资阳市雁江区2023-2024学年高三上学期9月月考
数学试卷（文科）
一、选择题
1、设集合，，则( )
A.R B.
C. D.
2、已知复数z 满足, 则 ( )
A. B. C. D.
3、某车间加工零件的数量与加工时间的统计数据如表:
零件数 (个)
加工时间 (分钟)
现已求得上表数据的回归方程中的值为,则据此回归模型可以预测,加工个零件所需要的加工时间约为( )
A.84分钟 B.94分钟 C.102分钟 D.112分钟
4、已知向量，，，且，则实数k的值为( )
A. B.0 C.3 D.
5、下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的分别为,则输出的 ( )
A. 0 B. 2 C. 4 D. 14
6、曲线在处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
7、已知为第二象限角, ,则 ( )
A.
B.
C.
D.
8、函数的图象大致形状是( )
A. B.
C. D.
9、已知曲线:,:,则下面结论正确的是( )
A.把上各点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线
B.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线
C.把上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线
D.把上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线
10、已知函数在区间单调递增，则a的最小值为( )
A. B.e C. D.
11、函数的零点个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
12、已知是定义在R上的奇函数，且.对于上任意两个不相等实数和，都满足.若，，，则a，b，c的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、填空题
13、已知向量,, 则a 与 b的夹角为__________.
14、若满足约束条件,则的最大值为____________.
15、设,则函数的最小值是__________。
16、设，是函数()的两个极值点，若，则a的最小值为________.
三、解答题
17、已知下列两个命题: 函数在单调递增; 关于的不等式的解集为.若为真命题, 为假命题,求的取值范围.
18、已知等差数列与正项等比数列满足,.
(1)求数列和的通项公式;
(2)记数列的前n 项和为, 数列 的前n 项和为, 比较 与 的大小.
19、在中,角所对的边分别为,且满足.
(1)求角的大小;
(2)已知,的面积为,求边长的值.
20、为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对名小学六年级学生进行了问卷调查,并得到如下列联表.平均每天喝以上为“常喝”,体重超过为“肥胖”.
常喝 不常喝 合计
肥胖 2
不肥胖 18
合计 30
已知在全部人中随机抽取人,抽到肥胖的学生的概率为.
1.请将上面的列联表补充完整
2.是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关 请说明你的理由
3.已知常喝碳酸饮料且肥胖的学生中恰有2名女生,现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中随机抽取2人参加一个有关健康饮食的电视节目,求恰好抽到一名男生和一名女生的概率.
附：，，
参考数据:
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
21、已知函数，.
（1）求函数的极值点；
（2）若恒成立，求实数m的取值范围。
选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分。
22、在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，设，求的值.
23、设函数.
(1)解不等式；
(2)令的最小值为T，正数a，b，c满足，证明：.
参考答案
1、答案：C
解析：或，，
或，故选：C
2、答案：A
解析：由题意得.
3、答案：C
解析：由题意得: ,
,
故,
故,时, .
4、答案：C
解析：.又，，即，解得.故选C.
5、答案：B
解析：由于，,且不成立,所以,此时成立,故;
由于,所以;
由于成立,所以,此时,
由于不成立,所以.满足,
故输出的值为2.
6、答案：D
解析：由题可知, 切点坐标为, 又, 则切线斜率, 故切线方程为, 即.
7、答案：A
解析：(先根据,求出,再求出)
由题意可知, ,
则.
8、答案：D
解析：由，
得，
则函数是奇函数，图象关于原点中心对称，排除A，B，
当时，排除C，
故选：D.
9、答案：D
解析：.
首先曲线统一三角函数名,
可将用诱导公式处理.
.
横坐标变换需将变成,
即
.
10、答案：C
解析：因为函数，所以.因为函数在单调递增，所以在恒成立，即在恒成立，易知，则在恒成立.设，则.当时，，单调递增，所以在上，，所以，即，故选C.
11、答案：B
解析：函数，定义域为，
令，，
函数的零点个数即函数与的图像在区间上的交点个数，
作出函数与的图像，如图所示，
，，，
，，，
函数与的图像在区间上有3个交点，即函数的零点有3个.
故选：B
12、答案：C
解析：略
13、答案：
解析：设向量 a,b的夹角为, 则, 所以
14、答案：
解析：画出可行域,如图所示,将目标函数变形为,当取到最大时,直线的纵截距最大,故将直线尽可能地向上平移到,则的最大值为.
15、答案：9
解析：.
16、答案：
解析：，，是的两个极值点，
，是的两根，又当时，方程不成立，
即，两式作比得到：，
所以，令，所以，
令，，则，
令，，则，
所以在上单调递减，所以，
所以在上单调递减，，
所以，，
令，，则恒成立，
所以在上单调递减，即.
故答案为：.
17、答案：
解: 函数的对称轴为,故为真命题
为真命题.
∵为真, 为假,∴与一真一假.
若真假,则,且或,∴;
若假真,则,且,∴.
综上所述, 的取值范围为或.
解析：
18、答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)设等差数列的公差为d, 正项等比数列的公比为. 由，.
即,
解得，,
所以, 数列的通项公式为,
数列 的通顼公式为.
(2)由 (1) 得,
所以,.
19、答案：(1)在中,由正弦定理得:
因为,所以
从而,又
所以,所以
(2)在中, ,得
由余弦定理得:
所以.
解析：
20、答案：1. 设全部30人中的肥胖学生共名,则,解得.
∴常喝碳酸饮料且肥胖的学生有6名.
列联表如下:
常喝 不常喝 合计
肥胖 6 2 8
不肥胖 4 18 22
合计 10 20 30
2.有;
理由:由已知数据可求得,因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关.
3.根据题意,可设常喝碳酸饮料的肥胖男生为,女生为,则任取两人, 可能的结果有 共15种,其中一男一女有, 共8种.故正好抽到一男一女的概率为
解析：
21、
（1）答案：是的极大值点，无极小值点
解析：由已知可得，函数的定义域为，且，
当时，；当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以是的极大值点，无极小值点.
（2）答案：当时，恒成立
解析：设，，
则，
令，，
则对任意恒成立，
所以在上单调递减.
又，，
所以，使得，即，则，
即.
因此，当时，，即，则单调递增；
当时，，即，则单调递减，
故，解得，
所以当时，恒成立.
22、
（1）答案：，
解析：由，得直线l的普通方程为，
由，得曲线C的直角坐标方程为.
（2）答案：
解析：将代入中，化简得，
所以，，
所以.
23、答案：(1)
(2)
解析：(1)当时，，解得；
当时，，可得；
当时，，解得，
综上所述，原不等式的解集为.
(2)若，则；
若，则；
若，则.
所以函数的最小值，故.
又a，b，c为正数，
则有
当且仅当，时等号成立.
所以.
