第1章三角形的初步知识章末测试卷（B）
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021春 玄武区校级月考）如图，∠BAD＝∠ADC＝90°，以AD为一条高线的三角形个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（3分）（2021春 榆阳区期末）如图，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（3分）（2021春 和平区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．则∠ACD的大小为（ ）
A．60° B．75° C．65° D．70°
4．（3分）（2021 鄞州区模拟）已知命题：“若两个角互补，则这两个角必定一个是锐角，另一个是钝角”，下列两个角度可以说明“上述命题是假命题”的反例是（ ）
A．40°和50° B．30°和150° C．90°和90° D．120°和150°
5．（3分）（2021春 长安区期末）如图，已知点P是射线ON上一动点（不与点O重合），∠O＝30°，若△AOP为钝角三角形，则∠A的取值范围是（ ）
A．0°＜∠A＜60°
B．90°＜∠A＜180°
C．0°＜∠A＜30°或90°＜∠A＜130°
D．0°＜∠A＜60°或90°＜∠A＜150°
6．（3分）（2020秋 台江区校级月考）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠C＝∠E＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠1+∠2等于（ ）
A．150° B．180° C．210° D．270°
7．（3分）（2021春 浦东新区月考）在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是（ ）
A．0＜AD＜12 B．1＜AD＜6 C．0＜AD＜6 D．2＜AD＜12
8．（3分）（2021春 宁波期末）如图，正方形ABCD被分割成2个长方形和1个正方形，要求图中阴影部分的面积，只要知道下列图形的面积是（ ）
A．长方形AEFD B．长方形BEGH C．正方形CFGH D．长方形BCFE
9．（3分）（2021春 渝中区校级期末）如图，四边形ABCD中，AC、BD为对角线，且AC＝AB，∠ACD＝∠ABD，AE⊥BD于点E，若BD＝6.4，CD＝5.2．则DE的长度为（ ）
A．1.2 B．0.6 C．0.8 D．1
10．（3分）（2021春 衡阳期末）如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP，BE平分外角∠MBC交DC的延长线于点E．以下结论：①∠BDE∠BAC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；④∠BAC+2∠BEC＝180°．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2020秋 东阳市期末）如图，在△ABC中，点E在AB上，D为AC的中点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．若AB＝15cm，CF＝10cm，则BE＝ cm．
12．（3分）（2021春 南京月考）现有长为100cm的铁丝，要截成n（n＞2）小段，每小段的长度为不小于1cm的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，则n的最大值为 ．
13．（3分）（2021春 道里区期末）在△ABC中，AE是中线，AD是高，AD＝6，CD＝1，若△ABC的面积为12，则线段DE的长度为 ．
14．（3分）（2021春 新都区期末）如图，将△ABC沿DE、DF翻折，使顶点B、C都落于点G处，且线段BD、CD翻折后重合于DG，若∠AEG+∠AFG＝54°，则∠A＝ 度．
15．（3分）（2021春 莱州市期末）三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于 ．
16．（3分）（2021春 高新区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E、作QF⊥l于F，当点P运动 秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2020春 南岸区期末）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形．
已知：线段m，n，∠β．
求作：△ABC，使AB＝m，BC＝n，∠ABC＝∠β（保留作图痕迹，不写作法）．
18．（6分）（2021春 宝安区期中）如图所示，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于D．
（1）求证：CE⊥AB；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．
19．（8分）（2021春 衡阳期末）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，过点E作EF垂直BC，垂足为点F．
（1）∠ABC＝35°，∠EBD＝18°，∠BAD＝55°，求∠BED的度数；
（2）若△ABC的面积为30，EF＝5，求CD．
20．（8分）（2020秋 东海县期末）小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.6m和2m，∠BOC＝90°．
（1）△OBD与△COE全等吗？请说明理由；
（2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？
21．（8分）（2021春 高邮市期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AB上一点（不与A、B重合），连接CP．
（1）当∠B＝72°时；
①若∠CPB＝54°，则△ACP “倍角三角形”（填“是”或“否”）；
②若△BPC是“倍角三角形”，求∠ACP的度数；
（2）当△ABC、△BPC、△ACP都是“倍角三角形”时，求∠BCP的度数．
22．（8分）（2021 碑林区校级开学）如图，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度沿射线AM上运动；已知AC＝6cm，设动点D，E的运动时间为t．
（1）试求∠ACB的度数；
（2）若S△ABD：S△BEC＝2：3，试求动点D，E的运动时间t的值；
（3）试问当动点D，E在运动过程中，是否存在某个时间t，使得△ADB与△BEC全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由．
23．（8分）（2021春 简阳市 期中）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．
（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；
（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；
（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021春 玄武区校级月考）如图，∠BAD＝∠ADC＝90°，以AD为一条高线的三角形个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解题思路】由于AB⊥AD，AD⊥CD，根据三角形的高的定义，可确定以AD为一条高线的三角形的个数．
【解答过程】解：以AD为一条高线的三角形有△ADE、△ADC、△AEC、△DAB这4个，
故选：C．
2．（3分）（2021春 榆阳区期末）如图，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】根据直角三角形的全等的条件进行判断，即可得出结论．
【解答过程】解：①当AC＝AD时，由∠C＝∠D＝90°，AC＝AD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；
②当∠ABC＝∠ABD时，由∠C＝∠D＝90°，∠ABC＝∠ABD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS）；
③当BC＝BD时，由∠C＝∠D＝90°，BC＝BD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；
故选：D．
3．（3分）（2021春 和平区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．则∠ACD的大小为（ ）
A．60° B．75° C．65° D．70°
【解题思路】根据线段的垂直平分线的性质得到DC＝DB，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答过程】解：由尺规作图可知，线段BC的垂直平分线交AB于D，
∴DC＝DB，
∴∠DCB＝∠B＝30°，
∵∠A＝45°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝75°，
故选：B．
4．（3分）（2021 鄞州区模拟）已知命题：“若两个角互补，则这两个角必定一个是锐角，另一个是钝角”，下列两个角度可以说明“上述命题是假命题”的反例是（ ）
A．40°和50° B．30°和150° C．90°和90° D．120°和150°
【解题思路】要说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，另一个是钝角”为假命题，则两个角的和为180°，且这两个角不是一个是锐角，另一个是钝角，然后根据此分别对四个选项进行判断．
【解答过程】解：∵90°+90°＝180°，
而这两个角都是直角，
所以D选项可能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，另一个是钝角”为假命题．
故选：C．
5．（3分）（2021春 长安区期末）如图，已知点P是射线ON上一动点（不与点O重合），∠O＝30°，若△AOP为钝角三角形，则∠A的取值范围是（ ）
A．0°＜∠A＜60°
B．90°＜∠A＜180°
C．0°＜∠A＜30°或90°＜∠A＜130°
D．0°＜∠A＜60°或90°＜∠A＜150°
【解题思路】由∠O＝30°可分两种情况：若∠A为钝角，则90°＜∠A＜180°﹣30°，可直接求解∠A的范围；若∠A为锐角，则90°＜∠A＜180°﹣30°，再根据三角形外角的性质可求解．
【解答过程】解：∵∠O＝30°，
若∠A为钝角，则90°＜∠A＜180°﹣30°，
即90°＜∠A＜150°，
若∠A为锐角，则0°＜∠APN＜90°，
∵∠APN＝∠O+∠A，
∴∠A+30°＜90°，
∴0°＜∠A＜60°，
综上，∠A的取值范围为0°＜∠A＜60°或90°＜∠A＜150°，
故选：D．
6．（3分）（2020秋 台江区校级月考）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠C＝∠E＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠1+∠2等于（ ）
A．150° B．180° C．210° D．270°
【解题思路】根据直角三角形的性质得到∠COP+∠CPO＝90°，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答过程】解：如图，∵∠C＝90°，
∴∠COP+∠CPO＝90°，
∵∠1＝∠D+∠DOA，∠2＝∠E+∠EPB，∠DOA＝∠COP，∠EPB＝∠CPO，
∴∠1+∠2＝∠D+∠E+∠COP+∠CPO＝30°+90°+90°＝210°，
故选：C．
7．（3分）（2021春 浦东新区月考）在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是（ ）
A．0＜AD＜12 B．1＜AD＜6 C．0＜AD＜6 D．2＜AD＜12
【解题思路】作出图形，延长中线AD到E，使DE＝AD，利用“边角边”证明△ACD和△EBD全等，根据全等三角形对应边相等可得AC＝BE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的范围，再除以2即可得解．
【解答过程】解：如图，延长中线AD到E，使DE＝AD，
∵AD是三角形的中线，
∴BD＝CD，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC＝BE，
∵AB＝5，BE＝AC＝7，
∴7﹣5＜AE＜7+5，
即7﹣5＜2AD＜7+5，
∴1＜AD＜6．
故选：B．
8．（3分）（2021春 宁波期末）如图，正方形ABCD被分割成2个长方形和1个正方形，要求图中阴影部分的面积，只要知道下列图形的面积是（ ）
A．长方形AEFD B．长方形BEGH C．正方形CFGH D．长方形BCFE
【解题思路】根据矩形的性质得到S△GDF＝S△BGE，所以S阴影S矩形BCFE．
【解答过程】解：如图所示：在△GDF与△BGE中，
，
∴△GDF≌△BGE（SAS）．
∴S△GDF＝S△BEG，
则S阴影＝S△EFBS矩形BCFE．
所以只要知道长方形BCFE的面积即可求得答案．
故选：D．
9．（3分）（2021春 渝中区校级期末）如图，四边形ABCD中，AC、BD为对角线，且AC＝AB，∠ACD＝∠ABD，AE⊥BD于点E，若BD＝6.4，CD＝5.2．则DE的长度为（ ）
A．1.2 B．0.6 C．0.8 D．1
【解题思路】过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，根据AAS证明△AFC≌△AEB，得到AF＝AE，CF＝BE，再根据HL证明Rt△AFD≌Rt△AED，得到DF＝DE，最后根据线段的和差即可求解．
【解答过程】解：过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，
∴∠AFC＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AFC＝∠AED＝∠AEB＝90°，
在△AFC和△AEB中，
，
∴△AFC≌△AEB（AAS），
∴AF＝AE，CF＝BE，
在Rt△AFD和Rt△AED中，
，
∴Rt△AFD≌Rt△AED（HL），
∴DF＝DE，
∵CF＝CD+DF，BE＝BD﹣DE，CF＝BE，
∴CD+DF＝BD﹣DE，
∴2DE＝BD﹣CD，
∵BD＝6.4，CD＝5.2，
∴2DE＝1.2，
∴DE＝0.6，
故选：B．
10．（3分）（2021春 衡阳期末）如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP，BE平分外角∠MBC交DC的延长线于点E．以下结论：①∠BDE∠BAC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；④∠BAC+2∠BEC＝180°．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】根据三角形的内角和定理、三角形的外角的性质判断即可．
【解答过程】解：①∵∠DCP＝∠BDC+∠CBD，2∠DCP＝∠BAC+2∠DBC，
∴2（∠BDC+∠CBD）＝∠BAC+2∠DBC，
∴∠BDE∠BAC，故①正确．
②∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC，
∴∠DBE＝∠DBC+∠EBC∠ABC∠MBC180°＝90°，
∴EB⊥DB，故②正确，
③∵∠DCP＝∠BDC+∠CBD，2∠DCP＝∠BAC+2∠DBC，
∴2（∠BDC+∠CBD）＝∠BAC+2∠DBC，
∴∠BDC∠BAC，
∵∠BAC+2∠ABC＝180°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠BDC+∠ABC＝90°，故③正确，
④∵∠BEC＝180°（∠MBC+∠NCB）＝180°（∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC）＝180°（180°+∠BAC），
∴∠BEC＝90°∠BAC，
∴∠BAC+2∠BEC＝180°，故④正确，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2020秋 东阳市期末）如图，在△ABC中，点E在AB上，D为AC的中点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．若AB＝15cm，CF＝10cm，则BE＝ 5 cm．
【解题思路】根据CF∥AB就可以得出∠A＝∠DCF，∠AED＝∠F，证明△ADE≌△CDF（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝CF，则可得出答案．
【解答过程】解：∵CF∥AB，
∴∠AED＝∠F，∠FCD＝∠A．
∵点D为AC的中点，
∴AD＝CD．
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS）．
∴AE＝CF，
∵AB＝15cm，CF＝10cm，
∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣CF＝15﹣10＝5（cm）．
故答案为5．
12．（3分）（2021春 南京月考）现有长为100cm的铁丝，要截成n（n＞2）小段，每小段的长度为不小于1cm的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，则n的最大值为 9 ．
【解题思路】根据三角形的三边关系；三角形两边之和大于第三边，由于每段的长为不小于1的整数，所以设最小的是1，又由于其中任意三段都不能拼成三角形，所以每段长是；1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，然后依此类推，最后每段的总和要不大于100即可．
【解答过程】解：因为n段之和为定值100cm，故欲n尽可能的大，必须每段的长度尽可能的小．又由于每段的长度不小于1cm，且任意3段都不能拼成三角形，因此这些小段的长度只可能分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，
但1+1+2+3+5+8+13+21+34＝88＜100，1+1+2+3+5+8+13+21+34+55＝143＞100，
所以n的最大值为9．
故答案为9．
13．（3分）（2021春 道里区期末）在△ABC中，AE是中线，AD是高，AD＝6，CD＝1，若△ABC的面积为12，则线段DE的长度为 1或3 ．
【解题思路】根据题意分AD在△ABC内部和AD在△ABC外部两种情况进行讨论，先根据三角形的面积公式求得BC＝4，再根据三角形中线的性质及边之间的和差关系求解即可．
【解答过程】解：当AD在△ABC内部时，如图1，
根据题意可知S△ABC＝12，即BC×AD＝12，
解得BC＝4，
∵AE是△ABC的中线，
∴BE＝ECBC＝2，
∴DE＝EC﹣DC＝2﹣1＝1；
当AD在△ABC外部时，如图2，
根据题意可知S△ABC＝12，即BC×AD＝12，
解得BC＝4，
∵AE是△ABC的中线，
∴BE＝ECBC＝2，
∴DE＝EC+DC＝2+1＝3，
综上所述，DE长为1或3．
故答案为：1或3．
14．（3分）（2021春 新都区期末）如图，将△ABC沿DE、DF翻折，使顶点B、C都落于点G处，且线段BD、CD翻折后重合于DG，若∠AEG+∠AFG＝54°，则∠A＝ 63 度．
【解题思路】连接BG、CG，由折叠的性质得BD＝CD＝GD，则∠BGC＝90°，∠GBC+∠GCB＝90°，又由折叠的性质得EG＝EB，FG＝FC，得出∠EBG＝∠EGB，∠FGC＝∠FCG，由三角形外角性质得出2∠EBG+2∠FCG＝54°，得出∠EBG+∠FCG＝27°，则∠ABC+∠ACB＝∠EBG+∠FCG+∠GBC+∠GCB＝117°，即可得出结果．
【解答过程】解：连接BG、CG，如图所示：
由折叠的性质得：BD＝CD＝GD，
∴∠BGC＝90°，∠GBC+∠GCB＝90°，
又由折叠的性质得：EG＝EB，FG＝FC，
∴∠EBG＝∠EGB，∠FGC＝∠FCG，
∵∠AEG＝2∠EBG，∠AFG＝2∠FCG，∠AEG+∠AFG＝54°，
∴2∠EBG+2∠FCG＝54°，
∴∠EBG+∠FCG＝27°，
∴∠ABC+∠ACB＝∠EBG+∠FCG+∠GBC+∠GCB＝27°+90°＝117°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣117°＝63°，
另一种解法：由题意得：∠EGF＝∠B+∠C＝180°﹣∠A＝∠A+∠AEG+∠AFG，
∴∠A．
故答案为：63．
15．（3分）（2021春 莱州市期末）三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于 180° ．
【解题思路】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出∠4+∠9+∠6＝180°，∠5+∠7+∠8＝180°，进而得出答案．
【解答过程】解：如图所示：
由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7＝540°，
∵三个三角形全等，
∴∠4+∠9+∠6＝180°，
又∵∠5+∠7+∠8＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+180°+180°＝540°，
∴∠1+∠2+∠3的度数是180°．
故答案为：180°．
16．（3分）（2021春 高新区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E、作QF⊥l于F，当点P运动 1或或12 秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等．
【解题思路】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出CP＝CQ，代入得出关于t的方程，解方程即可．
【解答过程】解：分为五种情况：①如图1，P在AC上，Q在BC上，则PC＝6﹣t，QC＝8﹣3t，
∵PE⊥l，QF⊥l，
∴∠PEC＝∠QFC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PCE+∠QCF＝90°，
∴∠EPC＝∠QCF，
∵△PCE≌△CQF，
∴PC＝CQ，
即6﹣t＝8﹣3t，
t＝1；
②如图2，P在BC上，Q在AC上，则PC＝t﹣6，QC＝3t﹣8，
∵由①知：PC＝CQ，
∴t﹣6＝3t﹣8，
t＝1；
t﹣6＜0，即此种情况不符合题意；
③当P、Q都在AC上时，如图3，
CP＝6﹣t＝3t﹣8，
t；
④当Q到A点停止，P在BC上时，AC＝PC，t﹣6＝6时，解得t＝12．
⑤P和Q都在BC上的情况不存在，因为P的速度是每秒1cm，Q的速度是每秒3cm；
答：点P运动1或或12秒时，以P、E、C为顶点的三角形上以O、F、C为顶点的三角形全等．
故答案为：1或或12．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2020春 南岸区期末）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形．
已知：线段m，n，∠β．
求作：△ABC，使AB＝m，BC＝n，∠ABC＝∠β（保留作图痕迹，不写作法）．
【解题思路】先作∠MBN＝∠β，在BM上截取BA＝m，BN上截取BC＝n，连接AC得到△ABC．
【解答过程】解：如图，△ABC为所作．
18．（6分）（2021春 宝安区期中）如图所示，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于D．
（1）求证：CE⊥AB；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．
【解题思路】（1）由△ABD≌△CFD，得出∠BAD＝∠DCF，再利用三角形内角和即可得出答案；
（2）根据全等三角形的性质得出AD＝DC，即可得出BD＝DF，进而解决问题．
【解答过程】（1）证明：∵△ABD≌△CFD，
∴∠BAD＝∠DCF，
又∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CDF＝90°，
∴CE⊥AB；
（2）解：∵△ABD≌△CFD，
∴BD＝DF，
∵BC＝7，AD＝DC＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3．
19．（8分）（2021春 衡阳期末）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，过点E作EF垂直BC，垂足为点F．
（1）∠ABC＝35°，∠EBD＝18°，∠BAD＝55°，求∠BED的度数；
（2）若△ABC的面积为30，EF＝5，求CD．
【解题思路】（1）由所给的条件不难求出∠ABE的度数，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，从而可求∠BED的度数；
（2）由AD，BE是三角形的中线，可得到S△ABDS△ABC，S△BDES△ABD，再由S△BDFBD EF，可求得BD的长度，从而可求CD的长度．
【解答过程】解：（1）∵∠ABC＝35°，∠EBD＝18°，
∴∠ABE＝35°﹣18°＝17°，
∴∠BED＝∠ABE+∠BAD＝17°+55°＝72°；
（2）∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABDS△ABC，
又∵S△ABC＝30，
∴S△ABD30＝15，
又∵BE为△ABD的中线，
∴S△BDES△ABD，
∴S△BDE15，
∵EF⊥BC，且EF＝5，
∴S△BDE BD EF，
∴ BD×5，
∴BD＝3，
∴CD＝BD＝3．
20．（8分）（2020秋 东海县期末）小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.6m和2m，∠BOC＝90°．
（1）△OBD与△COE全等吗？请说明理由；
（2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？
【解题思路】（1）由直角三角形的性质得出∠COE＝∠OBD，根据AAS可证明△COE≌△OBD；
（2）由全等三角形的性质得出CE＝OD，OE＝BD，求出DE的长则可得出答案．
【解答过程】解：（1）△OBD与△COE全等．
理由如下：
由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°．
∴∠COE＝∠OBD，
在△COE和△OBD中，
，
∴△COE≌△OBD（AAS）；
（2）∵△COE≌△OBD，
∴CE＝OD，OE＝BD，
∵BD、CE分别为1.6m和2m，
∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝2﹣1.6＝0.4（m），
∵AD＝1.2m，
∴AE＝AD+DE＝1.6（m），
答：爸爸是在距离地面1.6m的地方接住小明的．
21．（8分）（2021春 高邮市期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AB上一点（不与A、B重合），连接CP．
（1）当∠B＝72°时；
①若∠CPB＝54°，则△ACP 是 “倍角三角形”（填“是”或“否”）；
②若△BPC是“倍角三角形”，求∠ACP的度数；
（2）当△ABC、△BPC、△ACP都是“倍角三角形”时，求∠BCP的度数．
【解题思路】（1）①求出△APC中各个内角的度数，即可判断．
②由∠B＝72°，△BPC是“倍角三角形”，推出△BCP内角的度数分别是72°，72°，36°，由此即可解决问题．
（2）首先确定△ABC是“倍角三角形”时，有两种情形，45°的直角三角形，30°的直角三角形，再分类讨论解决问题即可．
【解答过程】解：（1）①∵∠ACB＝90°，∠B＝72°，
∴∠C＝90°﹣72°＝18°，
∵∠CPB＝54°，
∴∠A+∠ACP＝54°，
∴∠ACP＝36°，
∴∠ACP＝2∠A，
∴△ACP是“倍角三角形”，
故答案为：是．
②∵∠B＝72°，△BPC是“倍角三角形”，
∴△BCP内角的度数分别是72°，72°，36°，
∴∠BCP＝36°或72°，
∴∠ACP＝54°或18°．
（2）如图2﹣1中，当△ABC是等腰直角三角形，CP⊥AB时，满足条件，此时∠BCP＝45°．
如图2﹣2中，当∠A＝60°，CP⊥AB时，满足条件，此时∠BCP＝60°．
如图2﹣3中，当∠A＝60°，∠BPC＝100°时，满足条件，此时∠BCP＝50°．
如图2﹣4中，当∠B＝60°，∠APC＝100°时，满足条件，此时∠BCP＝40°．
如图2﹣5中，当∠B＝60°，∠APC＝90°时，满足条件，此时∠BCP＝30°．
综上所述，满足条件的∠BC的值为30°或40°或45°或50°或60°．
22．（8分）（2021 碑林区校级开学）如图，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度沿射线AM上运动；已知AC＝6cm，设动点D，E的运动时间为t．
（1）试求∠ACB的度数；
（2）若S△ABD：S△BEC＝2：3，试求动点D，E的运动时间t的值；
（3）试问当动点D，E在运动过程中，是否存在某个时间t，使得△ADB与△BEC全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由．
【解题思路】（1）易求∠BAC＝45°，根据BC⊥BA可得∠ABC＝90°，即可解题；
（2）作BF⊥AM，BG⊥AC，则BF＝BG，根据S△ABD：S△BEC的值可得AD：CE的值，分别用t表示AD，CE即可求得t的值，即可解题；
（3）易得AD＝CE时，△ADB≌△BEC，分别用t表示AD，CE即可求得t的值，即可解题．
【解答过程】解：（1）∵AM⊥AN，AB平分∠MAN，
∴∠BAC＝45°，
∵BC⊥BA，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝45°；
（2）作BF⊥AM，BG⊥AC，则BF＝BG，
∵S△ABD：S△BEC＝2：3，
∴AD：CE＝2：3，
∵AD＝t，CE＝6﹣2t，
∴3t＝2（6﹣2t），
解得：ts；
当E点在C点右侧时，CE＝2t﹣6，
∴3t＝2（2t﹣6），解得t＝12．
（3）∵AB＝BC，∠BAM＝∠BCA＝45°，
∴当AD＝CE时，△ADB≌△BEC（SAS），
即6﹣2t＝t，或2t﹣6＝t，
解得：t＝2或6（舍弃），
答：t＝2，△ADB≌△BEC．
23．（8分）（2021春 简阳市 期中）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．
（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；
（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；
（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）
【解题思路】（1）延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可；
（2）延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可；
（3）在CB截取BE＝AM，连接DE，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可．
【解答过程】
（1）AM+BN＝MN，
证明：延长CB到E，使BE＝AM，
∵∠A＝∠CBD＝90°，
∴∠A＝∠EBD＝90°，
在△DAM和△DBE中
，
∴△DAM≌△DBE，
∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，
∵∠MDN＝∠ADC＝60°，
∴∠ADM＝∠NDC，
∴∠BDE＝∠NDC，
∴∠MDN＝∠NDE，
在△MDN和△EDN中
，
∴△MDN≌△EDN，
∴MN＝NE，
∵NE＝BE+BN＝AM+BN，
∴AM+BN＝MN．
（2）AM+BN＝MN，
证明：延长CB到E，使BE＝AM，连接DE，
∵∠A＝∠CBD＝90°，
∴∠A＝∠DBE＝90°，
∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，
∴∠MDN＝∠CDA，
∵∠MDN＝∠BDC，
∴∠MDA＝∠CDN，∠CDM＝∠NDB，
在△DAM和△DBE中
，
∴△DAM≌△DBE，
∴∠BDE＝∠MDA＝∠CDN，DM＝DE，
∵∠MDN+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°，
∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB，
∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE，
∵∠CDM＝∠NDB
∴∠MDN＝∠NDE，
在△MDN和△EDN中
，
∴△MDN≌△EDN，
∴MN＝NE，
∵NE＝BE+BN＝AM+BN，
∴AM+BN＝MN．
（3）BN﹣AM＝MN，
证明：在CB截取BE＝AM，连接DE，
∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，
∴∠MDN＝∠CDA，
∵∠ADN＝∠ADN，
∴∠MDA＝∠CDN，
∵∠B＝∠CAD＝90°，
∴∠B＝∠DAM＝90°，
在△DAM和△DBE中
，
∴△DAM≌△DBE，
∴∠BDE＝∠ADM＝∠CDN，DM＝DE，
∵∠ADC＝∠BDC＝∠MDN，
∴∠MDN＝∠EDN，
在△MDN和△EDN中
，
∴△MDN≌△EDN，
∴MN＝NE，
∵NE＝BN﹣BE＝BN﹣AM，
∴BN﹣AM＝MN．
