2023-2024学年安徽师大附属萃文中学九年级（上）开学数学试卷
选择题
1．（4分）下面是手机里的常见的4个图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）下列计算中，结果错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c，那么下列条件中（ ）
A．∠A＝15°，∠B＝75° B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．a＝，b＝，c＝ D．a＝6，b＝10，c＝12
4．（4分）下列命题中，为假命题的是（ ）
A．两组邻边分别相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．四个角相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
5．（4分）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0
6．（4分）如图，把线段AB经过平移得到线段CD，其中A，D．已知A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（2，1），则点D的坐标为（ ）
A．（1，4） B．（1，3） C．（2，4） D．（2，3）
7．（4分）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则下列结论①k＜0；②a＞0，y1＜y2中，正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（4分）若4＜a＜5，则＝（ ）
A．2a﹣9 B．1﹣2a C．2a+1 D．2a﹣1
9．（4分）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ）
A．20cm B．2cm C．（12+2）cm D．18cm
10．（4分）如图，已知BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，BE＝BA．过点E作EF⊥AB于点F，则下列结论：①△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到；③∠ABE＝∠DAE；④BA+BC＝2BF（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每题5分，共20分）
11．（5分）若3m＝5，3n＝8，则32m+n＝ ．
12．（5分）点（m，y1），（m+1，y2）都在函数y＝kx+b（k≠0）的图象上，若y1﹣y2＝2，则k＝ ．
13．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，若点E恰好在边AD上，则BE2+CE2的值为 ．
14．（5分）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，N是AO的中点，点M在BC边上，则PM﹣PN的最大值为 ．
三、解答题（共90分）
15．（8分）解方程：2y2+4y＝y+2．
16．（8分）先化简，再求值：，其中x＝．
17．（8分）如图，在 ABCD中，点E，CD上，且BE＝DF．
求证：AF＝CE．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0．
（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）当一矩形ABCD的对角线长为AC＝，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长．
19．（10分）如图，直线y＝kx+b与x轴交于点A（﹣5，0），与y轴交于点Bx交于点C（5，m）．若要在y轴找到一个点P使得△BPC的面积为15
20．（10分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C（网格线的交点）．
（1）画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1；
（2）将线段AB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段A2B2，画出线段A2B2；
（3）描出线段AB上的点M及直线CD上的点N，使得直线MN垂直平分AB．
21．（12分）某校七八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试．统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及以上为优秀），6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10；
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8 8
众数 a 7
中位数 8 b
优秀率 80% 60%
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数．
22．（12分）如图，已知边长为5正方形ABCD中，M、N分别为边BC、DC上的点，过N作NH⊥AM于点H，若∠ANH＝45°
（1）证明：BM＝MN﹣DN；
（2）求点A到MN的距离．
23．（14分）已知：直线经过点A（﹣8，0）和点B（0，6），点C在线段AO上，点O恰好落在AB边上点D处．
（1）求直线AB的表达式．
（2）求AC的长．
（3）点P为平面内一动点，且满足以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形
2023-2024学年安徽师大附属萃文中学九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
选择题
1．（4分）下面是手机里的常见的4个图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．（4分）下列计算中，结果错误的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、与不属于同类二次根式，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．（4分）如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c，那么下列条件中（ ）
A．∠A＝15°，∠B＝75° B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．a＝，b＝，c＝ D．a＝6，b＝10，c＝12
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【解答】解：
A、由条件可得∠A+∠B＝15°+75°＝90°，故△ABC为直角三角形；
B、B、设∠A＝x°，∠C＝3x°，
x+2x+5x＝180，
解得：x＝30，
则3x°＝90°，
是直角三角形，故此选项不合题意；
C、由条件可得到a2+b8＝c2，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；
D、由条件有a2+b8≠c2，不满足勾股定理的逆定理，故△ABC不是直角三角形；
故选：D．
【点评】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理．
4．（4分）下列命题中，为假命题的是（ ）
A．两组邻边分别相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．四个角相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【分析】根据各个选项中的说法，可以判断是否为真命题，从而可以解答本题．
【解答】解：两组邻边分别相等的四边形不一定是菱形，如AB＝AD，但AB≠CB的四边形，故选项A符合题意；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形是真命题，故选项B不符合题意；
四个角相等的四边形是矩形是真命题，故选项C不符合题意；
对角线相等的平行四边形是矩形是真命题，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查命题与定理，解答本题的关键是明确题意，会判断命题的真假．
5．（4分）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0
【分析】由关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，知Δ＝22﹣4×k×（﹣1）＞0且k≠0，解之可得答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x﹣5＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝26﹣4×k×（﹣1）＞4且k≠0，
解得k＞﹣1且k≠7，
故选：B．
【点评】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．
6．（4分）如图，把线段AB经过平移得到线段CD，其中A，D．已知A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（2，1），则点D的坐标为（ ）
A．（1，4） B．（1，3） C．（2，4） D．（2，3）
【分析】根据点A、C的坐标确定出平移规律，然后根据规律求解点D的坐标即可．
【解答】解：∵A（﹣1，0）的对应点C的坐标为（4，
∴平移规律为横坐标加3，纵坐标加1，
∵点B（﹣2，3）的对应点为D，
∴D的坐标为（1，7）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，本题根据对应点的坐标确定出平移规律是解题的关键．
7．（4分）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则下列结论①k＜0；②a＞0，y1＜y2中，正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据y1＝kx+b和y2＝x+a的图象可知：k＜0，a＜0，所以当x＜3时，相应的x的值，y1图象均高于y2的图象．
【解答】解：∵y1＝kx+b的函数值随x的增大而减小，
∴k＜0；故①正确
∵y5＝x+a的图象与y轴交于负半轴，
∴a＜0；
当x＜3时，相应的x的值，y8图象均高于y2的图象，
∴y1＞y7，故②③错误．
故选：B．
【点评】本题考查了两条直线相交问题，难点在于根据函数图象的走势和与y轴的交点来判断各个函数k，b的值．
8．（4分）若4＜a＜5，则＝（ ）
A．2a﹣9 B．1﹣2a C．2a+1 D．2a﹣1
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：∵4＜a＜5，
∴
＝|4﹣a|﹣|a﹣5|
＝a﹣8﹣（5﹣a）
＝2a﹣8，
故选：A．
【点评】本题考查二次根式的性质，熟记是解题的关键．
9．（4分）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ）
A．20cm B．2cm C．（12+2）cm D．18cm
【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．
【解答】解：如图1，
∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，
∴BM＝18﹣6＝12，BN＝10+7＝16，
∴MN＝＝20；
如图2，
∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，
∴PM＝18﹣6+7＝18，NP＝10，
∴MN＝＝＝2．
∵20＜2，
∴蚂蚁沿长方体表面从点M爬行到点N处的最短路程为20cm．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．
10．（4分）如图，已知BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，BE＝BA．过点E作EF⊥AB于点F，则下列结论：①△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到；③∠ABE＝∠DAE；④BA+BC＝2BF（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由“SAS”可证△ABD≌△EBC，可得△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到，故①正确；由全等三角形的性质可得∠BCE+∠BCD＝180°，故②正确；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠ABE＝∠DAE，故③正确；通过证明Rt△CEG≌Rt△AFE，可得AF＝CG，由线段的和差关系可求解，故④正确，即可求解．
【解答】解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（SAS），
∴△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到，
故①正确；
②∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE＝∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD＝∠BDA+∠BDC＝180°，
故②正确；
③∵BD＝BC，BE＝BA，
∴∠BEA＝∠BCD＝∠BDC＝∠BAE，
∴∠AED＝∠ADE＝∠BCD＝∠BDC，
∴∠CBD＝∠DAE，
∴∠ABE＝∠DAE，故③正确；
④过E作EG⊥BC于G点，
∵E是BD上的点，
∴EF＝EG，
在Rt△BEG和Rt△BEF中，
，
∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），
∴BG＝BF，
在Rt△CEG和Rt△AFE中，
，
∴Rt△CEG≌Rt△AFE（HL），
∴AF＝CG，
∴BA+BC＝BF+FA+BG﹣CG＝BF+BG＝2BF，
故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
二、填空题（每题5分，共20分）
11．（5分）若3m＝5，3n＝8，则32m+n＝ 200 ．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则化简得出答案．
【解答】解：∵3m＝5，2n＝8，
∴32m+n＝（3m）2×3n＝52×3＝200．
故答案为：200．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
12．（5分）点（m，y1），（m+1，y2）都在函数y＝kx+b（k≠0）的图象上，若y1﹣y2＝2，则k＝ ﹣2 ．
【分析】利用待定系数法将点（m，y1），（m+1，y2）的坐标代入解析式y＝kx+b（k≠0）中，得到若y1、y2的值，利用y1﹣y2＝2可求得结论．
【解答】解：∵点（m，y1），（m+1，y7）都在函数y＝kx+b（k≠0）的图象上，
∴y1＝km+b，y6＝k（m+1）+b，
∵y1﹣y5＝2，
∴km+b﹣[k（m+1）+b]＝8，
解得：k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，利用待定系数法将已知点的坐标代入函数的解析式是解题的关键．
13．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，若点E恰好在边AD上，则BE2+CE2的值为 36 ．
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得AE＝AB＝DE＝CD＝3，∠BEC＝90°，可得BC＝AD＝3+3＝6，再根据勾股定理解答即可．
【解答】解：∵BE、CE 和∠BCD
∴∠EBC＝∠ABC∠BCD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝2，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴BE3+CE2＝BC2 ，
∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠AEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AB＝AE＝5，
同理可证 DE＝DC＝3，
∴DE+AE＝AD＝6，
∴BE3+CE2＝BC2＝AD8＝36．
故答案为：36．
【点评】此题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，关键是根据平行四边形的性质和勾股定理解答．
14．（5分）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，N是AO的中点，点M在BC边上，则PM﹣PN的最大值为 2 ．
【分析】以BD为对称轴作N的对称点N'，连接MN′并延长交BD于P，连NP，依据PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，可得当P，M，N'三点共线时，取“＝”，再求得＝＝，即可得出PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，再根据△N'CM为等腰直角三角形，即可得到CM＝MN'＝2．
【解答】解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N'，连NP，
根据轴对称性质可知，PN＝PN'，
∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，
当P，M，N'三点共线时，
∵正方形边长为8，
∴AC＝AB＝，
∵O为AC中点，
∴AO＝OC＝，
∵N为OA中点，
∴ON＝，
∴ON'＝CN'＝，
∴AN'＝，
∵BM＝6，
∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，
∴＝＝，
∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，
∵∠N'CM＝45°，
∴△N'CM为等腰直角三角形，
∴CM＝MN'＝2，
即PM﹣PN的最大值为2，
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
三、解答题（共90分）
15．（8分）解方程：2y2+4y＝y+2．
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：2y2+7y﹣2＝0，
分解因式得：（6y﹣1）（y+2）＝3，
可得2y﹣1＝5或y+2＝0，
解得：y7＝，y4＝﹣2．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
16．（8分）先化简，再求值：，其中x＝．
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
＝
＝
＝，
当x＝时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式加法和除法的运算法则．
17．（8分）如图，在 ABCD中，点E，CD上，且BE＝DF．
求证：AF＝CE．
【分析】根据ABCD是平行四边形，得出AB＝CD，AB∥CD，由BE＝DF，从而可得到AE＝CF，再根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形推出CFAF是平行四边形，从而不难得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD，AB∥CD
∵BE＝DF
∴AE＝CF
∵AB∥CD
∴四边形CEAF是平行四边形
∴AF＝EC．
【点评】此题主要考查学生对平行四边形的性质及判定的理解及运用，关键是根据平行四边形的性质和判定解答．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0．
（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）当一矩形ABCD的对角线长为AC＝，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长．
【分析】（1）计算判别式的值得到Δ＝（2k﹣3）2+4，利用非负数的性质得到Δ＞0，从而根据判别式的意义得到结论；
（2）利用根与系数的关系得到AB+BC＝2k+1，AB BC＝4k﹣3，利用矩形的性质和勾股定理得到AB2+BC2＝AC2＝（）2，则（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31，解得k1＝3，k2＝﹣2，利用AB、BC为正数得到k的值为3，然后计算AB+BC得到矩形ABCD的周长．
【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4（4k﹣6）
＝4k2+8k+1﹣16k+12
＝4k8﹣12k+13
＝（2k﹣3）8+4，
∵（2k﹣3）2≥0，
∴Δ＞3，
∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据题意得AB+BC＝2k+1，AB BC＝7k﹣3，
而AB2+BC8＝AC2＝（）2，
∴（6k+1）2﹣5（4k﹣3）＝31，
整理得k6﹣k﹣6＝0，解得k5＝3，k2＝﹣6，
而AB+BC＝2k+1＞6，AB BC＝4k﹣3＞4，
∴k的值为3，
∴AB+BC＝7，
∴矩形ABCD的周长为14．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
19．（10分）如图，直线y＝kx+b与x轴交于点A（﹣5，0），与y轴交于点Bx交于点C（5，m）．若要在y轴找到一个点P使得△BPC的面积为15
【分析】求出C点坐标，再由待定系数法求出直线AB的解析式，设P（0，t），则BP＝|t﹣4|，由15＝×5×|t﹣2|，求点P的坐标即可．
【解答】解：将点C（5，m）代入y＝x，
∴m＝4，
∴C（5，3），
将点A（﹣5，0），5）代入y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+2，
∴B（0，6）
设P（0，t），
∴BP＝|t﹣2|，
∴15＝×5×|t﹣8|，
∴t＝8或t＝﹣4，
∴P（8，8）或（0．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，用待定系数法求函数解析式，掌握三角形面积的求法是解题的关键．
20．（10分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C（网格线的交点）．
（1）画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1；
（2）将线段AB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段A2B2，画出线段A2B2；
（3）描出线段AB上的点M及直线CD上的点N，使得直线MN垂直平分AB．
【分析】（1）根据轴对称的性质画出图形即可；
（2）根据平移的性质画出图形即可；
（3）根据线段垂直平分线的作法画出图形即可．
【解答】解：（1）线段A1B1如图所示；
（2）线段A8B2如图所示；
（3）直线MN即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了线段垂直平分线的性质．
21．（12分）某校七八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试．统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及以上为优秀），6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10；
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8 8
众数 a 7
中位数 8 b
优秀率 80% 60%
（1）填空：a＝ 8 ，b＝ 8 ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数．
【分析】（1）直接根据众数中位数的定义求解即可；
（2）根据成绩的优秀率直接对比即可；
（3）用各年级的总人数分别乘以各年级测试成绩的优秀率即可求解．
【解答】解：（1）∵七年级抽取学生的成绩：6，6，7，8，8，7，8，8，7，8，9，4，9，9，10，
∴该组数据的众数为5，故a＝8，
从统计图可知，第8个数为6，
故b＝8，
故答案为：8，4．
（2）七年级的学生党史知识掌握得较好，
理由：七年级学生的测试成绩的优秀率高于八年级学生的测试成绩的优秀率，
∴七年级的学生党史知识掌握得较好．
（3）七、八年级学生测试成绩的优秀率分别为80%和60%，
∴七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数为500×80%+500×60%＝700（人）．
【点评】本题考查了条形统计图、统计表、中位数、众数等知识，熟练掌握中位数、众数的定义，用将本估计总体等知识是解答此题的关键．
22．（12分）如图，已知边长为5正方形ABCD中，M、N分别为边BC、DC上的点，过N作NH⊥AM于点H，若∠ANH＝45°
（1）证明：BM＝MN﹣DN；
（2）求点A到MN的距离．
【分析】（1）延长CB到E，使BE＝DN，连接AE，根据SAS证△ABE≌△ADN，推出AE＝AN，根据SAS证出△NAM≌△EAM，从而得到结论；
（2）过点A作AF⊥MN，由AAS可证△ABM≌△AFM，可得AB＝AF＝2．
【解答】（1）证明：如图，延长CB至E，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∠D＝∠ABC＝90°＝∠ABE，
在△ADN和△ABE中
，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴∠BAE＝∠DAN，AE＝AN，
∴∠EAN＝∠BAE+∠BAN＝∠DAN+∠BAN＝90°，
∵NH⊥AM于点H，若∠ANH＝45°，
∴∠MAN＝45°，
∴∠EAM＝∠MAN＝45°，
在△EAM和△NAM中，
，
∴△EAM≌△NAM（SAS），
∴MN＝ME，
∴ME＝BM+BE＝BM+DN，
∴BM+DN＝MN，
即BM＝MN﹣DN；
（2）解：如图，过点A作AF⊥MN，
∵由（1）中△EAM≌△NAM得：
∠AMB＝∠AMF，
又∵∠ABM＝∠AFM＝90°，AM＝AM，
∴△ABM≌△AFM（AAS）
∴AB＝AF＝5，
即点A到MN的距离为5．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是合理作出辅助线．
23．（14分）已知：直线经过点A（﹣8，0）和点B（0，6），点C在线段AO上，点O恰好落在AB边上点D处．
（1）求直线AB的表达式．
（2）求AC的长．
（3）点P为平面内一动点，且满足以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）由对称性可知CO＝CD，BO＝BD，可求AD＝4，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出CD的长，即可求AC的长；
（3）设P（x，y），分三种情况讨论：①当AB为平行四边形的对角线时；②当AC为平行四边形的对角线时；③当AP为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角互相平分，利用中点坐标公式求解即可．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+4；
（2）∵D点与C点关于BC对称，
∴CO＝CD，BO＝BD，
∵BO＝6，
∴BD＝6，
∵OA＝5，BO＝6，
∴AB＝10，
∴AD＝4，
在Rt△ACD中，CD8+16＝（8﹣CD）2，
解得CD＝8，
∴CO＝3，
∴AC＝5；
（3）由（2）可得C（﹣3，0），
设P（x，y），
①当AB为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴P（﹣5，6）；
②当AC为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴P（﹣11，﹣6）；
③当AP为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴P（5，6）；
综上所述：P点坐标为（﹣5，6）或（﹣11，2）．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，轴对称的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
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