2023-2024学年湖南重点大学附中八年级上学期开学
数学练习（一）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在实数﹣，0，，中，是无理数的是（ ）
A．﹣ B．0 C． D．
2．（3分）16的算术平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
3．（3分）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．对重庆市居民日平均睡眠时间的调查
B．对即将在夏季投入市场的某批次空调质量情况的调查
C．对2018年俄罗斯足球世界杯参赛队员是否使用兴奋剂的调查
D．对重庆市主城区内空气质量情况的调查
4．（3分）若m＞n，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．m+3＞n+3 B．﹣3m＜﹣3n C． D．ma2＞na2
5．（3分）如图，若将棋盘上棋子“车”的位置记为（﹣2，3），棋子“马”的位置记为（1，3）（ ）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（﹣2，2）
6．（3分）下列命题不成立的是（ ）
A．等角的补角相等
B．两直线平行，内错角相等
C．同位角相等
D．对顶角相等
7．（3分）等腰三角形的一边为4，一边为3，则此三角形的周长是（ ）
A．10cm B．11cm C．6cm或8cm D．10cm或11cm
8．（3分）在下列四个图形中，∠1＞∠2一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）买苹果和梨共100千克，其中苹果的质量比梨的质量的2倍少8千克，求苹果和梨各买了多少．若设买苹果x千克，则列出的方程组应是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（0，3），C（0，﹣1），则△ABC的面积为（ ）
A．4 B．6 C．4.5 D．5
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如果点A（x，y）在第三象限，则点B（﹣x，y﹣1）在 象限；若点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上 ．
12．（3分）的整数部分是 ．
13．（3分）如果一个多边形的内角和是1440°，那么这个多边形是 边形．
14．（3分）乐乐同学用一张长方形纸片折纸飞机，折叠过程如图1所示，最后折成的纸飞机如图2所示 ．
15．（3分）我县抽考年级有1万多名学生参加考试，为了了解这些学生的抽考学科成绩，便于质量分析，下列说法：
①这1万多名学生的抽考成绩的全体是总体；
②每个学生是个体；
③200名考生是总体的一个样本；
④样本容量是200．
你认为说法正确的有 个．
16．（3分）不等式组的最大整数解是 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）对于任意实数a，b，定义关于“ ”的一种运算如下：a b＝2a+b．例如3 4＝2×3+4＝10．
（1）求3 （﹣6）的值；
（2）若x （﹣y）＝2018，且2y x＝﹣2019
18．（6分）解不等式组：并把解集表示在数轴上．
19．（6分）完成下面的推理填空．
如图，E、F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，AF⊥CE于G，求证：AB∥CD．证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠CGF＝90° （ ）．
∵∠1＝∠D（已知），
∴ ∥ （ ）．
∴∠4＝∠CGF＝90° ．
又∵∠2+∠C＝90°（已知），
∠2+∠3+∠4＝180° （ ），
∴∠2+∠C＝∠2+∠3＝90°．
∴∠C＝ ．
∴AB∥CD （ ）．
20．（8分）如图，每个小正方形的边长为1．
（1）画出三角形ABC先向右平移4格，再向下平移1格后得到的三角形A'B'C'；
（2）求三角形ABC的面积．
21．（8分）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已经成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（每人只选一类）
根据图中信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校共有学生2700人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数．
22．（9分）如图，点E，F分别在AB，AF⊥CE，垂足为点O．已知∠1＝∠B
（1）求证：AB∥CD；
（2）若AF＝12，BF＝5，AB＝13
23．（9分）某校九年级12个班师生举行毕业文艺汇演，每班2个节目，有歌唱与舞蹈两类节目
（1）九年级师生表演的歌唱与舞蹈类节目数各有多少个？
（2）该校七、八年级师生有小品节目参与，在歌唱、舞蹈、小品三类节目中，每个节目的演出平均用时分别是5分钟、6分钟、8分钟，22：00之前演出结束，问参与的小品类节目最多能有多少个？
24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点M（x1，y1），N（x2，y2），定义k|x1﹣x2|+（1﹣k）|y1﹣y2|为点M和点N的“k阶距离”，其中0≤k≤1．例如：点M（1，3），N（﹣2，4）的阶距离”为（﹣1，2）．
（1）若点B（0，4），求点A和点B的“阶距离”；
（2）若点B在x轴上，且点A和点B的“阶距离”为4；
（3）若点B（a，b），且点A和点B的“阶距离”为1
25．（10分）如图，A在x轴负半轴上，点B的坐标为（0，﹣4）（﹣6，4）在射线BA上．
（1）求证：点A为BE的中点．
（2）在y轴正半轴上有一点F，使∠FEA＝45°，求点F的坐标．
（3）如图，点M，N分别在x轴正半轴、y轴正半轴上，点I为△MON的内角平分线的交点，AI，Q两点，IH⊥ON于点H△POQ，求证：C△POQ＝2HI．
答案解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在实数﹣，0，，中，是无理数的是（ ）
A．﹣ B．0 C． D．
【答案】A
【解答】解：在实数﹣，2，，中，是无理数的是﹣，
故选：A．
2．（3分）16的算术平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【答案】C
【解答】解：＝4，
故选：C．
3．（3分）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．对重庆市居民日平均睡眠时间的调查
B．对即将在夏季投入市场的某批次空调质量情况的调查
C．对2018年俄罗斯足球世界杯参赛队员是否使用兴奋剂的调查
D．对重庆市主城区内空气质量情况的调查
【答案】C
【解答】解：A、对重庆市居民日平均睡眠时间的调查适合抽样调查；
B、对即将在夏季投入市场的某批次空调质量情况的调查适合抽样调查；
C、对2018年俄罗斯足球世界杯参赛队员是否使用兴奋剂的调查适合全面调查；
D、对重庆市主城区内空气质量情况的调查适合抽样调查；
故选：C．
4．（3分）若m＞n，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．m+3＞n+3 B．﹣3m＜﹣3n C． D．ma2＞na2
【答案】D
【解答】解：A、∵m＞n，
∴m+3＞n+3，
故A不符合题意；
B、∵m＞n，
∴﹣6m＜﹣3n，
故B不符合题意；
C、∵m＞n，
∴，
故C不符合题意；
D、∵当a＝0时，
∴ma2＝na6，
故D符合题意；
故选：D．
5．（3分）如图，若将棋盘上棋子“车”的位置记为（﹣2，3），棋子“马”的位置记为（1，3）（ ）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（﹣2，2）
【答案】A
【解答】解：由题意可建立如图所示坐标系：
则棋子“炮”的位置应记为（3，2），
故选：A．
6．（3分）下列命题不成立的是（ ）
A．等角的补角相等
B．两直线平行，内错角相等
C．同位角相等
D．对顶角相等
【答案】C
【解答】解：A、等角的补角相等．
B、两直线平行，正确．
C、同位角相等．应该是两直线平行．
D、对顶角相等．
故选：C．
7．（3分）等腰三角形的一边为4，一边为3，则此三角形的周长是（ ）
A．10cm B．11cm C．6cm或8cm D．10cm或11cm
【答案】D
【解答】解：若4是底边，则三角形的三边分别为4、3、3，
能组成三角形，周长＝4+8+3＝10，
若4是腰长，则三角形的三边分别为4、4、3，
能组成三角形，周长＝7+4+3＝11，
综上所述，此三角形的周长是10或11．
故选：D．
8．（3分）在下列四个图形中，∠1＞∠2一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、∠1与∠2是对顶角，本选项不符合题意；
B、如果两直线平行，本选项不符合题意；
C、∵∠6是三角形的一个外角，
∴∠2＞∠1，D、∠3与∠2不一定相等；
D、∵∠1＝90°，
∴∠3＞∠2，本选项；
故选：D．
9．（3分）买苹果和梨共100千克，其中苹果的质量比梨的质量的2倍少8千克，求苹果和梨各买了多少．若设买苹果x千克，则列出的方程组应是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意可得：，
故选：D．
10．（3分）如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（0，3），C（0，﹣1），则△ABC的面积为（ ）
A．4 B．6 C．4.5 D．5
【答案】B
【解答】解：∵A（﹣3，2），3），﹣1），
∴BC＝3﹣（﹣3）＝4，
∴S△ABC＝×BC×|xA|＝×8×3＝6，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如果点A（x，y）在第三象限，则点B（﹣x，y﹣1）在 四 象限；若点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上 （2，0） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由点A（x，y）在第三象限，得
x＜0，y＜0．
﹣x＞6，y﹣1＜﹣1，
则点B（﹣x，y﹣3）在 四象限；
若点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，得
m+6＝0．解得m＝﹣1，
m+8＝2，
则点P坐标为 （2，4）；
故答案为：四，（2．
12．（3分）的整数部分是 9 ．
【答案】9．
【解答】解：∵＜＜，
即：9＜＜10，
∴的整数部分是9，
故答案为：8．
13．（3分）如果一个多边形的内角和是1440°，那么这个多边形是 十 边形．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设它的边数为n，根据题意，得
（n﹣2） 180°＝1440°，
所以n＝10．
所以这是一个十边形．
14．（3分）乐乐同学用一张长方形纸片折纸飞机，折叠过程如图1所示，最后折成的纸飞机如图2所示 45° ．
【答案】45°
【解答】解：
由轴对称的性质得：∠PCA＝∠MCA，∠PCB＝∠NCB，
∴∠ACP+∠BCP＝（MCP+∠NCP），
∴∠ACB＝∠MCN，
∵∠MCN＝90°，
∴∠ACB＝×90°＝45°，
故答案为：45°．
15．（3分）我县抽考年级有1万多名学生参加考试，为了了解这些学生的抽考学科成绩，便于质量分析，下列说法：
①这1万多名学生的抽考成绩的全体是总体；
②每个学生是个体；
③200名考生是总体的一个样本；
④样本容量是200．
你认为说法正确的有 2 个．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：这1万多名学生的抽考成绩的全体是总体，①正确；
每个学生的抽考成绩是个体，②错误；
200名考生的抽考成绩是总体的一个样本，③错误；
样本容量是200，④正确；
故答案为：2．
16．（3分）不等式组的最大整数解是 ﹣2 ．
【答案】﹣2．
【解答】解：，
由①得：a＜﹣7，
由②得：a＜，
∴不等式组的解集为a＜﹣8，
则不等式组的最大整数解是﹣2．
故答案为：﹣2．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）对于任意实数a，b，定义关于“ ”的一种运算如下：a b＝2a+b．例如3 4＝2×3+4＝10．
（1）求3 （﹣6）的值；
（2）若x （﹣y）＝2018，且2y x＝﹣2019
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝6﹣6＝4；
（2）已知等式利用题中的新定义化简得：
2x﹣y＝2018①，
4y+x＝﹣2019②，
①+②得：2x+3y＝﹣1，
则x+y＝﹣．
18．（6分）解不等式组：并把解集表示在数轴上．
【答案】，解集在数轴上的表示见解答．
【解答】解：解不等式5x﹣1＞8x﹣4，得，
解不等式﹣x≤，得x≤1，
∴原不等式组的解集为．
19．（6分）完成下面的推理填空．
如图，E、F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，AF⊥CE于G，求证：AB∥CD．证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠CGF＝90° （ 垂直的定义 ）．
∵∠1＝∠D（已知），
∴ AF ∥ ED （ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴∠4＝∠CGF＝90° （两直线平行，同位角相等） ．
又∵∠2+∠C＝90°（已知），
∠2+∠3+∠4＝180° （ 平角的定义 ），
∴∠2+∠C＝∠2+∠3＝90°．
∴∠C＝ ∠3 ．
∴AB∥CD （ 内错角相等，两直线平行 ）．
【答案】垂直定义；AF，ED，同位角相等，两直线平行；平角的定义；∠3；内错角相等，两直线平行．
【解答】证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠CGF＝90°（垂直的定义）
∵∠1＝∠D（已知），
∴AF∥ED（同位角相等，两直线平行），
∴∠4＝∠CGF＝90°（两直线平行，同位角相等），
又∵∠7+∠C＝90°（已知），∠2+∠3+∠5＝180°（平角的定义），
∴∠2+∠C＝∠2+∠7＝90°，
∴∠C＝∠3，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直定义；AF，同位角相等；平角的定义；内错角相等．
20．（8分）如图，每个小正方形的边长为1．
（1）画出三角形ABC先向右平移4格，再向下平移1格后得到的三角形A'B'C'；
（2）求三角形ABC的面积．
【答案】（1）见解答；（2）8．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求．
（2）三角形ABC的面积为×5×7﹣×3×3＝8．
21．（8分）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已经成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（每人只选一类）
根据图中信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校共有学生2700人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数．
【答案】（1）36人，补全的条形统计图见解答；
（2）48°；
（3）720人．
【解答】解：（1）18÷20%＝90（人），
即本次调查的学生一共有90人，
在线听课的学生有：90﹣24﹣18﹣12＝36（人），
补全的条形统计图如图所示；
（2）360°×＝48°，
即扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是48°；
（3）2700×＝720（人），
即估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有720人．
22．（9分）如图，点E，F分别在AB，AF⊥CE，垂足为点O．已知∠1＝∠B
（1）求证：AB∥CD；
（2）若AF＝12，BF＝5，AB＝13
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）点F到直线AB的距离为．
【解答】（1）证明：因为∠l＝∠B（已知），
所以CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
因为AF⊥CE（已知），
所以AF⊥BF（垂直的性质），
所以∠AFB＝90°（垂直的定义），
又因为∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义）．
即∠AFC+∠2＝90°，
又因为∠A+∠6＝90，
所以∠AFC＝∠A（同角的余角相等），
所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；
（2）解：因为AF⊥BF（已证），且AF＝12，AB＝13．
设点F到直线AB的距离为h．
所以S△AFB＝，
所以，
即h＝，
所以点F到直线AB的距离为．
23．（9分）某校九年级12个班师生举行毕业文艺汇演，每班2个节目，有歌唱与舞蹈两类节目
（1）九年级师生表演的歌唱与舞蹈类节目数各有多少个？
（2）该校七、八年级师生有小品节目参与，在歌唱、舞蹈、小品三类节目中，每个节目的演出平均用时分别是5分钟、6分钟、8分钟，22：00之前演出结束，问参与的小品类节目最多能有多少个？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设九年级师生表演的歌唱类节目有x个，舞蹈类节目有y个，
依题意，得：，
解得：．
答：九年级师生表演的歌唱节目数各有14个，舞蹈类节目有10个．
（2）设参加的小品类节目有a个，
依题意，得：20+4×14+6×10+8a＜（22﹣19）×60，
解得：a＜．
∵a为整数，
∴a的最大值为3．
答：参加的小品类节目最多有3个．
24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点M（x1，y1），N（x2，y2），定义k|x1﹣x2|+（1﹣k）|y1﹣y2|为点M和点N的“k阶距离”，其中0≤k≤1．例如：点M（1，3），N（﹣2，4）的阶距离”为（﹣1，2）．
（1）若点B（0，4），求点A和点B的“阶距离”；
（2）若点B在x轴上，且点A和点B的“阶距离”为4；
（3）若点B（a，b），且点A和点B的“阶距离”为1
【答案】（1）．
（2）（﹣9，0）或（7，0）．
（3）﹣1≤a+b≤3．
【解答】解：（1）由题知，点A（﹣1，4）的“+（6﹣+＝．
（2）∵点B在x轴上，
∴设点B的横坐标为m，则点B的坐标为（m，
∵点A（﹣7，2）和点B（m阶距离”为4，
∴＝4，
＝，
|﹣1﹣m|＝8，
∴﹣5﹣m＝8或﹣1﹣m＝﹣7，
∴m＝﹣9或7，
∴点B的坐标为（﹣8，0）或（7．
（3）∵点A（﹣8，2）和点B（a阶距离”为1，
∴.＝2，
|﹣1﹣a|+|2﹣b|＝3，
①当a≤﹣1，且b≤2时，由此得出a+b＝﹣2，
②当a≤﹣1，且b＞2时，由此得出b＝4+a，
∵b＞2，
即5+a＞3，
∴a＞﹣3
∵a≤﹣1，
∴﹣6＜a≤﹣1
∴﹣1＜5a+5≤3，即﹣4＜a+b≤3，
③当a＞﹣1，且b＜3时，由此得出a＝b﹣1，
∵a＞﹣1，
即b﹣3＞﹣1，
∴b＞0，
∵b＜2，
∴0＜b＜2，
∴﹣6＜2b﹣1＜2，即﹣1＜a+b＜3，
④当a＞﹣7，且b≥2时，由此得出a+b＝3，
综上所得，﹣7≤a+b≤3．
25．（10分）如图，A在x轴负半轴上，点B的坐标为（0，﹣4）（﹣6，4）在射线BA上．
（1）求证：点A为BE的中点．
（2）在y轴正半轴上有一点F，使∠FEA＝45°，求点F的坐标．
（3）如图，点M，N分别在x轴正半轴、y轴正半轴上，点I为△MON的内角平分线的交点，AI，Q两点，IH⊥ON于点H△POQ，求证：C△POQ＝2HI．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）F（0，3）；
（3）证明过程见解答．
【解答】（1）证明：过E点作EG⊥x轴于G，
∵B（0，﹣4），3），
∴OB＝EG＝4，
在△AEG和△ABO中，
，
∴△AEG≌△ABO（AAS），
∴AE＝AB，
∴A为BE中点；
（2）解：如图2，过E作EH⊥x轴于H，
则∠EHA＝∠DAE＝∠ACD＝90°，
∴∠HAE+∠AEH＝∠HAE+∠DAC＝90°，
∴∠AEH＝∠DAC，
∵∠FEA＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝AD，
∴△EHA≌△ACD（AAS），
∴AC＝EH＝8，CD＝AH，
由（1）知：OA＝AH＝OH＝8，
∴CD＝AH＝3，
∴D（1，2），
设直线ED的解析式为：y＝kx+b，
把D（1，3）和E（﹣6，
解得：，
∴直线ED的解析式为：y＝﹣x+3，
∴F（0，4）；
（3）证明：如图8，连接MI，
∵I为△MON内角平分线交点，
∴NI平分∠MNO，MI平分∠OMN，
在△MIN和△MIA中，
，
∴△MIN≌△MIA（SAS）
∴∠MIN＝∠MIA，
同理可得，∠MIN＝∠NIB，
∵NI平分∠MNO，MI平分∠OMN，
∴∠MIN＝135°，
∴∠MIN＝∠MIA＝∠NIB＝135°，
∴∠AIB＝135°×3﹣360°＝45°，
连接OI，作IS⊥OM于S，
∵IH⊥ON，OI平分∠MON，
∴IH＝IS＝OH＝OS，∠HIS＝90°，
在SM上截取SC＝HP，连接CI，
则△HIP≌△SIC（SAS），
∴IP＝IC，∠HIP＝∠SIC，
∴∠QIC＝45°，
则△QIP≌△QIC（SAS），
∴PQ＝QC＝QS+HP，
∴C△POQ＝OP+PQ+OQ＝OP+PH+OQ+OS＝OH+OS＝2HI．
