2023-2024学年九年级数学上学期第一次月考模拟卷
选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（ ）
A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3
3．用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0，配方结果正确的是（ ）
A．（x+1）2＝1 B．（x﹣1）2＝1 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝2
4．今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．设平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A．4（1+x）＝5.76 B．4（1+x）2＝5.76
C．4（1+x）+4（1+x）2＝5.76 D．5.76（1+x）2＝4
5．抛物线y＝x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．y＝（x﹣1）2﹣2B．y＝（x+1）2﹣2C．y＝（x+1）2+2 D．y＝（x﹣1）2+2
6．将抛物线C1：y＝（x﹣2）2向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到抛物线C2，则抛物线C2的函数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣5）2+2B．y＝（x﹣5）2﹣2C．y＝（x+1）2+2 D．y＝（x+1）2﹣2
7．如图，已知△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD＝25°，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
8．已知函数y＝2x2﹣4ax+5，当x≥2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．a＜2 C．a≤2 D．a＞2
9．如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（ ）
A．70° B．65° C．50° D．25°
10．对于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列判断正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．抛物线的顶点坐标是（﹣1，3）
C．对称轴为直线x＝1
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
11．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3
12．二次函数y＝﹣ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax﹣b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
13．抛物线y＝3（x﹣2）2+4的顶点坐标是 ．
14．一元二次方程（x+1）2＝9的两根分别为 ．
15．在函数y＝（x﹣1）2中，当x＞1时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
16．点P（5，﹣2）关于原点对称的点的坐标是 ．
17．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率都是x，那么可以列出方程为 ．
18．以原点为中心，把点M （3，4）逆时针旋转90°得到点N，则点N的坐标为 ．
三、解答题（本题共8小题，共66分．第19-20题每题6分，第21-23题每题8题，其他每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：（﹣1+2）×3+22÷（﹣4）．
20．（6分）解方程：x2﹣2x﹣8＝0．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）
（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）将（1）中所得△A1B1C1先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
（3）若△A2B2C2可以看作△ABC绕某点旋转得来，直接写出旋转中心的坐标．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．
23．（8分）如图，把一块长为40cm，宽为20cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为576cm2，求剪去小正方形的边长．
24．（10分）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，物价部门规定某销售单价不得低于成本．经试销发现，在每件40元的基础上涨价，则每月销售量y（件）与每件涨价x（元）符合一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当涨价多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
25．（10分）把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，∠A＝90°，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．
（1）求证：△BAD≌△CAE．
（2）如图3，若点D在线段BE上，且BC＝13，DE＝7，求CE的长．
（3）当旋转角α＝ 时，△ABD的面积最大．
26．（10分）已知，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．
（1）直接写出C点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求△ADC面积的最大值．
2023-2024学年九年级数学上学期第一次月考模拟卷
选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
2．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（ ）
A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3
【答案】A
【解答】解：设另一个根为x，则
x+2＝﹣5，
解得x＝﹣7．
故选：A．
3．用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0，配方结果正确的是（ ）
A．（x+1）2＝1 B．（x﹣1）2＝1 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝2
【答案】D
【解答】解：x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝2，
（x﹣1）2＝2．
故选：D．
4．今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．设平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A．4（1+x）＝5.76 B．4（1+x）2＝5.76
C．4（1+x）+4（1+x）2＝5.76 D．5.76（1+x）2＝4
【答案】B
【解答】解：设平均每月增长率为x，可列方程为：
4（1+x）2＝5.76．
故选：B．
5．抛物线y＝x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．y＝（x﹣1）2﹣2 B．y＝（x+1）2﹣2 C．y＝（x+1）2+2 D．y＝（x﹣1）2+2
【答案】A
【解答】解：抛物线y＝x2向右平移1个单位，得：y＝（x﹣1）2；
再向下平移2个单位，得：y＝（x﹣1）2﹣2．
故选：A．
6．将抛物线C1：y＝（x﹣2）2向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到抛物线C2，则抛物线C2的函数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣5）2+2B．y＝（x﹣5）2﹣2C．y＝（x+1）2+2 D．y＝（x+1）2﹣2
【答案】A
【解答】解：将抛物线y＝（x﹣2）2向右平移3个单位，再向上平移2个单位后所得直线解析式为：y＝（x﹣2﹣3）2+2，即y＝（x﹣5）2+2．
故选：A．
7．如图，已知△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD＝25°，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
【答案】B
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△ABD经旋转后到达△ACE的位置，
∴∠BAC等于旋转角，即旋转角等于60°．
故选：B．
8．已知函数y＝2x2﹣4ax+5，当x≥2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．a＜2 C．a≤2 D．a＞2
【答案】C
【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣4ax+5，
∴该二次函数的对称轴为直线，
又∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴a≤2，
故选：C．
9．如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（ ）
A．70° B．65° C．50° D．25°
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝65°，
又由折叠的性质可得∠D′EF＝∠DEF＝65°，
∴∠AED′＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
故选：C．
10．对于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列判断正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．抛物线的顶点坐标是（﹣1，3）
C．对称轴为直线x＝1
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
【答案】C
【解答】解：A、∵﹣2＜0，∴抛物线的开口向下，本选项不符合题意，
B、抛物线的顶点为（1，3），本选项不符合题意，
C、抛物线的对称轴为：x＝1，本选项符合题意，
D、因为开口向下，所以当x＞1时，y随x的增大而减小，本选项不符合题意，
故选：C．
11．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3
【答案】B
【解答】解：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4（k﹣3）×1＝﹣4k+16≥0，
k≤4；
②当k﹣3＝0时，y＝2x+1，与x轴有交点．
故选：B．
12．二次函数y＝﹣ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax﹣b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：由二次函数y＝﹣ax2+bx（a≠0）的图象可得，a＞0，b＜0，
∴一次函数y＝ax﹣b的图象经过第一、二、三象限，
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
13．抛物线y＝3（x﹣2）2+4的顶点坐标是 （2，4） ．
【答案】（2，4）．
【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣2）2+4是其顶点式，
∴抛物线y＝3（x﹣2）2+4的顶点坐标是（2，4）．
故答案为：（2，4）．
14．一元二次方程（x+1）2＝9的两根分别为 x1＝2，x2＝﹣4 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（x+1）2＝9，
∴x+1＝±3，
∴x1＝2，x2＝﹣4，
故答案为：x1＝2，x2＝﹣4．
15．在函数y＝（x﹣1）2中，当x＞1时，y随x的增大而 增大 ．（填“增大”或“减小”）
【答案】增大．
【解答】解：∵函数y＝（x﹣1）2，
∴a＝1＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大．
故答案为：增大．
16．点P（5，﹣2）关于原点对称的点的坐标是 （﹣5，2） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵两点关于原点对称，
∴这两点对应的横、纵坐标均互为相反数
∴点P（5，﹣2）关于原点对称的点的坐标是：（﹣5，2）．
故答案为：（﹣5，2）．
17．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率都是x，那么可以列出方程为 100（1﹣x）2＝81 ．
【答案】100（1﹣x）2＝81．
【解答】解：依题意得：100（1﹣x）2＝81．
故答案为：100（1﹣x）2＝81．
18．以原点为中心，把点M （3，4）逆时针旋转90°得到点N，则点N的坐标为 （﹣4，3） ．
【答案】（﹣4，3）．
【解答】解：如图，∵点M （3，4）逆时针旋转90°得到点N，
则点N的坐标为（﹣4，3）．
故答案为：（﹣4，3）．
三、解答题（本题共8小题，共66分．第19-20题每题6分，第21-23题每题8题，其他每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：（﹣1+2）×3+22÷（﹣4）．
【答案】2．
【解答】解：原式＝1×3+4÷（﹣4）
＝3﹣1
＝2．
20．（6分）解方程：x2﹣2x﹣8＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原方程化为（x+2）（x﹣4）＝0，
解得x+2＝0，x﹣4＝0，
x1＝﹣2，x2＝4．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）
（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）将（1）中所得△A1B1C1先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
（3）若△A2B2C2可以看作△ABC绕某点旋转得来，直接写出旋转中心的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点C1的坐标为（1，1）；
（2）如图，△A2 B2 C2为所作，点C2的坐标为（﹣3，3）；
（3）如图，旋转中心为点P（﹣3，﹣1）．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣2）
＝4m2+4m+1﹣4m+8
＝4m2+9＞0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系得出，
由x1+x2+3x1x2＝1得﹣（2m+1）+3（m﹣2）＝1，
解得m＝8．
23．（8分）如图，把一块长为40cm，宽为20cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为576cm2，求剪去小正方形的边长．
【答案】2cm．
【解答】解：设剪去小正方形的边长为xcm，则该无盖纸盒的底面是长为（40﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm的矩形，
根据题意得：（40﹣2x）（20﹣2x）＝576，
整理得：x2﹣30x+56＝0，
解得：x1＝2，x2＝28（不符合题意，舍去）．
答：剪去小正方形的边长为2cm．
24．（10分）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，物价部门规定某销售单价不得低于成本．经试销发现，在每件40元的基础上涨价，则每月销售量y（件）与每件涨价x（元）符合一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当涨价多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+700，自变量x的取值范围是0≤x≤70；
（2）当涨价30元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大，最大利润是16000元．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+700，
∵﹣10x+700≥0，
∴x≤70，
∴自变量x的取值范围是0≤x≤70；
（2）设服装店一个月内销售这种T恤获得的利润为w元，
根据题意得：w＝（40+x﹣30）y＝（10+x）（﹣10x+700）＝﹣10x2+600x+7000＝﹣10（x﹣30）2+16000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝30时，w有最大值，最大值为16000，
∴当涨价30元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大，最大利润是16000元．
25．（10分）把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，∠A＝90°，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．
（1）求证：△BAD≌△CAE．
（2）如图3，若点D在线段BE上，且BC＝13，DE＝7，求CE的长．
（3）当旋转角α＝ 90°或270° 时，△ABD的面积最大．
【答案】（1）见解析；
（2）5；
（3）90°或270°．
【解答】（1）证明：∵△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，
∠BAC＝∠DAE＝90°，
则∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）解：如图，过点A作AH⊥BE于H，
由（1）证明同理可得△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
∵△ADE是等腰直角三角形，AH⊥DE，
∴AH是斜边中线，
∴AH＝DH＝EH＝DE＝，
在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝13，
∴AB＝BCcos∠ABC＝，
在Rt△ABH中，BH＝＝，
∴BD＝BH﹣DH＝5，
∴CE＝BD＝5；
（3）解：∵D点轨迹在以A为圆心，AD为半径的圆上，
∴AD的长度为定值，
∵AB的长度为定值，
∴△ABD底边AB上的高≤AD，
∴当AD⊥AB时，△ABD面积最大，即点D在直线AC上，
①如图当α＝90°时，AD⊥AB，△ABD面积最大，
②如图3﹣2，当α＝270°时，AD⊥AB，△ABD面积最大，
∴当α为90°或270°时，△ABD面积最大；
故答案为：90°或270°．
26．（10分）已知，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．
（1）直接写出C点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求△ADC面积的最大值．
【答案】（1）点C的坐标为（0，﹣3）；
（2）抛物线的解析式为y＝x2+x﹣3．
（3）△ADC面积的最大值为6．
【解答】解：（1）∵点B的坐标为（1，0），OC＝3OB，
∴OB＝1，OC＝3，
∴点C的坐标为（0，﹣3）．
（2）将B（1，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+3ax+c，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣3．
（3）过点D作直线DE∥y轴，交AC于点E，交x轴于点F，过点C作CG⊥DE于点G，如图所示．
当y＝0时，有x2+x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝1，
∴点A的坐标为（﹣4，0），
∴AB＝5．
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（﹣4，0）、C（0，﹣3）代入y＝kx+b，得：
，解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3．
设点D的坐标为（t，t2+t﹣3），则点E的坐标为（t，﹣t﹣3），
∴ED＝﹣t﹣3﹣（t2+t﹣3）＝﹣t2﹣3t，
∴S△ADC＝S△AED+S△CED，
＝AB OC+ED AF+ED CG，
＝ED AO，
＝×4（﹣t2﹣3t），
＝﹣t2﹣6t
＝﹣（t+2）2+6．
∵﹣＜0，
∴当t＝﹣2时，△ADC的面积取最大值，最大值为6．
答：△ADC面积的最大值为6．1
2023-2024 学年九年级数学上学期第一次月考
A 卷·答题卡
姓 名：__________________________
准 考证号： 贴条形码区
注意事项
1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准
考生禁填： 缺考标记
条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。
违纪标记
2 ．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂
答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。
3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案
选择题填涂样例：
无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
正确填涂
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
错误填涂 [×] [√] [／]
一、单项选择题（本题共 12小题，每小题 3分，共 36 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。）
1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．）
13.________________ 14. ________________ 15. ________________
18. ________________ 16. ________________ 17. ________________
三、解答题（本题共 8 小题，共 66 分．第 19-20 题每题 6 分，第 21-23 题每题 8 题，其他每题 10 分，
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6 分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
{#{QQABBQAUogAAQBBAAQhCUQEiCAMQkBAACCoGAAAEMAABQAFABAA=}#}
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
20．（6 分）
21．（8 分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
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请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
22．（8 分）
23．（8 分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
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请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
24．（10 分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
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25．（10 分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
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26．（10 分）
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