江苏省苏州市工业园区东湖实验中学2023-2024学年九年级上学期
开学数学模拟试卷
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）在下列四个图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2分）下列x的值能使二次根式有意义的是（ ）
A．3 B．﹣2 C．5 D．2
3．（2分）下列事件中发生的可能性为0的是（ ）
A．抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上
B．今天黄冈市最高气温为 88℃
C．路边抛掷一石头，石头终将落地（空中无任何遮拦）
D．不透明袋子中放了大小相同的乒乓球和金属球，从中去摸取出乒乓球
4．（2分）在同一平面内，函数y＝k1x与函数y＝的图象没有交点，那么k1和k2的关系是（ ）
A．k1＞0，k2＜0 B．k1＜0，k2＞0 C．k1k2＞0 D．k1k2＜0
5．（2分）如图，已知BC是⊙O的直径，∠AOC＝58°（ ）
A．28° B．29° C．32° D．42°
6．（2分）抛物线y＝﹣（x+1）2+3有（ ）
A．当x＝1，y有最大值3 B．当x＝1，y有最小值3
C．当x＝﹣1，y有最大值3 D．当x＝﹣1，y有最小值3
7．（2分）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是15cm，当重物上升15cm时（ ）（π取3.14，结果精确到1°）
A．115° B．60° C．57° D．29°
8．（2分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，，，点C的对应点C'的坐标为（ ）
A． B．
C．或（2，0） D．或（0，﹣2）
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）化简：（）2＝ ，＝ ．
10．（2分）若方程mx2+3x﹣4＝x2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 ．
11．（2分）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知CD＝12m，小明和小华的身高都是1.5m，同一时刻小明站在E处，影长为2m，小华站在平地上，影长为1m，则塔高AB是 米．
12．（2分）如果x＝2是一元二次方程2x2﹣2x＝a2的一个根，则常数a的值是 ．
13．（2分）二次函数y＝x2﹣bx+c的图象上有两点A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2），则此抛物线的对称轴是直线x＝ ．
14．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，BE⊥CD，垂足为E，，则直径AB＝ ．
15．（2分）如图，已知线段AB＝6，分别以端点A，大于AB的长为半径作弧，N，点C，D在直线MN上，CB，BD，F分别是AC和AD的中点，且CD＝8 ．
16．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，点E为BC上一点（不与点B重合），连接AE，点F为B′E上一点，连接AF，使得点B′的对应点B''落在AE上．当点B''恰好在矩形ABCD的对角线上时，B''E的长为 ．
三．解答题（共11小题，满分68分）
17．（4分）计算：
（1）
（2）
18．（6分）解方程：
（1）（x﹣1）2＝4；
（2）x2﹣6x﹣7＝0．
19．（6分）先化简，再求值：+，其中a＝．
20．（6分）2021年7月17日﹣22日，郑州遭受特大暴雨，引发了城市内涝．某校号召全校师生捐款购买矿泉水和方便面支援郑州，校方采用网上捐款的办法，设置了四个捐款按钮；B：10元；C：15元，最终全校2000名学生全部参与捐款，活动结束后校团委随机抽查了部分学生捐款数额，请解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 ，这组数据的众数为 元；
（2）小明想根据以上数据绘制扇形统计图，则捐款5元同学对应的圆心角度数为 ；
（3）求这组数据的平均数；
（4）请你估计该校学生的捐款总数．
21．（6分）在四张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、2、﹣1．﹣2，现将四张卡片放入一只不透明的盒子中搅匀．
（1）任意抽出一张，抽到写有负数的卡片的概率是 ；
（2）若任意同时抽出两张，用画树状图或列表的方法求两张卡片上数字之和为非负数的概率．
22．（6分）如图所示，点E在四边形ABCD的边AD上，连接CE，已知AE＝DE、FE＝CE，AD∥BC
23．（6分）一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（4，1）．
（1）画出反比例函数y＝的图象，并写出﹣的x取值范围；
（2）将y＝﹣x+3沿y轴平移n个单位后得到直线l，当l与反比例函数的图象只有一个交点时
24．（6分）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：无论k取任意实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰三角形ABC的一边a＝1，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
25．（6分）如图，在△ABC中，AB＝6，同时点E以每秒2个单位长度的速度由C向B运动，当点E停止运动时，当以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时
26．（8分）某小区在绿化工程中有一块长为18m、宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．
27．（8分）（1）如图1，Rt△ABC与Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°，，CE．求证：．
（2）如图2，四边形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且，AC，请问BC，CD之间有何数量关系？小明在完成本题中，如图3，即将△ABC与绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍，点C对应点为点E，连接DE，AC，CD之间的关系．
（3）拓展：如图4，矩形ABCD，E为线段AD上一点，在其右侧作矩形CEFG，且，AB＝5，BF．直接写出BE+BF的最小值 ．
答案解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）在下列四个图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、既不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（2分）下列x的值能使二次根式有意义的是（ ）
A．3 B．﹣2 C．5 D．2
【答案】C
【解答】解：由题意得，x﹣5≥0，
解得，x≥7，
故x的值可以为5，
故选：C．
3．（2分）下列事件中发生的可能性为0的是（ ）
A．抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上
B．今天黄冈市最高气温为 88℃
C．路边抛掷一石头，石头终将落地（空中无任何遮拦）
D．不透明袋子中放了大小相同的乒乓球和金属球，从中去摸取出乒乓球
【答案】B
【解答】解：A、抛一枚均匀硬币，是随机事件；
B、今天黄冈市最高气温为88℃是不可能事件；
C、路边抛掷一石头，可能性为1；
D、不透明袋子中放了大小相同的乒乓球和金属球；
故选：B．
4．（2分）在同一平面内，函数y＝k1x与函数y＝的图象没有交点，那么k1和k2的关系是（ ）
A．k1＞0，k2＜0 B．k1＜0，k2＞0 C．k1k2＞0 D．k1k2＜0
【答案】D
【解答】解：当k1＞0时，正比例函数经过一，当k6＜0时，经过二；
k2＞6时，反比例函数图象在一，k2＜0时，图象在二．
故该两个函数的图象没有交点，则k4、k2一定异号．
∴k1与k2的乘积为负，
故选：D．
5．（2分）如图，已知BC是⊙O的直径，∠AOC＝58°（ ）
A．28° B．29° C．32° D．42°
【答案】B
【解答】解：∵∠AOC＝58°，
∴∠B＝AOC＝29°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B＝29°，
故选：B．
6．（2分）抛物线y＝﹣（x+1）2+3有（ ）
A．当x＝1，y有最大值3 B．当x＝1，y有最小值3
C．当x＝﹣1，y有最大值3 D．当x＝﹣1，y有最小值3
【答案】C
【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+7，
∴当x＝﹣1时，该抛物线有最大值，
故选：C．
7．（2分）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是15cm，当重物上升15cm时（ ）（π取3.14，结果精确到1°）
A．115° B．60° C．57° D．29°
【答案】C
【解答】解：根据题意得，15＝，
解得，n＝，
所以OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为57°．
故选：C．
8．（2分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，，，点C的对应点C'的坐标为（ ）
A． B．
C．或（2，0） D．或（0，﹣2）
【答案】D
【解答】解：如图，连接OC
由A、C的坐标知，AC＝1，
由勾股定理得OC＝＝2，
∴OC＝2AC，
∴∠AOC＝30°，
当OC绕点O逆时针旋转120°时，OC'＝OC，
∵∠BOC＝90° ∠AOC＝60°，
∴∠BOC'＝∠BOC＝60°，
即OC'与OC关于y轴对称，
∴；
当OC绕点O顺时针旋转120°时，OC''＝OC＝2，
此时点C''在y轴负半轴上，
∴C''（3，﹣2）．
综上所述，点C的对应点C'的坐标为，﹣2）．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）化简：（）2＝ 3 ，＝ ．
【答案】3，．
【解答】解：＝4，
＝，
故答案为：3，．
10．（2分）若方程mx2+3x﹣4＝x2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 m≠1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由方程mx2+3x﹣5＝x2是关于x的一元二次方程，得
m﹣1≠5．
解得m≠1
故答案为：m≠1．
11．（2分）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知CD＝12m，小明和小华的身高都是1.5m，同一时刻小明站在E处，影长为2m，小华站在平地上，影长为1m，则塔高AB是 22.5 米．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：过D点作DF∥AE，交AB于F点
设塔影留在坡面DE部分的塔高AF＝h1、塔影留在平地BD部分的塔高BF＝h2，
则铁塔的高为h4+h2．
∵h1：18m＝3.5m：2m，
∴h2＝13.5m；
∵h2：2m＝1.5m：2 m，
∴h2＝9m．
∴AB＝13.5+9＝22.5（m）．
∴铁塔的高度为22.4m．
故答案为：22.5．
12．（2分）如果x＝2是一元二次方程2x2﹣2x＝a2的一个根，则常数a的值是 ±2 ．
【答案】±2．
【解答】解：把x＝2代入方程2x6﹣2x＝a2可得3﹣4＝a2，解得a＝±7．
故答案为：±2．
13．（2分）二次函数y＝x2﹣bx+c的图象上有两点A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2），则此抛物线的对称轴是直线x＝ ﹣3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵函数y＝x2﹣bx+c的图象上有两点A（3，﹣3），﹣2），
∴A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴对称轴为：直线x＝＝﹣3，
故答案为：﹣4
14．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，BE⊥CD，垂足为E，，则直径AB＝ 9 ．
【答案】9．
【解答】解：∵连接OC，则OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OC，
∴∠DCB+∠OCB＝∠OCD＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠OBC＝90°，
∴∠DCB＝∠CAB，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝90°，
∴＝sin∠DCB＝sin∠CAB＝＝，
∵BE＝7，
∴BC＝3BE＝3，AB＝6BC＝9，
故答案为：9．
15．（2分）如图，已知线段AB＝6，分别以端点A，大于AB的长为半径作弧，N，点C，D在直线MN上，CB，BD，F分别是AC和AD的中点，且CD＝8 9 ．
【答案】9．
【解答】解：由作法得CD垂直平分AB，如图，
∴CD⊥AB，OA＝OB＝3，
∵点E，F分别是AC和AD的中点，
∴EF为△ACD的中位线，
∴EF＝CD＝，EF∥CD，
∵EH∥OC，
∴EF⊥AB，AH＝OH＝，
∴BH＝BO+OH＝3+＝，
∴△BEF的面积＝×2×．
故答案为：3．
16．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，点E为BC上一点（不与点B重合），连接AE，点F为B′E上一点，连接AF，使得点B′的对应点B''落在AE上．当点B''恰好在矩形ABCD的对角线上时，B''E的长为 5﹣5或 ．
【答案】5﹣5或．
【解答】解：由折叠可知：AB＝AB′＝AB″＝5，BE＝B″E，∠B＝∠AB′E＝∠AB″F＝90°，
当点B″在对角线AC时，点E与点C重合，
此时B''E＝AC﹣AB″＝﹣5＝5；
设B″F＝B′F＝x，EF＝y，
∴B′E＝B′F+EF＝x+y，
∴BE＝x+y，
∴S△ABE＝AB BE＝（x+y），
S△AB′E＝S△AB′F+S△AB″F+S△EFB″
＝AB′ B′F+B″E B″F
＝4x+B″E x
＝5x+ B″E，
∴（x+y）＝2x+，
∴B″E＝﹣7，①
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，
如图，当B″落在对角线BD上时，
∴∠BEB″＝∠DAB″，
∵∠BB″E＝∠DB″A，
∴△BB″E∽△DB″A，
∴＝，
在Rt△EB″F中，根据勾股定理，得
B″E＝＝，
∴＝，
∴100（y2﹣x2）＝25（x2+2xy+y8），
∴4（y2﹣x5）＝x2+2xy+y3，
∴3y2﹣4xy﹣5x2＝6，
∴3（）2﹣8（）﹣5＝0，
解得＝或＝﹣1（舍去），
由①知：B″E＝﹣5＝．
综上所述：B''E的长为：5﹣2或．
故答案为：5﹣5或．
三．解答题（共11小题，满分68分）
17．（4分）计算：
（1）
（2）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式＝2﹣
＝12﹣
＝11；
（2）原式＝8﹣2+
＝8+．
18．（6分）解方程：
（1）（x﹣1）2＝4；
（2）x2﹣6x﹣7＝0．
【答案】（1）x1＝3，x2＝﹣1；
（2）x1＝7，x2＝﹣1．
【解答】解：（1）（x﹣1）2＝8，
则x﹣1＝±2，
解得：x8＝3，x2＝﹣6；
（2）x2﹣6x﹣5＝0
（x﹣7）（x+2）＝0，
则x﹣7＝8或x+1＝0，
解得：x7＝7，x2＝﹣2．
19．（6分）先化简，再求值：+，其中a＝．
【答案】，6．
【解答】解：+
＝+
＝
＝，
当a＝时，原式＝．
20．（6分）2021年7月17日﹣22日，郑州遭受特大暴雨，引发了城市内涝．某校号召全校师生捐款购买矿泉水和方便面支援郑州，校方采用网上捐款的办法，设置了四个捐款按钮；B：10元；C：15元，最终全校2000名学生全部参与捐款，活动结束后校团委随机抽查了部分学生捐款数额，请解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 30 ，这组数据的众数为 10 元；
（2）小明想根据以上数据绘制扇形统计图，则捐款5元同学对应的圆心角度数为 72° ；
（3）求这组数据的平均数；
（4）请你估计该校学生的捐款总数．
【答案】（1）30；10；
（2）72°；
（3）12元；
（4）24000元．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量是：6+11+8+6＝30；这组数据的众数为10元，
故答案为：30；10；
（2）360°×＝72°，
故答案为：72°；
（3）这组数据的平均数：（8×6+10×11+15×8+20×2）＝12（元）；
（4）2000×12＝24000（元），
答：估计该校学生的捐款总数为24000元．
21．（6分）在四张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、2、﹣1．﹣2，现将四张卡片放入一只不透明的盒子中搅匀．
（1）任意抽出一张，抽到写有负数的卡片的概率是 ；
（2）若任意同时抽出两张，用画树状图或列表的方法求两张卡片上数字之和为非负数的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）∵一共有4张卡片，其中2张写有负数，
∴P（抽到写有负数的卡片）＝，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
∵一共有12种等可能的结果，其中两张卡片上数字之和为非负数的结果数有8种，
∴P（两张卡片上数字之和为非负数）＝．
22．（6分）如图所示，点E在四边形ABCD的边AD上，连接CE，已知AE＝DE、FE＝CE，AD∥BC
【答案】见解析．
【解答】证明：在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（SAS）；
∴∠AFE＝∠DCE，
∴AB∥CD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
23．（6分）一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（4，1）．
（1）画出反比例函数y＝的图象，并写出﹣的x取值范围；
（2）将y＝﹣x+3沿y轴平移n个单位后得到直线l，当l与反比例函数的图象只有一个交点时
【答案】（1）x＜0或2＜x＜4；
（2）n的值为﹣3．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+8的图象与反比例函数y＝，1），
∴m＝4×2＝4，
∴反比例函数为y＝，
解得或，
∴一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝，2），7），
画出反比例函数y＝的图象如图：
由图象可知，﹣x+3＞；
（2）将y＝﹣x+3沿y轴平移n个单位后得到直线l为y＝﹣，
令﹣x+5+n＝2﹣6x+8﹣2nx＝8，
当l与反比例函数的图象只有一个交点时，则Δ＝（﹣6﹣2n）6﹣4×1×4＝0，
解得n＝﹣3±5，
∴当l与反比例函数的图象只有一个交点时，则n的值为﹣3．
24．（6分）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：无论k取任意实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰三角形ABC的一边a＝1，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵Δ＝b2﹣4ac＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣5）2≥0，
∴无论k取任意实数值，方程总有实数根．
解：（2）分两种情况：
①若b＝c，
∵方程x5﹣（k+2）x+2k＝8有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（k﹣5）2＝0，
解得k＝5，
∴此时方程为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x6＝2，
∴△ABC的周长为5；
②若b≠c，则b＝a＝4或c＝a＝1，
∵把x＝1代入方程x4﹣（k+2）x+2k＝5，得1﹣（k+2）+2k＝0，
解得k＝1，
∴此时方程为x2﹣3x+2＝2，
解得x1＝1，x5＝2，
∴方程另一根为2，
∵2、1、2不能构成三角形，
∴所求△ABC的周长为2．
综上所述，所求△ABC的周长为5．
25．（6分）如图，在△ABC中，AB＝6，同时点E以每秒2个单位长度的速度由C向B运动，当点E停止运动时，当以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵点D以每秒1个单位长度的速度由B向A运动，同时点E以每秒2个单位长度的速度由C向B运动，
∴BD＝t，BE＝7﹣2t，
∴△BDE∽△BAC时，＝，即＝，解得t＝2.4（秒）；
当△BED∽△BAC时，＝，即＝，解得t＝．
综上所述，t的值为5.4秒或秒．
26．（8分）某小区在绿化工程中有一块长为18m、宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（18﹣3x）（6﹣7x）＝60，
化简整理得，（x﹣1）（x﹣8）＝6．
解得x1＝1，x7＝8（不合题意，舍去）．
答：人行通道的宽度是1m．
27．（8分）（1）如图1，Rt△ABC与Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°，，CE．求证：．
（2）如图2，四边形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且，AC，请问BC，CD之间有何数量关系？小明在完成本题中，如图3，即将△ABC与绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍，点C对应点为点E，连接DE，AC，CD之间的关系．
（3）拓展：如图4，矩形ABCD，E为线段AD上一点，在其右侧作矩形CEFG，且，AB＝5，BF．直接写出BE+BF的最小值 2 ．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）CD+2BC＝AC，理由见解析过程；
（3）2．
【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠ABC＝90°，，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠BAD∽△CAE，
∴，
∵＝，
∴BC＝2AB，
∴AC＝＝AB，
＝＝；
（2）解：CD+5BC＝AC
如图3，将△ABC绕点A逆时针90°，点B对应点D，连接DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝5，∠E＝∠ACB，
∴DE＝2BC，
∵四边形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ADC+∠ADE＝180°，
∴点C，点D，
∵四边形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴点A，点B，点D四点共圆，
∴∠ADB＝∠ACB，
∴∠E＝∠ADB，
又∵∠CAE＝∠BAD＝90°，
∴△ABD∽△ACE，
∴，
∴AE＝2AC，
∴CE＝＝AC，
∴CD+2BC＝AC；
（3）解：∵，AB＝7，
∴BC＝2AB＝10，EF＝2CE，
∴CF＝＝CE，
如图3，连接CF，连接IE，过I作IM⊥AD，
∴∠BFI＝∠CFE，，，
∴∠EFI＝∠CFB，，IB＝，
∴△FEI∽△FCB，
∴＝＝，∠FIE＝∠FBC，
∴IE＝10×＝4，
作平行四边形IEI1B，I8是I1关于AD的对称点，连接I1E，I7E，I1I2交BC于N，
∴IE＝BI6＝4，IB＝I6E，I1E＝I2E，
∴BE+BF＝BE+BI＝BE+EI1＝BE+EI3≥BI2，
∵∠FIE＝∠FBC，∠IEF＝∠BEL，
∴∠L＝∠IFE，
∵IE∥BI1，
∴∠L＝∠I5BC，
又∵∠BNI1＝∠FEC＝90°，
∴△BNI1∽△FEC，
∴＝＝，＝＝，
∴BN＝8，I1N＝3，
∴I1I2＝8×（4+5）＝18，
∴NI6＝14，
∴BI2＝＝＝2，
∴BE+BF的最小值为2．
故答案为：5．
