2023-2024学年山东省枣庄市滕州市鲍沟中学九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如果关于的方程中，那么方程必有一个根是( )
A. B. C. D.
2. 若是一元二次方程的一个根，则此方程的另一个根是( )
A. B. C. D.
3. 某商品原每件售价元，经过连续两次降价后每件仍能获利元，若每件商品进价为元，则平均每次降价的百分率为( )
A. B. C. D.
4. 某商品经过连续两次降价，价格由元降为元已知两次降价的百分率都是，则满足的方程是( )
A. B.
C. D.
5. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为的形式，则的值为( )
A. B. C. D.
7. 如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点要使四边形为矩形，可以添加的一个条件是( )
A. 四边形是矩形
B. 、互相平分
C.
D.
8. 已知一元二次方程有一个根为，则的值为( )
A. B. C. D.
9. 如图是一张矩形纸片，，点为边上一点，且，连接，若将其沿对折，使得点落在边上的点处，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，将边长为的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，与交于点，那么图中点的坐标为( )
A. B. C. D.
11. 如图，菱形的顶点，分别在轴正半轴，轴正半轴上，点的横坐标为，点的纵坐标为，若直线平行轴，则菱形的边长值为( )
A. B. C. D.
12. 如图，菱形，点、、、均在坐标轴上．，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 关于的一元二次方程的一个根为，则的值为______ ．
14. 如果，是方程的两个根，那么 ______ ； ______ ．
15. 如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在射线上不与、重合，过点分别作轴和轴的垂线，垂足为、当矩形的面积为时，点的坐标为______ ．
16. 如图，在纸片中，，是边上的中线，将沿折叠，当点落在点处时，时好，若，则 ______ ．
17. 如图，在矩形中，，，点为边上的动点，连接，过点作，且，连接，则线段长度的最小值为______ ．
18. 如图，，，点在上，四边形是矩形，连接，交于点，连接交于点下列个判断：；；；若点是线段的中点，则为等腰直角三角形，其中，判断正确的是______ 填序号
三、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
选取最恰当的方法解方程：
；
．
20. 本小题分
已知：如图，边长为的正方形的对角线、交于点，、分别为、上的点，且．
求证：；
、分别在、延长线上，，求证：四边形与正方形重合部分的面积等于．
21. 本小题分
今年超市以每件元的进价购进一批商品，当商品售价为元时，三月份销售件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到件．
求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价元，月销量增加件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利元？
22. 本小题分
已知关于的方程．
求证：方程总有两个不相等的实数根；
若方程的两个实数根都是整数，求整数的值．
23. 本小题分
如图，在菱形中，点、分别是边、上的点，，
接、，延长交线段的延长线于点．
求证：≌；
若，求的长．
24. 本小题分
如图，在菱形中，，，点是边的中点，点是边上一动点不与点重合，延长交射线于点，连接，．
求证：四边形是平行四边形；
当 ______ 时，四边形是矩形．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，且当时，，
是原方程的一个根．
故选：．
根据题意知，当时，，由此可以判定是原方程的一个根．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
2.【答案】
【解析】解：设方程的另一个根为，
根据根与系数的关系得，
解得，
即方程的另一个根是．
故选：．
设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得，然后解的方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
3.【答案】
【解析】解：设平均每次降价的百分率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
平均每次降价的百分率为．
故选：．
设平均每次降价的百分率为，利用经过两次降价后的价格原价平均每次降价的百分率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，得，
故选：．
根据某商品经过连续两次降价，价格由元降为元，列一元二次方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，
，
方程有实数根，
，
，
故选：．
利用解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程直接开平方法是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，
，即，
则，，
，
故选：．
两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后得出、的值，继而可得答案．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
7.【答案】
【解析】解：添加的条件为，理由如下：
、分别为，的中点，
是的中位线，
，，
同理可得，
四边形为平行四边形，
又，
，
四边形为矩形，
故选：．
根据、、、分别为、、、的中点，利用三角形中位线定理先证明，进而得到四边形为平行四边形，再由可得，即可证明四边形为矩形．
本题主要考查三角形中位线定理、矩形的判定，解题的关键是熟知三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边长的一半．
8.【答案】
【解析】解：把代入方程得，
解得．
故选：．
根据一元二次方程的解的定义，把代入方程得关于的一次方程，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
9.【答案】
【解析】解：由题意可知：，，
又，
四边形是正方形，
，
．
故选：．
根据翻折的性质可得，，所以四边形是正方形，再根据正方形的性质可得，然后根据即可得解．
本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形是正方形是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：四边形是边长为的正方形，正方形绕点逆时针旋转得到正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
将边长为的正方形绕点逆时针旋转，
，
，
在中，，
，
，
点的坐标为，
故选：．
由正方形和旋转的性质得出，，证出≌，得出，求出，在中，求出即可．
本题考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
11.【答案】
【解析】解：连接，交于，
四边形是菱形，
，，，
平行轴，，
，
点的横坐标为，点的纵坐标为，
，，
，，
．
菱形的边长值为．
故选：．
由菱形的性质得到，，，由点的横坐标为，点的纵坐标为，得到，，由勾股定理即可求出的长．
本题考查菱形的性质，勾股定理，坐标与图形的性质，关键是掌握菱形的性质，勾股定理．
12.【答案】
【解析】解：根据题意得，点关于轴的对称点是的中点，连接交与点，此时有最小值为，
四边形是菱形，，点，
，，
是等边三角形，
，
即的最小值是，
故选：．
根据题意得，点关于轴的对称点是的中点，连接交与点，此时有最小值，求出此时的最小值即可．
本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：把代入方程得：，，
解得：．
故答案为：．
把代入方程得到，，求出即可．
本题主要考查对一元二次方程的解，一元二次方程的定义的理解和掌握，能根据已知得出和是解此题的关键．
14.【答案】；
【解析】解：根据题意得，．
故答案为，．
直接根据根与系数的关系求解．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．
15.【答案】或或
【解析】解：设点横坐标为，点在一次函数的图象上，
当在轴上方时，
点的纵坐标为，
矩形的面积为，
，
解得：，，
当时，，
当时，，
点的坐标为或，
当在轴下方时，
点的纵坐标为，
矩形的面积为，
，
解得：不合题意舍去，，
当时，，
点的坐标为
故答案为：或或
设点横坐标为，则点的纵坐标为，然后再利用矩形的面积为列出方程，计算出的值，进而可得答案．
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，关键是利用函数解析式正确表示出点坐标．
16.【答案】
【解析】解：设交于，如图：
，是边上的中线，
，
，
由翻折的性质可知，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：．
由，是边上的中线，可得，由翻折的性质可知，，故，而，即得，在中，，可解得，从而可得答案．
本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练掌握含角的直角三角形三边的关系．
17.【答案】
【解析】解：如图：在取一点使得，连接，在上取一点，使得
，连接
，
，
，
，，
，
，
≌≌
，
矩形中，，
，
，
，
，
点在射线上运动，当时，的值最小，最小值为．
故答案为：．
如图：在取一点使得，连接，在上取一点，使得，连接，利用全等三角形的性质证明，由矩形的性可得、，进而推出点在射线上运动，当时值最小．
本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形并确定是解答本题的关键．
18.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，
，
，故正确；
，，
，
，故错误；
，
，
，
，，
，
，
≌，
，
连接，如图，
，
，，
是的垂直平分线，，
，故正确；
根据题意作出图形，如图，
是的中点，，
，
，
，平分，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，故正确；
判断正确的是．
故答案为：．
由矩形得，再由等腰三角形的三线合一性质可判断的正误；根据矩形的性质可得，便可判断的正误；证明≌，得，连接，由线段的垂直平分线得，进而便可判断的正误；由直角三角形斜边上的中线定理得，进而求得，由矩形性质得，进而得，再得，便可判断的正误．
本题属于四边形的综合题，主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，关键是熟记这些图形的性质．
19.【答案】解：，
，
则，
或，
解得，；
，
，
，
则或，
解得，．
【解析】先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可；
先整理成一般式，再利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
20.【答案】证明：四边形为正方形，
，，，
，
≌，
，
，
，
即；
≌，
，
四边形与正方形重合部分的面积等于
．
【解析】由四边形为正方形得到，，，又由，即可证明≌，则，由得到，即可得到结论；
由≌得到，根据即可得到四边形与正方形重合部分的面积．
此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
21.【答案】解：设平均增长率为，由题意得：，
解得：或舍；
四、五这两个月的月平均增长百分率为；
解：设降价元，由题意得：，
整理得：，
解得：或舍；
当商品降价元时，商场六月份可获利元．
【解析】利用平均增长率的等量关系：，列式计算即可；
利用总利润单件利润销售数量，列方程求解即可．
本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意正确的列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】证明：，
方程为一元二次方程，
，
此方程总有两个不相等的实数根；
，
，，
方程的两个实数根都是整数，且是整数，
或．
【解析】由于，则计算判别式的值得到，从而可判断方程总有两个不相等的实数根；
先利用求根公式得到，，然后利用有理数的整除性确定整数的值．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
23.【答案】证明：四边形为菱形，
，，
，，
，
在和中，
，
≌；
解：四边形为菱形，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】根据菱形的性质可得，，根据，，可得，利用即可证明；
根据菱形的性质可证明∽，根据相似的性质可求得的长度，进而可求．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质，通过菱形的性质得到∽是关键．
24.【答案】
【解析】证明：四边形是菱形，
，
，，
点是中点，
，
≌，
，
四边形是平行四边形；
解：当时，四边形是矩形
理由如下：
四边形为菱形，
，，
点是边的中点，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
四边形是矩形．
故答案为：．
由四边形是菱形，可得，从而得出，，再证明≌，得出，从而得出结论；
当时，四边形是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定．
本题考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
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