第十章 静电场中的能量
一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）
1.北京2022年冬奥会开幕式上，一朵朵代表各个参赛国家的“小雪花”组成一朵“大雪花”后，奥运圣火在其中央点燃，如图甲。某同学发现每朵“小雪花”的基本形状如图乙所示，并利用绝缘弧形细条摆成模型，若其左右分别均匀分布着等量异种电荷。四点均位于对称轴上，且它们与中心点的距离均相等。则( )
A.a点场强大于c点场强
B.两点的电势相等
C.两点的场强相同
D.带正电的试探电荷从b点运动到d点电势能增加
2.图中虚线代表匀强电场内间距相等的一组等势面。一电子经过a时的动能为10 eV，从a到d的过程中该电子克服电场力所做的功为6 eV。下列说法正确的是( )
A.如果该电子的运动轨迹是直线，那么它一定能到达f
B.如果该电子的运动轨迹是直线，那么它一定不能到达f
C.如果该电子的运动轨迹是曲线，那么它一定能到达f
D.如果该电子的运动轨迹是曲线，那么它一定不能到达f
3.在两个半圆柱面构成的区域内，有一均匀的辐向电场，电场线分布如图所示，两半圆弧的圆心重合。欲使电荷量相同的正离子从左侧进入辐向电场，沿同一半圆路径运动后从右侧射出，不计离子重力，这些离子应具备相同的( )
A.比荷 B.动能 C.速度 D.质量
4.心室纤颤是一种可能危及生命的疾病。一种叫作心脏除颤器的医疗设备，其工作原理是通过一个充电的电容器对心室纤颤患者皮肤上安装的两个电极板放电，让一部分电荷通过心脏，使心脏停止跳动，再刺激心室纤颤患者的心脏恢复正常跳动。如图是一次心脏除颤器的模拟治疗，若心脏除颤器的电容器电容为15 μF，充电至9.0 kV电压，如果电容器在2.0 ms时间内完成放电，放电结束时电容器两极板间的电势差减为零。下列说法正确的是( )
A.若充电至4.5 kV，则该电容器的电容为7.5 μF
B.充电至9.0 kV时，该电容器所带电荷量是0.27 C
C.这次放电过程中有0.135 C的电荷通过人体组织
D.这次放电过程中通过人体组织的电流是恒定不变的
5.真空中相距L的两个固定点电荷所带电荷量大小分别是和，它们分别位于点，在它们共同形成的电场中，有一条电场线如图中实线所示，实线上的箭头表示电场线的方向。电场线上标出了两点，其中N点的切线与平行，且。则( )
A.位于E点的点电荷带正电，位于F点的点电荷带负电，且
B.在M点由静止释放一带正电的检验电荷，检验电荷将沿电场线运动到N点
C.过N点的等势面与垂直
D.负检验电荷在M点的电势能大于在N点的电势能
6.如图所示，两条完全相同的圆弧形材料AOB和COD。两圆弧对应的圆心角都为120°，圆弧AOB固定在竖直平面内，圆弧COD固定在水平面内，O点为圆弧AOB和圆弧COD的中点，以O点为坐标原点、水平向右为x轴正方向，两圆弧形材料上均匀分布着等量正电荷，P点为两段圆弧的圆心，已知P点处的电场强度为、电势为，设圆弧AO在圆心P处产生的电场强度大小为E、电势为φ，选无穷远处的电势为零，下列说法正确的是( )
A.
B.电子在P处的电势能为，电子受到的电场力方向由P指向O
C.将比荷为的质子（不计重力）从P点无初速释放，则质子的最大速度为
D.若两段圆弧形材料上均匀分布着等量异种电荷，则x正半轴上各点电场强度为零，电势不为零
7.（多选）现有两个边长不等的正方形ABDC和abdc，如图所示，且间距相等。在的中点分别放等量的点电荷，其中的中点放的点电荷带正电，的中点放的点电荷带负电，取无穷远处电势为零。则下列说法中正确的是( )
A.O点的电场强度和电势均为零
B.把一正点电荷沿着的路径移动时，电场力所做的总功为零
C.同一点电荷在两点所受电场力不同
D.将一负点电荷由a点移到b点，电势能增大
8.示波管的内部结构如图所示。如果在偏转电极之间都没有加电压，电子束将打在荧光屏中心。偏转电极上加的是待显示的正弦信号电压，周期为偏转电极通常接入仪器自身产生的锯齿形电压，也叫扫描电压，周期为，下列说法错误的是( )
A.若，则电子向极板偏移
B.若，则电子向X极板偏移
C.若，则荧光屏上显示的是待测信号在一个周期内完整的稳定图像
D.若，则荧光屏上显示的是待测信号在两个周期内完整的稳定图像
9.（多选）如图所示，在匀强电场中，有边长为5 cm的等边三角形，三角形所在平面与匀强电场的电场线平行，O点为该三角形的中心，三角形各顶点的电势分别为，下列说法正确的是( )
A.O点电势为零
B.匀强电场的场强大小为80 V/m，方向由C指向A
C.在三角形外接圆的圆周上电势最低点的电势为1 V
D.将电子由C点移到A点，电子的电势能增加了4 eV
10.（多选）水平放置的平行板电容器上极板带正电，下极板带负电。电容器的极板长度为L，两极板间距离为d。一绝缘挡板倾斜放置，绝缘挡板的两端恰好与电容器的上、下极板的左、右端点接触，如图所示。一质量为m、电荷量为q的带正电小球以速度v垂直电场线从电容器的上极板边缘射入，恰好落在绝缘挡板的中心处。已知重力加速度为g，电场强度，下列说法正确的是( )
A.在此过程中带电小球的加速度大小为
B.若，则带电小球垂直落在挡板上
C.此过程所需的时间为
D.在此过程中电场力对带电小球做的功为
二、探究题（每空2分，共16分）
11.密立根用如图所示的实验装置来测定很小的带电油滴所带的电荷量。油滴从喷雰器喷出时由于摩擦而带电，落入两块相互平行的极板之间（M板带正电、N板带负电），透过显微镜寻找那些刚好悬浮在极板间的油滴。根据观测数据算出油滴的质量，再根据油滴悬浮时受到的电场力和重力平衡，可计算出油滴所带的电荷量。
（1）若P为从显微镜中观察到的悬浮油滴，则可推知P带_______电荷。（选填“正”或“负”）
（2）已知极板之间的距离为d，电压为U，则两板之间的电场强度E的大小为_______。
（3）油滴P可视为球体，并测得其半径为R，已知油的密度为ρ，重力加速度为g，极板之间的距离为d，电压为U，则该油滴的电荷量_________。（提示：球的体积公式）
（4）若在实验中观察到某一个带负电的油滴向下加速运动。在该油滴向下运动的过程中，下列说法正确的是( )
A.电场力做负功 B.重力和电场力的合力做正功
C.电势能逐渐增大 D.重力势能的减少量小于动能的增加量
12.研究与平行板电容器电容有关因素的实验装置如图所示，极板a与静电计相连，极板b接地。
（1）实验中，只在极板间插入有机玻璃板，静电计指针的张角________（填“变大”“变小”或“不变”）。
（2）实验中，只在极板间插入金属板，静电计指针的张角________（填“变大”“变小”或“不变”）。
（3）实验中，只增加极板带电荷量，静电计指针的张角_______（填“变大”“变小”或“不变”）。
（4）静电计_______（填“能”或“不能”）用电流表或电压表代替。
三、计算题（共34分）
13.（12分）如图所示，间距为的带电金属板竖直固定在绝缘水平面上，板间形成匀强电场，场强。N板接地（电势为零），其中央有一小孔，一根水平绝缘细杆通过小孔，其左端固定在M板上。现有一质量、带电荷量的小环套在细杆上，小环与细杆之间的动摩擦因数。小环以一定的初速度对准小孔向左运动，若小环与M板发生碰撞，碰撞中不损失能量（即碰后瞬间速度大小不变）。设带电小环大小不计且不影响金属板间电场的分布，g取。
（1）带电小环以多大的初速度进入电场，才能恰好到达M板？
（2）若带电小环以初速度进入电场，当其动能等于电势能时，距离N板多远？
（3）带电小环以多大的初速度进入电场，它在电场中运动时找不到动能与电势能相等的点？（计算结果保留两位有效数字）
14.（10分）电子束光刻技术以其分辨率高、性能稳定、功能强大而著称，其简化原理图如图所示，电子枪发射的电子经过成型孔后形成电子束，通过束偏移器后对光刻胶进行曝光。某型号光刻机的束偏移器长，极板间距离也为L，极板间有扫描电压，束偏移器中心轴线垂直晶圆上某芯片表面并过中心O点，束偏移器下端到芯片的距离为。若进入束偏移器时电子束形成的电流大小，单个电子的初动能，不计电子重力，忽略其他因素的影响。
（1）若扫描电压为零，O点每秒接收的能量是多少？
（2）若扫描电压为10 kV，电子束到达芯片时的位置与O点间的距离是多少？
15.（12分）如图所示，在绝缘水平面上，相距L的两点处分别固定着一个等量正电荷。是上两点，其中两点电势相等，O为的中点。一质量为m、电荷量为的小滑块（可视为质点）以初动能从a点出发，沿直线向b运动，其中小滑块第一次经过O点时的动能为初动能的3倍，到达b点时动能恰好为零，小滑块最终停在O点，重力加速度为g，求:
（1）小滑块与水平面间的动摩擦因数μ;
（2）两点间的电势差;
（3）小滑块运动的总路程s。
答案以及解析
1.答案：C
解析：根据等量异种点电荷的电场的对称性可知，a点场强等于c点场强，A错误；由题图乙可知，两点所在对称轴上的电场方向从左到右，由于沿电场线方向电势降低，因此a点电势比c点电势高，B错误；根据等量异种点电荷的电场的对称性可知，两点的场强大小相等、方向相同，C正确；根据等量异种点电荷的电场的特性可知，两点所在对称轴为等势线，带正电的试探电荷从b点运动到d点过程电场力做功为零，电势能不变，D错误。
2.答案：A
解析：虚线代表匀强电场内间距相等的一组等势面，一电子经过a时的动能为10 eV，从a到d的过程中该电子克服电场力所做的功为6 eV，动能减小了6 eV，电势能增加了6 eV，因此相邻等势面间的电势差为2 V。如果该电子的运动轨迹是直线，那么该电子从a到f克服电场力做的功为8 eV，到达f时的动能为2 eV，所以一定能到达f，A正确，B错误；如果该电子的运动轨迹是曲线，由于速度方向未知，垂直等势面方向的分速度大小未知，则该电子可能到达f，也可能到不了f，CD错误。
3.答案：B
解析：正离子在均匀辐向电场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有。这些离子的电荷量q相同，且沿同一半圆路径运动，半径R相同，场强E相同，将变形后可得，则这些离子的动能应相同。B正确，ACD错误。
4.答案：C
解析：电容器在充电过程中，电容器的电容C不变，仍然为15 μF，故A错误；根据可知，充电至9.0 kV时，该电容器所带电荷量是，故B错误；由题意可知，放电结束后电容器两极板间的电势差减为零，则这次放电过程中有0.135 C的电荷通过人体组织，故C正确；电容器放电过程中电流不恒定，故D错误。
5.答案：C
解析：根据电场线的指向知位于E点的点电荷带正电，位于F点的电荷带负电，N点的合场强水平向右，且，所以由点电荷场强公式知，A错误；只有电场线是直线，且初速度为0或初速度的方向与电场线方向平行时，带电粒子的运动轨迹才与电场线重合，而该电场线是一条曲线，故在M点由静止释放一带正电的检验电荷，其不可能沿电场线运动到N点，B错误；电场线和等势面垂直，所以过N点的等势面与垂直，C正确；沿电场线方向电势逐渐降低，，再根据，知，D错误。
6.答案：A
解析：由对称性可知圆弧AO在圆心P处产生的电场强度大小与圆弧BO在圆心P处产生的电场强度大小相等、方向夹角为60°，同理，圆弧CO在圆心P处产生的电场强度大小与圆弧DO在圆心P处产生的电场强度大小也相等、方向夹角也为60°，由几何知识可得，解得；电势为标量，每段圆弧在P处产生的电势都相等，有，即，A正确。电子带负电，所以在P处的电势能为，受到的电场力方向由P指向O，B错误。将比荷为的质子从P点无初速释放，根据动能定理有，解得质子的最大速度，C错误。若两段圆弧形材料上均匀分布着等量异种电荷，带正电的圆弧在x正半轴上产生的电场的电场强度沿x轴正方向，带负电的圆弧在x正半轴上产生的电场的电场强度沿x轴负方向，两段圆弧在x正半轴各点产生的场强大小相等，因此合场强为零，同时两段圆弧在x正半轴各点产生的电势大小相等，一正一负，总电势也为零，D错误。
7.答案：BD
解析：上下两个正、负点电荷在O点产生的电场强度向下，左右两个正、负点电荷在O点产生的电场强度向右，根据矢量合成法则可知，O点的电场强度不为零，方向为沿AD方向。在O点处电势为零，A错误。据对称性，两点处电势相等，把一正点电荷沿着的路径移动时，电场力做的总功为零，B正确。根据库仑定律和力的合成，同一点电荷在两点所受电场力相同，C错误。取无穷远处电势为零，a点的电势为正，三点电势相等，均为零，则负点电荷从a点移动到b点，电场力做负功，所以电势能增大，D正确。
8.答案：A
解析：若，电子带负电，向电势高的地方偏移，则电子向Y极板偏移，A错误；若，电子带负电，向电势高的地方偏移，则电子向X极板偏移，B正确；如果，荧光屏上显示的是待测信号在一个周期内完整的稳定图像，如果，荧光屏上显示的是待测信号在两个周期内完整的稳定图像，CD正确。
9.答案：BD
解析：由中点的电势为可知B与中点的连线为等势线，可知O点的电势为3 V，选项A错误；匀强电场的场强大小，方向由C指向A，选项B正确；在三角形外接圆的圆周上电势最低的点应该是平行于的直径与圆周的上方交点，A点的电势为1 V，则电势最低点的电势小于1 V，选项C错误；将电子由C点移到A点，电势降低4 V，则电子的电势能增加了4 eV，选项D正确。
10.答案：AB
解析：带电小球所受电场力与重力同向，根据牛顿第二定律可得小球在此运动过程中的加速度大小，A正确；小球做类平抛运动，画出小球的运动轨迹，如图所示，设挡板的倾角为α，小球落在挡板上时的速度偏向角为β，若小球垂直落在挡板上，有，根据类平抛运动的相关推论及几何知识可得，而，可得，B正确；小球在此过程中，在竖直方向上有，解得，C错误；在此过程中电场力对带电小球做的功，D错误。
11.答案：（1）负
（2）
（3）
（4）ABC
解析：（1）油滴受到向上的电场力，而M板带正电，则P带负电。
（2）两板之间的电场强度
（3）油滴P悬浮，则油滴P受到的重力和电场力平衡
即：
而：
联立以上各式，可得：
（4）带负电的油滴受到向上的电场力，油滴向下做加速运动，则电场力做负功，电势能变大，选项A、C正确；油滴向下做加速运动，则合力做正功，选项B正确；根据能量关系可知，重力势能的减少量等于电势能与动能的增加量之和，则重力势能的减少量大于动能的增加量，选项D错误。
12.答案：（1）变小
（2）变小
（3）变大
（4）不能
解析：（1）根据，只在极板间插入有机玻璃板，则介电系数增大，则电容C增大，根据可知，电荷量Q不变，则电压U减小，则静电计指针的张角变小；
（2）根据，只在极板间插入金属板，则两极板间距离减小，则电容C增大，根据可知，电荷量Q不变，则电压U减小，则静电计指针的张角变小；
（3）根据可知，电荷量Q增大，电容C不变，则电压U也会增大，指针张角变大；
（4）静电计与电压表、电流表的原理不同，不能用电压表或电流表替代静电计。
13.答案：（1）1.5 m/s
（2）0.125 m或0.05 m
（3）大于1.9 m/s
解析：（1）小环进入电场后，在电场力和摩擦力共同作用下减速直到M板，速度变为零，根据动能定理有
代入数据解得
（2）①带电小环以初速度进入电场后先做减速运动，若在减速过程中，其动能和电势能相等，设它距离N板的距离为x，则根据能量守恒定律有
代入数据解得
②带电小环以初速度进入电场后先做减速运动到达左边最远点后，向右加速返回到小孔的过程中，也可能会出现动能等于电势能的点，设它向左运动的最远距离为d，根据动能定理有
解得
当其动能等于电势能时，设带电小环距离N板的距离为y，则根据动能定理有
解得
（3）带电小环以初速度进入电场后，若它运动到M板时的动能大于其电势能，则它在电场中运动时找不到动能与电势能相等的点，则有
解得
14.答案：(1)
(2)0.002 m
解析：(1)若扫描电压为零，所有电子都会到达O点，则O点每秒接收的能量
（2）电子在束偏移器中的加速度大小
设电子进入束偏移器时的初速度大小为
电子在束偏移器中运动的时间
电子在束偏移器中的偏移量
电子从束偏移器中射出时，其速度方向的反向延长线一定过束偏移器的中心位置，设电子束到达芯片时的位置与O点间的距离为Y，根据几何关系有
联立解得
15.答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）由为的中点得，关于O点对称，则
设小滑块与水平面间的摩擦力大小为f，对于滑块从过程，由动能定理得：
而
联立得：
（2）对于滑块从过程，由动能定理得：
得
（3）对于小滑块从a开始运动到最终在O点停下的整个过程，由动能定理得:
而
联立得
