高二（下）期中数学试卷
一．选择题（共8小题）
1．若，，则x+n＝（ ）
A．5 B．3 C．6 D．2或5
2．已知e是自然对数的底数，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）是f（x）的导函数，且+lnx f'（x）＞0，则（ ）
A． B．
C．f（e）＜0 D．f（1）＝0
3．若随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P a b
且E（X）＝1，则（ ）
A．
B．
C．a+b＝1
D．随机变量X的方差D（X）等于
4．已0＜x＜y＜1，a＝x3﹣y3，b＝3（lnx﹣lny），c＝3（x﹣y），则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a
5．已知函数f（x）＝ex﹣a，g（x）＝lnx+a（a∈R），（其中e为自然对数的底数）．若存在实数x0，使得f（x0）≤g（x0），则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，e] B．[1，e] C．[1，+∞） D．[e，+∞）
6．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且，则g（﹣3）＝（ ）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
7．若函数f（x）＝ax﹣sinx单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
8．现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件A＝“甲参加跳高比赛”，事件B＝“乙参加跳高比赛”，事件C＝“乙参加跳远比赛”，则（ ）
A．事件A与B相互独立 B．事件A与C为互斥事件
C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．下列结论错误的是（ ）
A．是二项展开式的第k项
B．（a+b）n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关
C．（x﹣1）n的展开式二项式系数和为2n
D．在（1﹣x）9的展开式中系数最大的项是第5项和第6项
（多选）10．已知函数f（x）＝x3﹣ax2﹣2x，下列命题正确的是（ ）
A．若x＝1是函数f（x）的极值点，则a＝
B．若x＝1是函数f（x）的极值点，则f（x）在x∈[0，2]上的最小值为﹣
C．若f（x）在（1，2）上单调递增，则a≥
D．若x2lnx≥f（x）在x∈[1，2]上恒成立，则a≥﹣1
（多选）11．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到饼图：
则下面结论中正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入减少了
B．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
C．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
（多选）12．如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，则下列判断正确的是（ ）
A．f（x）在（﹣4，﹣3）上是减函数
B．f（x）在（﹣1，2）上是减函数
C．x＝﹣3时，f（x）有极小值
D．x＝2时，f（x）有极小值
三．填空题（共4小题）
13．袋中有3个红球，m个黄球，n个绿球，现从中任取两个球，即取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m﹣n＝ ，E（ξ）＝ ．
14．某学校为普及2022年北京冬奥会知识，现从4名男同学和2名女同学中选出3名同学担任宣讲员．如果至少有1名女同学参加，且这3名同学分别在周五、周六和周日进行宣讲，则不同的选派方案种数为 ．（结果用数字作答）
15．502020+2被7除后的余数为 ．
16．已知4件产品中有2件次品，从中无放回地取两次，每次取1件产品，写出一个概率为的事件A＝“ ”．
四．解答题（共6小题）
17．有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？
（1）甲不在中间也不在两端；
（2）甲、乙两人必须排在两端；
（3）男女相间．
18．设．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若（ex） f（x）≤k （lnx+1）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的取值范围．
19．在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．
条件①：第4项与第8项的二项式系数相等；
条件②：只有第6项的二项式系数最大；
条件③：所有项的二项式系数的和为1024
问题：在（﹣）n的展开式中，_____．求：
（1）展开式中x2的系数；
（2）含x的整数次幂的项分别是哪几项．
20．已知函数．
（1）若f（x）在上存在单调减区间，求实数m的取值范围；
（2）若f（x）在区间（m，+∞）上有极小值，求实数m的取值范围．
21．袋中有3个红球，4个黑球，每次随机地从袋中取出一个球，观察其颜色后放回．若取出的球是红球，则将此红球放回后，再往袋中另放2个红球；若取出的球是黑球，则将此黑球放回即可．
（1）求在第一次取到红球的条件下，第二次取到黑球的概率；
（2）求第二次取到红球的概率．
22．已知函数f（x）＝alnx，其中a＞0．
（1）若直线为曲线y＝f（x）的一条切线，求实数a的值；
（2）若对任意两个不相等的正实数m，n，均有，求实数a的取值范围．
高二（下）期中数学试卷
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．D．
2．A．
3．D．
4．D．
5．C．
6．D．
7．D．
8．C．
二．多选题（共4小题）
9．AD．
10．AB．
11．BCD．
12．AC．
三．填空题（共4小题）
13．1；1．
14．96．
15．3．
16．两次取出的都是次品．
四．解答题（共6小题）
17．解：（1）241920种排法．
（2）10080种排法．
（3）2880种排法．
18．解：（1）函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1），单调递减区间为（1，+∞）；
（2）k的取值范围为[1，+∞）．
19．解：选条件①：第4项与第8项的二项式系数相等；
故，
故n＝10；
（1）二项式的展开式为＝；
当时，解得r＝2；
故系数为＝；
（2）根据二项展开式，当r＝2和8时，x为整数次幂，
即第3项和第9项．
条件②：只有第6项的二项式系数最大；即n＝10．
（1）二项式的展开式为＝；
当时，解得r＝2；
故系数为＝；
（2）根据二项展开式，当r＝2和8时，x为整数次幂，
即第3项和第9项．
选条件③：所有项的二项式系数的和为1024，即2n＝1024，解得n＝10．
（1）二项式的展开式为＝；
当时，解得r＝2；
故系数为＝；
（2）根据二项展开式，当r＝2和8时，x为整数次幂，
即第3项和第9项．
20．解：（1）已知，函数定义域为R，
可得f′（x）＝x2+mx﹣1，
因为函数f（x）在上存在单调减区间，
所以不等式x2+mx﹣1＜0在上有解，
即在上成立，
易知函数在上递减，
所以，
此时，
则实数m的取值范围是（﹣∞，）；
（2）由（1）知，当f′（x）＝0，即x2+mx﹣1＝0时，
解得，
当x＜x1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞x2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以函数f（x）在x＝x2处取得极小值，
此时，
即，
当m≤0时，不等式成立，
当m＞0时，解得，
综上，满足条件的实数m的取值范围为（﹣∞，）．
21．解：（1）根据题意，设事件A1＝第一次取到红球，事件A2＝第一次取到黑球，事件B1＝第二次取到红球，事件B2＝第二次取到黑球，
若第一次取到红球，袋中有5个红球，4个黑球，
则P（B2|A1）＝，
（2）根据题意，由全概率公式：
P（B1）＝P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B1|A2）＝×+×＝．
22．解：（1）设直线与曲线y＝f（x）切于点（x0，f（x0）），（x0＞0），
则由题意有，即，
消去x0，整理得．（*）
令，则g（e）＝0且g（x）为增函数，
由此，方程（*）存在唯一解a＝e，
综上，实数a的值为e．
（2）不妨设m＞n＞0，原不等式即，
约去，整理得，
令，则由题意， x∈（1，+∞），h（x）＞0．
．
令，则在区间（1，+∞）内单调递增．
①若，即，
则当x∈（1，+∞）时，φ（x）＞φ（1）≥0，
从而h′（x）＞0，h（x）在区间（1，+∞）内单调递增，
所以当x∈（1，+∞）时，h（x）＞h（1）＝0，符合题意．
②若，即，则，且．
由零点存在性定理及φ（x）的单调性知，存在，使得φ（t）＝0，
且当x∈（1，t）时，φ（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）在（1，t）内单调递减．
由此，当x∈（1，t）时，h（x）＜h（1）＝0，与已知矛盾．
综上，实数a的取值范围为
