人教版数学 九上 第22章 二次函数 单元能力测试卷
选择题（共30分）
1.下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C．y＝x2+2x﹣1 D．y＝x﹣2
2.若抛物线的顶点在y轴上，则a的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣2
3.设A，B，C是抛物线上的三点，
则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4.如图，已知二次函数与一次函数的图像相交于点，
则关于x的方程的解是（ ）
， B．，
C．， D．，
5.如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC＝2．则这条抛物线的解析式是（ ）
A．y＝x2﹣x﹣2 B．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2
C．y＝﹣x2+x+2 D．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+2
6.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论错误的是（ ）
abc＞0 B．b2＞4ac C．4a+2b+c＞0 D．2a+b＝0
7.如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为12m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为12m2；小亮认为：隔离区的面积可能为9m2．则：（ ）
A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确
C．两人均正确 D．两人均错误
8.二次函数y＝x2＋bx的对称轴为x＝1，若关于x的一元二次方程x2＋bx－t＝0 (t为实数)在一1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是( )
A. t＜8 B.t＜3 C.－1≤t＜8 D. —1≤t＜3
9.在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，
发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为（ ）
A．14米 B．12米 C．11米 D．10米
10.如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：
①b＝2a；
②c﹣a＝n；
③抛物线另一个交点（m，0）在﹣2到﹣1之间；
④当x＜0时，ax2+（b+2）x＜0；
⑤一元二次方程ax2+（b）x+c＝0有两个不相等的实数根
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
填空题（共24分）
11.若拋物线y＝x2－6x＋c的顶点与原点的距离为5，则c的值为
12.如图，抛物线与直线交于两点，
则不等式的解集____________
13.已知二次函数图象的顶点坐标是（2，﹣1），形状与抛物线y＝2x2相同且开口方向向下，则这个二次函数的解析式是 ．
14.如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）
具有函数关系为，则小球从飞出到落地的所用时间为_______
15.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，所有围栏的总长（不含门）为26m，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为 m．
当x≤3时，函数y＝x2－2x－3的图象记为G，将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象G的其余部分保持不变，得到一个新图象M，若直线y＝x＋b与图象M有且只有两个公共点，则b的取值范围是 ．
解答题（共66分）
17.（6分）抛物线的顶点坐标为（4,-1），与y轴交于点（0,3），求这条抛物线的表达式.
18.（8分）如图，抛物线的图像与轴交于、两点，与轴交于点，已知点坐标为．
(1)求该抛物线相应的函数表达式；
(2)判断的形状，并说明理由．
19.（8分）已知二次函数．
(1)二次函数图象的对称轴是______；
(2)当时，的最大值与最小值的差为，求该二次函数的表达式；
(3)对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，请结合函数图象，直接写出的取值范围．
（10分）商场销售服装，平均每天可售出件，每件盈利元，为扩大销售量，减少库存，该商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，一件衣服降价元，每天可多售出件．
设每件降价元，每天盈利元，请写出与之间的函数关系式；
若商场每天要盈利元，同时尽量减少库存，每件应降价多少元？
每件降价多少元时，商场每天盈利达到最大？最大盈利是多少元？
21.（10分）当x＝1时，二次函数y＝ax2+bx+c取得最小值为﹣3，且函数图象与y轴交于点C（0，1）
（1）求此函数解析式；
（2）若A（m，y1），B（m+2，y2）两点都在函数图象上，且y1＜y2，直接写出m的取值范围 ．
22.（12分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（3，1），点B（0，4）．
（1）求该二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）点C（m，n）在该二次函数图象上．
①当m＝﹣1时，求n的值；
②当m≤x≤3时，n最大值为5，最小值为1，请根据图象直接写出m的取值范围．
23.（12分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
人教版数学 九上 第22章 二次函数 单元能力测试卷（答案版）
一、选择题（共30分）
1.下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C．y＝x2+2x﹣1 D．y＝x﹣2
【答案】D
【解析】A．函数的右边是分式，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．函数是反比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．函数是二次函数，故本选项符合题意；
D．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选D．
2.若抛物线的顶点在y轴上，则a的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣2
【答案】C
3.设A，B，C是抛物线上的三点，
则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
4.如图，已知二次函数与一次函数的图像相交于点，
则关于x的方程的解是（ ）
， B．，
C．， D．，
【答案】D
5.如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC＝2．则这条抛物线的解析式是（ ）
A．y＝x2﹣x﹣2 B．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2
C．y＝﹣x2+x+2 D．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+2
【答案】D
【解析】设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x+1），
∵OC＝2，
∴C点坐标为（0，2）或（0，﹣2），
把C（0，2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a （﹣2） 1＝2，解得a＝﹣1，此时抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）（x+1），即y＝﹣x2+x+2；
把C（0，﹣2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a （﹣2） 1＝﹣2，解得a＝1，此时抛物线解析式为y＝（x﹣2）（x+1），即y＝x2﹣x﹣2．
即抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2．
6.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论错误的是（ ）
abc＞0 B．b2＞4ac C．4a+2b+c＞0 D．2a+b＝0
解：由图象可得，抛物线开口向上，故a＞0，
由于抛物线与y轴交点坐标为（0，c），
由图象可得，c＜0，
对称轴为x＝，
∴，
∴b＝﹣2a，
∵a＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，
故A选项正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，
故B选项正确；
由图象可得，当x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故C选项错误；
∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴，
∴2a+b＝0，
故D选项正确，
故选：C．
7.如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为12m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为12m2；小亮认为：隔离区的面积可能为9m2．则：（ ）
A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确
C．两人均正确 D．两人均错误
【解答】解：设平行于墙的长度为xm（0＜x≤5），隔离区的面积为Sm2，由题意得：
S＝×x
＝﹣x2+4x，
∴对称轴为x＝﹣＝6，
∵0＜x≤5，抛物线开口向下，在对称轴左侧，S随x的增大而增大，
∴当x＝5时，S有最大值：
Smax＝﹣×52+4×5
＝﹣+20
＝．
∵9＜＜12，
∴小明错误；
令S＝9得：9＝﹣x2+4x，
解得：x1＝9（舍），x2＝3，
∴
x＝3时，S＝9．
∴隔离区的面积可能为9m2．
故选：B．
8.二次函数y＝x2＋bx的对称轴为x＝1，若关于x的一元二次方程x2＋bx－t＝0 (t为实数)在一1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是( )
A. t＜8 B.t＜3 C.－1≤t＜8 D. —1≤t＜3
答案C
9.在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，
发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为（ ）
A．14米 B．12米 C．11米 D．10米
【答案】B
10.如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：
①b＝2a；
②c﹣a＝n；
③抛物线另一个交点（m，0）在﹣2到﹣1之间；
④当x＜0时，ax2+（b+2）x＜0；
⑤一元二次方程ax2+（b）x+c＝0有两个不相等的实数根
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】①因为抛物线的对称轴为x＝1，即1，所以b＝﹣2a，所以①错误；
②当x＝1时，y＝n，a+b+c＝n，因为b＝﹣2a，所以﹣a+c＝n，所以②正确；
③因为抛物线的顶点坐标为（1，n），即对称轴为x＝1，
且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，
所以抛物线另一个交点（m，0）在﹣2到﹣1之间；所以③正确；
④因为ax2+（b+2）x＜0，即ax2+bx＜﹣2x
根据图象可知：把抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象向下平移c个单位后图象过原点，
即可得抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的图象，
所以当x＜0时，ax2+bx＜﹣2x，即ax2+（b+2）x＜0．所以④正确；
⑤一元二次方程ax2+（b）x+c＝0
△＝（b）2﹣4ac
因为根据图象可知：a＜0，c＞0，所以﹣4ac＞0，所以△＝（b）2﹣4ac＞0
所以一元二次方程ax2+（b）x+c＝0有两个不相等的实数根．所以⑤正确．
故选D．
二、填空题（共24分）
11.若拋物线y＝x2－6x＋c的顶点与原点的距离为5，则c的值为
答案 5或13 .
12.如图，抛物线与直线交于两点，
则不等式的解集____________
【答案】
13.已知二次函数图象的顶点坐标是（2，﹣1），形状与抛物线y＝2x2相同且开口方向向下，则这个二次函数的解析式是 ．
【答案】y＝﹣2（x﹣2）2﹣1
【解析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，且该抛物线的形状形状与抛物线y＝2x2相同且开口方向向下，
∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣2）2﹣1，
故答案为：y＝﹣2（x﹣2）2﹣1．
14.如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）
具有函数关系为，则小球从飞出到落地的所用时间为_______
【答案】
15.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，所有围栏的总长（不含门）为26m，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为
m．
【答案】14
【解析】设平行于墙的材料长为x米，
则垂直于墙的材料长为（28﹣x），
总面积Sx（28﹣x）
（x2﹣28x）
（x﹣14）2，
∴当x＝14时，建成的饲养室面积最大．
故答案为：14．
16.当x≤3时，函数y＝x2－2x－3的图象记为G，将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象G的其余部分保持不变，得到一个新图象M，若直线y＝x＋b与图象M有且只有两个公共点，则b的取值范围是 ．
解：∵y＝x2－2x－3，当y＝0，则0＝x2－2x－3，
解得：x1＝－1，x2＝3，
当直线y＝x＋b过（－1，0）时，b＝1，
当直线y＝x＋b过（3，0）时，b＝－3，
故当－3＜b＜1时，直线y＝x＋b与图象M有且只有两个公共点，
当直线y＝x＋b与抛物线y＝x2－2x－3有一个交点，
则x2－3x－3－b＝0有两个相等的实数根，
故△＝b2－4ac＝21＋4b＝0，
解得：b＝，
综上所述：直线y＝x＋b与图象M有且只有两个公共点，则b的取值范是：－3＜b＜1或b＝.
三、解答题（共66分）
17.（6分）抛物线的顶点坐标为（4,-1），与y轴交于点（0,3），求这条抛物线的表达式.
解：依题意得顶点坐标为（4,-1），
设二次函数的表达式为.
∵抛物线与y轴交于点（0,3），
∴，∴.
∴这个二次函数的表达式为，
即.
18.（8分）如图，抛物线的图像与轴交于、两点，与轴交于点，已知点坐标为．
(1)求该抛物线相应的函数表达式；
(2)判断的形状，并说明理由．
解：（1）∵点在抛物线的图像上，
∴，
解得：，
∴抛物线相应的函数表达式为：．
（2）是直角三角形，理由如下：
当时，，
∴，
∴，
当时，，
解得：，，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
，
∵，，
∴，
∴是直角三角形．
19.（8分）已知二次函数．
(1)二次函数图象的对称轴是______；
(2)当时，的最大值与最小值的差为，求该二次函数的表达式；
(3)对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，请结合函数图象，直接写出的取值范围．
【解析】（1）∵x1，
∴二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1；
（2）y＝ax2+2ax﹣2＝a（x+1）2﹣a﹣2，
∵a＞0，
∴当x＝﹣1时，二次函数有最小值为﹣a﹣2，
当﹣2≤x≤1时，x＝1时函数有最大值3a﹣2，
∵当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差为3，
∴3a﹣2﹣（﹣a﹣2）＝3，
∴a．
∴该二次函数的表达式为yx﹣2；
（3）当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥2时，均满足y1≤y2，t的取值范围是：﹣3≤t≤1．理由：
∵二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，
∴当x＝2与x＝﹣4时的函数值相等，
∵a＞0，
∴抛物线的开口方向向上，
∵当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥2时，均满足y1≤y2，
∴，
解得：﹣3≤t≤1．
20.（10分）商场销售服装，平均每天可售出件，每件盈利元，为扩大销售量，减少库存，该商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，一件衣服降价元，每天可多售出件．
设每件降价元，每天盈利元，请写出与之间的函数关系式；
若商场每天要盈利元，同时尽量减少库存，每件应降价多少元？
每件降价多少元时，商场每天盈利达到最大？最大盈利是多少元？
解：
=
所以与之间的函数关系式为；
令，
∴，
整理得，解得（舍去），，
所以商场每天要盈利元，每件衬衫降价元；
(3)
，
∵，
∴当时，有最大值，其最大值为，
所以每件降价元时，商场每天的盈利达到最大，盈利最大是元．
21.（10分）当x＝1时，二次函数y＝ax2+bx+c取得最小值为﹣3，且函数图象与y轴交于点C（0，1）
（1）求此函数解析式；
（2）若A（m，y1），B（m+2，y2）两点都在函数图象上，且y1＜y2，直接写出m的取值范围 ．
【解析】（1）∵x＝1时，二次函数y＝ax2+bx+c取得最小值为﹣3，
∴抛物线开口向上，顶点为（1，﹣3），
设函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，代入点C（0，1）得，1＝a﹣3，
解得a＝4，
∴此函数解析式为y＝4（x﹣1）2﹣3；
（2）∵A（m，y1），B（m+2，y2）两点都在函数y＝4（x﹣1）2﹣3的图象上，
∴y1＝4（m﹣1）2﹣3；，y2＝4（m+1）2﹣3，
∵y1＜y2，
∴y2﹣y1＝[4（m+1）2﹣3]﹣[4（m﹣1）2﹣3]＝16m＞0，
∴m＞0，
∴m＞0时，y1＜y2，
故答案为m＞0．
22.（12分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（3，1），点B（0，4）．
（1）求该二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）点C（m，n）在该二次函数图象上．
①当m＝﹣1时，求n的值；
②当m≤x≤3时，n最大值为5，最小值为1，请根据图象直接写出m的取值范围．
【解析】（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（3，1），点B（0，4）．
∴，解得，
∴该二次函数为y＝﹣x2+2x+4，
∵y＝﹣（x﹣1）2+5，
∴顶点为（1，5）；
（2）∵点C（m，n）在该二次函数图象上，
①当m＝﹣1时，则C（﹣1，n），
把C（﹣1，n）代入y＝﹣x2+2x+4得，n＝1；
②当m≤x≤3时，n最大值为5，最小值为1，
∵抛物线的顶点为（1，5），
把y＝1代入y＝﹣x2+2x+4得1＝﹣x2+2x+4，解得x1＝3，x2＝﹣1，
∴m的取值范围是﹣1≤m≤1．
23.（12分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解:（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax2＋bx＋c，
∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）．
又∵C(0，3) 经过抛物线，
∴代入，得3＝a（0＋1）（0－3），
即a=-1．
∴抛物线的解析式为y＝-（x+1）（x-3），
即y＝-x2+2x+3．
连接BC，直线BC与直线l的交点为P．
则此时的点P，使△PAC的周长最小．
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
将B(3，0)，C(0，3)代入，得：
，解得：．
∴直线BC的函数关系式y＝－x＋3．
当x－1时，y＝2，即P的坐标(1，2)．
（3）存在．点M的坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)．
∵抛物线的对称轴为： x=1，
∴设M(1，m)．
∵A(－1，0)、C(0，3)，
∴MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10．
若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：
m2＋4＝m2－6m＋10，得：m＝1．
②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：
m2＋4＝10，得：m＝±．
③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：
m2－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6，
当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．
综上可知，符合条件的M点，且坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)
