校考期中）如图所示，长方形的两边分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点，将长方形沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为；经过第二次翻滚，点A的对应点记为；……依次类推，经过第2023次翻滚，点A的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·重庆彭水·七年级统考期中）已知点与在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离等于4，那么点N的坐标为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
9．（2023秋·全国·八年级专题练习）下列语句正确的是（ ）
A．平行于轴的直线上所有点的横坐标都相同
B．点与点之间的距离为2
C．若点在轴上，则
D．若点，则到轴的距离为3
10．（2023春·陕西安康·八年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点A为圆心，长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则C点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023春·山东临沂·七年级统考期中）平面直角坐标系中，点，若轴，则线段取最小值时C的坐标为 ．
12．（2023春·河南新乡·七年级统考期末）平面直角坐标系中有一点，且点A到两坐标轴的距离相等，则a的值为 ．
13．（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点所在象限是第 象限．
14．（2023春·山东滨州·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点在轴上，则 ．
15．（2023春·江西赣州·七年级统考期中）如图，在3×3的正方形网格中有四个格点，A、B、C、D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，除原点外其中有两个点的横坐标相同，有两个点的纵坐标相同，则原点是 点．
16．（2023春·北京朝阳·七年级期末）在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标如图所示，三角形的面积为 ．
17．（2023春·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐市实验学校校考期中）如下图所示，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，点Q是x轴上的一个动点，当线段的长最小时，点Q的坐标为 ．
18．（2023春·山西临汾·七年级统考期中）如图，，，，，点P在x轴上，直线平分四边形的面积，则的长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023秋·江西鹰潭·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，．
（1）画出关于y轴对称的图形；
（2）写出，，的坐标：________；________；________．
20．（8分）（2023春·广西钦州·七年级校考阶段练习）已知点，试分别根据下列条件，求出点的坐标.
（1）点在轴上；
（2）点的纵坐标比横坐标大3；
（3）点到轴的距离为2，且在第四象限.
21．（10分）（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，长方形ABCD的长与宽分别是6，4，建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标．
22．（10分）（2023春·四川泸州·八年级四川省泸县第二中学校考阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中点，，，．
（1）求四边形的面积
（2）点为轴上一点，且的面积等于四边形的面积的一半，求点的坐标．
23．（10分）（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，，轴，且．
（1）求点B的坐标；
（2）在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（12分）（2023春·湖北孝感·七年级统考期中）【知识呈现】
当三角形的三边都不与坐标轴平行时，对于三角形的面积因不易求出底边和高的长度，所以不能直接利用三角形的面积公式来求，但可以将不规则图形运用补法或割法转化成规则的图形（如长方形，梯形），再运用和、差关系进行求解．
【问题解答】
在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）如图，分别以点，，向坐标轴作垂线构造长方形，求的面积；
（2）在图中过点作轴交于点，如图．
①求的长；
②猜想：的面积与的数量关系式为______．
参考答案
1．D
【分析】直接根据中点坐标公式求解即可．
解：∵点，点，
∴线段中点的坐标为，即．
故选D．
【分析】本题考查了中点坐标公式，若点A，B的坐标分别为，，则线段AB的中点C的坐标为：．
2．D
【分析】根据纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离即可求得的值．
解：因为点到轴的距离是2，
所以，
解得．
故选：D．
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离，掌握坐标的意义是解题的关键．
3．C
【分析】根据平面直角坐标系中的位置即可求解．
解：根据数学书放置在坐标系的位置知，数学书一定不经过第三象限，
故选：C．
【分析】本题考查了象限内点的坐标特征；数形结合是解题的关键．
4．A
【分析】根据第四象限内的点的坐标特点解答即可．
解：点是第四象限内的点，
，，
，，，不一定小于0．
故选项A符合题意．
故选：A．
【分析】此题考查点的坐标，关键是根据第四象限内的点的坐标特点解答．
5．C
【分析】直接利用坐标系得出两点距离即可．
解：如图所示：点（ 1，3）和点（4，3）之间的距离是：4 （ 1）＝5．
故答案为：C．
【分析】此题主要考查了两点距离，正确利用坐标系是解题关键．
6．D
【分析】根据坐标系中点的坐标特点求解即可．
解：∵点的坐标为，
∴，
∵四边形是正方形
∴，
∴以正方形的顶点为原点，所在的直线为轴重新建立平面直角坐标系，
∴这时点的坐标为．
故选：D．
【分析】此题考查了平面直角坐标系，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系的性质．
7．A
【分析】观察图形即可得到经过4次翻滚后点A对应点一循环，先求出的商和余数，从而解答本题．
解：如图所示：
观察图形可得经过4次翻滚后点A对应点一循环，
，
∵点，长方形的周长为：，
∴经过2023次翻滚后点A对应点的坐标为，即．
故选：A．
【分析】本题考查探究点的坐标的问题，关键是找到点的变化规律．
8．B
【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等可得点N的纵坐标为，再分点N在y轴的左边和右边两种情况求出点N的横坐标，然后解答即可．
解：∵点与点在同一条平行于x轴的直线上，
∴点N的纵坐标为，
∵点N到y轴的距离为4，
∴点N的横坐标为4或，
∴点N的坐标为或；
故选：B．
【分析】此题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律，熟练掌握平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等是解题的关键．
9．B
【分析】根据直角坐标系中点的坐标的性质判断．
解：平行于轴的直线上所有点的纵坐标都相同，A选项错误，不符合题意；
点与点之间的距离为2，B选项正确，符合题意；
若点在轴上，则，也有可能为0，C选项错误，不符合题意；
若点，则到轴的距离为4，D选项错误，不符合题意．
故选：B．
【分析】本题考查了直角坐标与图形性质，解题的关键是掌握直角坐标系中点的坐标的性质．
10．A
【分析】由勾股定理，可求得的长度，进而可求的长度，结合点的坐标，可求得点的坐标．
解：∵点，，
∴，
由作图可得：，
∴．
∴，
∴点的坐标为．
故选：A．
【分析】本题主要考查坐标与图形，勾股定理，牢记在平面直角坐标系中求两点距离的方法是解题的关键．
11．
【分析】由轴及垂线段最短可确定点C的坐标．
解：如图所示：
∵轴
∴
由垂线段最短可知：当时，有最小值．
∴
∴点C的坐标为
故答案是：．
【分析】本题考查了平行于坐标轴的线段上的点的特征、垂线段最短等知识点．掌握相关结论是解题关键．
12．1
【分析】根据点到两条坐标轴的距离相等，列出方程求解即可．
解：∵点到两坐标轴的距离相等，，
∴，
解得．
故答案为：1．
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，根据点到两坐标轴的距离相等列出方程是解题的关键．
13．二
【分析】根据，结合各象限点的坐标特征，即可求解．
解：∵
∴点所在象限是第二象限，
故答案为：二．
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
14．
【分析】根据y轴上的点的坐标特点即可求解．
解：根据平面直角坐标系中y轴上点的特点，可知其横坐标为0，因此可得，
解得．
故答案为：．
【分析】此题主要考查点的坐标特点，解题的关键是熟知y轴上的点的坐标特点．
15．B
解：由网格的特点可得，点A和点C的纵坐标相同，点C与点D的横坐标相同，
∴点B为原点．
故答案为：B．
【分析】本题考查了与x轴、y轴平行的直线上点的坐标特点，掌握平面直角坐标系内点的坐标的确定方法是解题的关键．
16．2
【分析】根据点A和点B的坐标，求出的长度和边上的高，然后利用三角形面积公式求解即可．
解：∵，
∴，中边上的高为2，
∴三角形的面积．
故答案为：2．
【分析】此题考查了坐标与图形，求三角形面积公式，解题的关键是根据题意求出的长度和边上的高．
17．（1，0）
【分析】根据题意可得：当PQ⊥x轴时，PQ最小，此时点P、Q的横坐标相同，即可求解．
解： 根据题意得：当PQ⊥x轴时，PQ最小，此时点P、Q的横坐标相同，
∵点P的坐标为，点Q是x轴上的一个动点，
∴当线段的长最小时，点Q的坐标为（1，0）．
故答案为：（1，0）
【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据题意得到当PQ⊥x轴时，PQ最小是解题的关键．
18．3
【分析】作轴，根据四边形的面积求得四边形的面积，设点，则，由直线平分四边形的面积列出方程求解可得．
解：过点C作轴于点E，
∵，，，，
∴，
∴四边形的面积
，
设点，
则，
∵直线平分四边形的面积，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
【分析】本题考查坐标与图形的性质，熟练掌握割补法求四边形的面积及由分割的面积间的关系列出方程是解题的关键．
19．（1）见分析；（2），，
【分析】（1）分别找到关于y轴对称点即可；
（2）根据关于y轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相同，即可求解．
（1）解：如图所示：
（2）解：根据关于y轴对称的两点的坐标特征得：
，，．
【分析】本题考查作轴对称图形，关于y轴对称的两点的坐标特征等知识点．掌握相关结论是解题关键．
20．（1）点的坐标为；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为
【分析】（1）根据y轴上点的横坐标为0列方程求出m的值，再求解即可；
（2）根据纵坐标比横坐标大3列方程求解m的值，再求解即可；
（3）根据点P到x轴的距离列出绝对值方程求解m的值，再根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数求解．
解：（1）∵点在轴上，
∴，
解得，
∴，
∴点的坐标为；
（2）∵点的纵坐标比横坐标大3，
∴，
解得，
，，
∴点的坐标为；
（3）∵点到轴的距离为2，
∴，
解得或，
当时，，，此时，点，
当时，，，此时，点，
∵点在第四象限，
∴点的坐标为.
【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键，（3）要注意点在第四象限．
21．建立直角坐标系见分析，C，D，B，A的坐标分别为，，．
【分析】本题有多种建立直角坐标系的方法，建立坐标系时，要充分运用图形的角、边特点，适当建立平面直角坐标系，便于表达各点的坐标．
解：以点为坐标原点，分别以CD、CB所在直线为x轴、y轴，建立直角坐标系，如图3-14．此时点C的坐标是．
由，，可得D，B，A的坐标分别为，，．
【分析】本题考查了坐标系建立，坐标系建立的不同，各点的坐标也不一样，本题属于开放型题型．
22．（1）23；（2）或．
【分析】（1）分别过、作轴的垂线，垂足分别为、，分别计算AF、DF、BE的长，根据三角形面积公式、梯形面积公式分别解得，，即可解题；
（2）设，根据题意，结合三角形面积公式及绝对值的性质化简解题即可．
解：（1）分别过、作轴的垂线，垂足分别为、，
因为，，，，
所以，，，
所以，
所以，
所以，
所以．
（2）设
则有
即
解得：
所以
所以点的坐标为或．
【分析】本题考查坐标与图形的性质、三角形面积、绝对值的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
23．（1）或；（2）或
【分析】（1）根据题中条件求解即可；
（2）设点P到的距离是h，根据面积求出h，即可求出．
（1）解：∵，轴，且，
∴或；
（2）解：设点P到的距离是h，
∵，要使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10，
∴，
∴，
当点P在y轴正半轴时，点P的坐标为，
当点P在y轴负半轴时，点P的坐标为；
【分析】本题考查了坐标与图形，涉及到求点的坐标等，正确理解题意是关键．
24．（1）；（2）① ②
【分析】（1）根据即可求得答案．
（2）①根据即可求得答案．②根据，即可求得答案．
解：（1）．
（2）①根据题意可得
．
解得
．
②因为，，可得
，即．
故答案为：．
【分析】本题主要考查平面直角坐标系与几何图形，能采用补法和割法求图形面积是解题的关键．
