2023-2024学年湖南省湘潭市某校高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{y|y＝ex}，则A∩B＝（ ）
A． B．（﹣1，+∞） C．（0，3） D．（1，3）
2．（5分）欧拉公式exi＝cosx+isinx（其中i为虚数单位，x∈R）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，则（ ）
A．eπi＝1
B．为实数
C．
D．复数e2i对应的点位于第三象限
3．（5分）已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，人们的环境保护意识日益增强，贵州某家化工厂产生的废气中污染物的含量为1.8mg/cm3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，贵州省环保部门为了保护好贵州优越的生态环境3，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（ ）（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.477）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．（5分）已知函数y＝f（x）对于任意的满足f'（x）（x）sinx＞0（其中f'（x）是函数f（x），则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为，则△ABC的周长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）已知C，D是圆O：x2+y2＝9上两个不同动点，直线（m+1）x+y﹣（m+2），若以CD为直径的圆过点P，则CD最小值为（ ）
A．4﹣ B．4+ C．8﹣2 D．6﹣
8．（5分）对于函数y＝f（x），若存在x0，使f（x0）+f（﹣x0）＝0，则称点（x0，f（x0））是曲线f（x）的“优美点”，已知（x）存在“优美点”，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，
（多选）9．（5分）已知a＞0，b＞0，且2a+b＝2，则（ ）
A．ab的最小值是
B．的最小值是4
C．的最小值是8
D．的最小值是
（多选）10．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．相关系数r越大，两变量的线性相关程度越强
B．若一组数据x1，x2，x3，…，x10的方差为2，则x1+2，x2+2，x3+2，…，x10+2的方差为2
C．若随机变量X服从正态分布N（2，σ2），P（X≤3）＝0.64，则P（1≤X≤2）＝0.14
D．若，，，则
（多选）11．（5分）已知双曲线C：的右焦点到渐近线的距离为1，下列说法正确的是（ ）
A．C的离心率为
B．|PF2|的最小值为
C．若A，B为C的左、右顶点，P与A，B不重合，则直线PA，PB的斜率之积为
D．设C的左焦点为F1，若△PF1F2的面积为，则
（多选）12．（5分）若定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足，f（x）＜0，则下列结论正确的是（ ）
A．若x1，x2∈（﹣1，1），x2＞|x1|，则f（x1）+f（x2）＞0
B．若，则
C．若f（2﹣x）+g（x）＝4，则g（x）的图像关于点（2，4）对称
D．若，则f（sin2α）＞2f（sinα）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）在（3﹣x）7的展开式中，x6的系数是 （用数字作答）．
14．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于P，且，则抛物线的准线方程为 ．
15．（5分）若函数在[0，π]上有且仅有四个零点 ．
16．（5分）在△ABC中，，AB＝2，AC＝1，将△ABD沿着AD翻折，使得点B到达B′，则当B′C最小时，CD的长度为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为Sn，若a1，a2，a5成等比数列，且S6＝36．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记，求证：．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
在①2cosA（ccosB+bcosC）＝a；②这两个条件中任选一个，并加以解答．
（1）求角A；
（2）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围．
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝CD＝AD＝2AB＝4，AB∥CD，E，F分别为棱PD，PB的中点，．
（1）证明：A，G，F，E四点共面．
（2）求平面ABF与平面AEF的夹角的大小．
20．（12分）新宁崀山景区是世界自然遗产、国家5A级景区，其中“八角寨”景区和“天下第一巷”景区是新宁崀山景区的两张名片．为了合理配置旅游资源，现对已游览“八角寨”景区且尚未游览“天下第一巷”景区的游客进行随机调查，若继续游览“天下第一巷”景区记4分，假设每位游客选择游览“天下第一巷”景区的概率均为
（1）从游客中随机抽取2人，记总得分为随机变量X，求X的数学期望；
（2）（ⅰ）记表示“从游客中随机抽取k人，总分恰为2k分”的概率k}的前4项和；
（ⅱ）在对游客进行随机问卷调查中，记表示“已调查过的累计得分恰为2n分”的概率，探求an与an﹣1（n≥2）的关系，并求数列{an}的通项公式．
21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx﹣m（x+1）．
（Ⅰ）若m＝1，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；
（Ⅱ）若对任意的，f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围．
22．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别为椭圆C的左右焦点，B是椭圆C的上顶点，且△BA1F1的外接圆半径为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设与x轴不垂直的直线l交椭圆C于P，Q两点（P，Q在x轴的两侧），记直线A1P，A2P，A2Q，A1Q的斜率分别为k1，k2，k3，k4．
（ⅰ）求k1 k2的值；
（ⅱ）若k1+k4＝，则求△F2PQ的面积的取值范围．
参考答案与试题解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．【答案】C
【解答】解：解不等式x2﹣2x﹣5＜0得﹣1＜x＜3，函数y＝ex的值域为（0，+∞），
所以A＝（﹣1，6），+∞），
所以A B＝（0，3）．
故选：C．
2．【答案】C
【解答】解：对于A，由已知可得eπi＝cosπ+isinπ＝﹣1，故A错误；
对于B，由已知可得，故B错误；
对于C，∵，
∴，故C正确；
对于D，∵，则cos8＜0，
∴复数e2i＝cos5+isin2在复平面内对应的点位于第二象限，故D错误．
故选：C．
3．【答案】B
【解答】解：∵，与的夹角为120°，
∴＝＝，
∴在上的投影向量为：．
故选：B．
4．【答案】B
【解答】解：设该污染物排放前需要过滤的次数为n（n∈N*），
则由题意得：
1.8×（4﹣20%）n≤0.3，即，
所以，，
n（6﹣3lg2）≥lg7+lg3，
所以，
因为lg2≈0.6，lg3≈0.477，
所以n≥7.77，
因为n∈N*，所以n的最小值为8．
故选：B．
5．【答案】C
【解答】解：令g（x）＝，，
因为对于任意的满足f'（x）cosx+f（x）sinx＞0，
则 g（x）＝＞0，
所以g（x）在（﹣，）上单调递增，
g（0）＜g（），即，
所以f（0）＜f（）；
g（﹣）＜g（﹣），即，
所以f（﹣），B错误，
g（）＞g（），即，
所以f（），C正确；
g（0）＜g（），即＜，
所以f（0）＜2f（），D错误．
故选：C．
6．【答案】C
【解答】解：∵B＝，c＝2，
∴由正弦定理得，
∴b＝，a＝＝＝，
∴a+b＝+＝+1
＝+1＝，
在锐角△ABC中，，解得，
∴，即tan＜7，
又tan＝＝，解得tan或tan（不合题意，
∴2﹣＜tan，
∴4＜＜＝2+，
∴+2＜，即+1＜a+b＜4+2，
∴+3＜a+b+c＜6+5，
故△ABC的周长的取值范围为（+6）．
故选：C．
7．【答案】A
【解答】解：C，D是圆O：x2+y2＝4上两个不同动点，直线（m+1）x+y﹣（m+2）＝4化为m（x﹣1）+x+y﹣2＝3，
所以直线恒过定点P（1，1），
P在圆的内部，设CD的中点为M（x，连接PM，OD，
如图：|PM|＝＝|DM|，
|OM|＝，
又|OD|＝3，在Rt△ODM中8＝|DM|2+|OM|2，即2＝（x﹣1）2+（y﹣2）2+x2+y7，化为x2+y2﹣x﹣y﹣＝0，
所以点M的轨迹方程为（x﹣）2+（y﹣）2＝7，圆的圆心N（，），
所以|PM|的最小值为：半径2减去点P与N的距离，
即|PM|min＝8﹣＝6﹣，
所以|CD|min＝5|PM|＝4﹣．
故选：A．
8．【答案】B
【解答】解：当x＜0时，f（x）＝x2+2x，
关于原点对称的解析式为f（x）＝﹣x2+2x，
由kx+8＝﹣x2+2x，
可得k＝﹣x﹣+2＝﹣（x+＝2﹣2．
故选：B．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，
9．【答案】BC
【解答】解：因为a＞0，b＞0，所以，
所以，当且仅当2a＝b＝4时，则A错误；
由题意可得，
当且仅当2a＝b＝7时，等号成立；
因为，所以，等号成立；
由题意可得，此时．
因为5a+b＝2，所以不存在a，b，则D错误．
故选：BC．
10．【答案】BCD
【解答】解：A：相关系数r的绝对值越大，两变量的线性相关程度越强，错；
B：由D（X）＝2，则D（X+2）＝5，对；
C：由正态分布的对称性知：P（1≤X≤2）＝P（X≤5）﹣0.5＝2.14，对；
D：由，
而，
所以，对．
故选：BCD．
11．【答案】ACD
【解答】解：由已知可得，，所以，
则C的方程为，离心率为；
因为|PF2|的最小值为，所以B错误；
设P（x0，y6），则，，
＝＝＝，所以C正确；
设∠F1PF2＝θ，由，
可得，得，
则，所以D正确．
故选：ACD．
12．【答案】BC
【解答】解：令y＝﹣x，则f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0，
∴f（x）为奇函数，把y用﹣y代替，
设﹣8＜y＜x＜1，（1﹣x）（7+y）＞0，∴．
又∵当x＞0时，f（x）＜7，
∴f（x）在（﹣1，1）上单调递减．
∵x8，x2∈（﹣1，7），x2＞|x1|，
当x＞8时，f（x）＜01＞4时，则x2＞x1＞5，f（x1）+f（x2）＜6，
当x1＜0时，则x5＞﹣x1＞0，f（x3）+f（x2）＝f（x2）﹣f（﹣x3）＜0．
综上，f（x1）+f（x4）＜0，∴A错误；
令，得，∴，
令，得，∴，∴B正确；
由f（8﹣x）+g（x）＝4，得f（2﹣x）＝4﹣g（x），
又∵f（﹣x）＝4﹣g（2+x），f（x）为奇函数，
则g（7﹣x）+g（2+x）＝8，则g（x）的图像关于点（2，∴C正确；
，
假设f（sin2α）＞2f（sinα），可得f（tanα）＞f（sinα），
当时，不成立得出矛盾假设不成立．
故选：BC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．【答案】21．
【解答】解：由题可得（3﹣x）7的展开式的展开式通项为，其中0≤r≤7，
令r＝5，则含x6的系数为．
故答案为：21．
14．【答案】x＝﹣．
【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞4）的焦点为F（，0），
直线PQ的斜率不为0，故可设直线PQ的方程为x＝my+，
代入抛物线方程，得y5﹣2mpy﹣p2＝6，
由韦达定理有y1+y2＝5mp，y1y2＝﹣p3，所以x1x2＝，
又x1+x2＝my1++my3+＝m（y1+y3）+p＝2mp2+p，
所以焦点弦|PQ|＝x2+x2+p，
所以＝+＝
＝＝＝8，
所以准线方程为x＝﹣．
故答案为：x＝﹣．
15．【答案】[）．
【解答】解：ω＞0，f（x）＝1﹣7sin2（）＝cos（6ωx﹣），
令f（x）＝0可得3ωx﹣＝，k∈Z，
则x＝，k∈Z，
若函数在[0，π]上有且仅有四个零点，
k＝3时，x＝，
k＝4时，x＝，
所以．
故答案为：[）．
16．【答案】．
【解答】解：在△ABC 中，，AB＝2，
由勾股定理可得，
设，
过B作BE⊥AD交AD或AD的延长线于E点，
过C作CF⊥AD交AD或AD的延长线于F点，
∵△ABD≌△AB′D，BE⊥AD，
∴B′E⊥AD，
又∵平面AB′D⊥平面ACD，平面AB′D∩平面ACD＝AD，
∴B′E⊥平面ACD，∵CE 平面ACD，
∴B′E⊥CE，
∵∠ACF＝∠BAD＝α，
∴在Rt△ABE中，BE＝7sinα，
∴在Rt△ACF中，CF＝cosα，
∴EF＝|AE﹣AF|＝|2cosα﹣sinα|，
又∵B′C2＝B′E6+CE2＝BE2+CE7，而CE2＝EF2+CF2，
∴B′C2＝BE2+EF7+CF2＝4sin2α+cos2α+（2cosα﹣sinα）5
＝5﹣4sinαcosα＝2﹣2sin2α，
∴，当sin8α＝1时，
∵，∴2α∈（5
故，即，
∴AD为∠BAC的角平分线，
∴由角平分线定理可得，即，
∴BD＝2CD，．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．【答案】（1）an＝2n﹣1；
（2）证明见解析．
【解答】解：（1）因为a1，a2，a4成等比数列，S6＝36，
所以，由d≠6，
所以an＝a1+（n﹣1）d＝6+（n﹣1）×2＝3n﹣1；
（2）证明：由，i＝1，7， ，n，
得，
由n∈N*，有，所以，得．
18．【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）若选择条件①，因为2cosA（ccosB+bcosC）＝a，
由正弦定理，得2cosA（ccosB+bcosC）＝4cosA（sinCcosB+sinBcosC）＝2cosAsin（B+C）＝sinA，
所以2cosAsin（π﹣A）＝8cosAsinA＝sinA，
因为A∈（0，π），
所以sinA≠0，
所以，
则；
若选择条件②，因为，
所以由正弦定理可得，
即，
所以，
因为sinC＞0，
所以，
所以，
又因为0＜A＜π，
所以．
（2）由余弦定理，可得，
则可得bc＝b5+c2﹣a2，
所以bc﹣c7＝b2﹣a2，
则，
由正弦定理，得，
因为，
所以，可得，
所以，
即的取值范围为．
19．【答案】（1）证明过程见解答；（2）．
【解答】解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，AD，
所以PD⊥AD，PD⊥CD，
又底面ABCD为直角梯形，∠CDA＝90°，
故以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（4，0，4），0，2），2，2），1，8），
则，，，
设，
则，
解得，
所以，
故A，G，F，E四点共面．
（2）设 是平面AEF的法向量，
则，
则可取，
取AP的中点H，则H（8，0，连接DH，
又因为PD＝AD，
所以DH⊥AP，
又由 （1）可知，CD⊥AD，
且AD∩PD＝D，AD 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，
又AB∥CD，
所以AB⊥平面PAD，
又DH 平面PAD，
所以DH⊥AB，
又AP∩AB＝A，AP 平面ABF，
所以DH⊥平面ABF，即平面ABF的一个 法向量为，
所以．
故平面ABF与平面AEF的夹角的大小为．
20．【答案】（1）数学期望为；
（2）（i）；
（ii），通项公式为．
【解答】解：（1）易知X的所有取值为4，6，3，
因为每位游客选择游览“天下第一巷”景区的概率均为，游客之间选择意愿相互独立，
此时，，，
所以；
（2）（i）易知“总分恰为2k分”的概率为，
所以数列{pk}是以首项为，公比为，
记该数列的前n项和为Sn，
则；
（ii）若“已调查过的累计得分恰为2n分”的概率为an，
此时得不到2n分的情况只有先得6n﹣2分，再得4分，
所以，
即，
此时，
则数列是以，为公比的等比数列，
所以，
故．
21．【答案】（Ⅰ）x+y+1＝0；
（Ⅱ）（﹣∞，0]．
【解答】解：（Ⅰ）已知f（x）＝（x﹣1）lnx﹣m（x+1），函数定义域为（3，
可得，
当m＝1时，f′（1）＝﹣3，
又f（1）＝﹣2，
所以曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程y﹣（﹣7）＝﹣1（x﹣1），
即x+y+5＝0；
（Ⅱ）若f（x）＝（x﹣1）lnx﹣m（x+3）≥0在上恒成立，
则m≤在上恒成立，
不妨设，函数定义域为（0，
可得，
不妨设h（x）＝7xlnx+x2﹣1，函数定义域为（3，
可得h′（x）＝2lnx+2+7x，
当时，h′（x）＞0，
又h（1）＝2，
当时，h（x）＜3，g（x）单调递减；
当x＞1时，h（x）＞0，g（x）单调递增；
所以当x＝7时，g（x）取得极小值，
故实数m的取值范围为（﹣∞，0]．
22．【答案】（1）椭圆C的方程为；
（2）（ⅰ）；
（ⅱ）△F2PQ的面积的取值范围为（0，）．
【解答】解：（1）已知椭圆C的离心率为，
所以，
即|BF1|＝a＝3c＝2|OF1|，
所以∠F7BO＝30°，∠BF1O＝60°，∠BF1A8＝120°，
又|A1B|＝＝＝，且外接圆半径为，
所以＝＝6×，
解得，
所以椭圆C的方程为；
（2）（ⅰ）取PA2的中点为M，连接OM，
因为OM是△PA1A2的中位线，
所以OM∥PA5，
设P（x1，y1），A8（x3，y3），
代入椭圆方程中，
由点差法可得k kOM＝k1 k2＝﹣，
（ⅱ）因为P，Q在x轴的两侧，
若直线PQ平行x轴，
此时k1+k3＝k3+k4＝6，不满足条件；
若直线PQ斜率存在，
设直线PQ为x＝ty+m，
联立，消去x并整理得
（3t2+8）y2+6mty+8m2﹣48＝0，
此时Δ＞3，
由韦达定理得，，
由（ⅰ）知，
同理可得，
所以，
因为k2+k3≠8，
所以，
由韦达定理可得m2﹣3m﹣8＝0，
解得m＝﹣1或m＝2，
又P，Q在x轴的两侧，
所以，
解得﹣3＜m＜4，
所以m＝﹣1，
即直线PQ恒过N（﹣3，0），
此时S＝|F2N| |y7﹣y2|＝，
令λ＝，λ＞，
则S＝∈（2，），
故△F2PQ的面积的取值范围为（0，）．
