培优课 导数与函数的零点
分层作业
A层 基础达标练
1. 函数的零点个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 函数有三个零点，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3. 若函数在区间上只有一个零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. , D. ,
4. （多选题）若函数有两个零点，则实数的可能取值有( )
A. B. 0 C. 2 D. 4
5. 函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数.
6. 已知，，则函数的零点个数为.
7. 讨论函数的零点的个数.
B层 能力提升练
8. 已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9. 已知函数，其中为自然对数的底数，，则的零点个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10. 已知函数在上有零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
11. 已知，则函数零点的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 与 有关
12. （多选题）已知函数为常数），则下列结论正确的有( )
A. 若 有三个零点，则 的范围为
B. 当 时， 是 的极值点
C. 当 时， 的零点 ，且
D. 当 时， 恒成立
13. 方程在上的实数根的个数为.
14. 如果两个函数存在零点，分别为 ， ，若满足，则称两个函数互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为.
15. 已知.
（1） 当时，求的单调性；
（2） 讨论的零点个数.
C层 拓展探究练
16. 定义在上的函数满足，，当时，，则方程在上解的个数为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
培优课 导数与函数的零点
分层作业
A层 基础达标练
1. B
2. A
3. C
4. CD
5. 2
6. 3
7. 解 令，得设，则.当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，所以是的唯一极值点，且是极大值点，因此也是的最大值点，所以的最大值为.结合的图象（如图），可知当时，函数无零点；当或时，函数有且只有一个零点；当时，函数有两个零点.
B层 能力提升练
8. C
[解析]因为函数有两个不同的零点，所以方程有两个不同的实数根，因此函数与函数有两个交点.，当时，,单调递减；当时，,单调递增，所以当时，函数有最大值，最大值为，显然当时，，当时，，当时，，所以函数的图象如图所示.
通过函数的图象和上述分析的性质，知当,时，函数与函数有两个交点.故选.
9. C
[解析]由题意，得，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.因为，所以存在唯一，使得，即在上存在唯一零点.因为，所以存在唯一，使得，即在上存在唯一零点.综上，有且只有两个零点.故选.
10. C
[解析]由函数存在零点，知有解.设，则.当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，取得最小值，且，所以的取值范围是.故选.
11. A
[解析]令，得.令，，只需看两个图象的交点的个数.,所以在上单调递增.当 时， ，当 时， ,所以与有且只有一个交点.故选.
12. AC
[解析]有三个零点，即与有三个交点，设，则，则在上单调递增，在此区间内的值域为，在上单调递减，在上单调递增，在此区间内的值域为,,故与有三个交点，则，故正确；若，则，，，则在上单调递减，在上单调递增，则，故在上单调递减，故错误；若，则，此时仅有一个零点，且，又，，则，故正确；若，则.当时，，故错误.故选.
13. 1
[解析]，即，在同一平面直角坐标系中，分别作出函数和的大致图象如图所示，在上两函数的图象只有一个交点，即方程在上的实数根的个数为1.
14. ,
[解析]函数有唯一的零点2，由题意知函数的零点满足，即.因为，所以.设，则，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以.又，，所以实数的取值范围为,.
15. （1） 解 因为，，，所以，.
令，则，所以在上单调递增，且.
当时，，当时，，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.
（2） 解 因为.
令，易知在上单调递增，且，
故的零点转化为，即，.
设，则.
当时，无零点；
当时，，故为上的增函数，而，，故在上有且只有一个零点；
当时，若，则；若，则,故
若，则，故在上有且只有一个零点；
若，则，故在上无零点；
若，则，此时，而，.
设，，则，故在上单调递增，故，即，故此时在上有且只有两个不同的零点.
综上，当时，无零点；当或时，有一个零点；当时，有两个零点.
C层 拓展探究练
16. B
[解析]由题意可知，方程在上解的个数可转化为与在上的交点个数.因为，所以的图象关于直线对称.又，所以，从而是周期为2的周期函数.又由可得，，从而；，故在上单调递增，在上单调递减，且.当时，，故与在上的图象如图所示，
从而与在上的交点个数为4，故方程在上解的个数为4.故选.
