2023-2024学年吉林省长春市力旺实验中学八年级（上）开学数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 若，下列不等式不一定成立的是( )
A. B. C. D.
3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 如果一个三角形的两边长分别为和，则第三边长可能是( )
A. B. C. D.
5. 下列几种形状的瓷砖中，只用一种不能够铺满地面的是．( )
A. 正六边形 B. 正五边形 C. 正方形 D. 正三角形
6. 如图，在和中，点、、、在同一条直线上，，，只添加一个条件，不能判断≌的是( )
A.
B.
C.
D.
7. 如图，将绕点逆时针旋转后得到，若，则的度数是( )
A. B. C. D.
8. 若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 当________时，代数式与的值互为相反数．
10. 命题“若，则”是 命题填“真”或“假”
11. 如图，，，则的度数为______ ．
12. 如图，、、在同一直线上，≌，，那么 ______ 度
13. 如图，小陈从点出发，前进米后向右转，再前进米后又向右转，，这样一直走下去，他第一次回到出发点时一共走了______米．
14. 如图，中，，边上有一点，使得，将沿翻折得，此时，则 ______ 度
三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 本小题分
解下列方程、不等式．
；
．
16. 本小题分
解下列方程组、不等式组．
；
．
17. 本小题分
我国古代数学名著九章算术中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出钱，则多了钱；如果每人出钱，则少了钱问有多少人，物品的价值是多少？请你解决此问题．
18. 本小题分
已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值．
19. 本小题分
如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，，也在格点上．
画出先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的；
画出关于直线对称的；
画出绕点按逆时针方向旋转后所得的；
与组成的图形是轴对称图形吗？若是轴对称图形，请画出对称轴．
20. 本小题分
将沿的方向平移得到．
若，，求的度数；
若的周长为，，，连结，则四边形的周长为______ ．
21. 本小题分
如图，在中，是延长线上一点，满足，过点作，且，连接并延长，分别交，于点，．
求证：≌；
若，，求的长度．
22. 本小题分
高安腐竹始于唐代，距今已有多年的历史“五一”期间，高安市对、两种品牌的腐竹举行展销活动若购买箱品牌腐竹和箱品牌腐竹共需要元，购买箱品牌腐竹和箱品牌腐竹则需要元．
求、品牌腐竹每箱售价各为多少元？
小王计划购买、两种品牌腐竹共箱，预算总费用不超过元，则品牌腐竹最多能购买多少箱？
23. 本小题分
综合与实践
小明遇到这样一个问题，如图，中，，，点为的中点，求的取值范围小明的做法是：如图，延长到，使，连接，构造≌，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：小明证明≌用到的判定定理是：______
A.
B.
C.
D.
的取值范围是______ ．
小明总结：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图，在正方形各角都为直角中，为边的中点，、分别为边上的点，若，，，求的长．
24. 本小题分
如图，在中，，，，，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿运动到点停止同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿运动，到点停止，若设点运动的时间是秒．
点到达点时， ______ 秒；点到达点时， ______ 秒；
当时，求的值；
当点在边上时；
当的面积等于时，直接写出的值．
当点或点到边和边的距离相等时，直接写出的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符符合题意；
D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
2.【答案】
【解析】解：、，则，
所以该选项不符合题意；
B、，则，所以，
所以该选项符合题意；
C、，则，
所以该选项不符合题意；
D、，则，
所以该选项不符合题意．
故选：．
直接利用不等式的基本性质分别分析得出答案．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解决问题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，
由得，
由得，
不等式组的解集为．
故选：．
先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4.【答案】
【解析】解：设第三边长为，则
由三角形三边关系得，即．
故选C．
根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；可求第三边长的范围，再选出答案．
本题考查了三角形三边关系，此题实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
5.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了平面镶嵌，用到的知识点是只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形．
根据平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能，即可得出答案．
【解答】
解：正六边形的每个内角是，能整除，能密铺；
B.正五边形每个内角是，不能整除，不能密铺；
C.正方形的每个内角是，能整除，能密铺；
D.正三角形的每个内角是，能整除，能密铺．
故选B．
6.【答案】
【解析】解：，
，
A、，，≌能判断≌，不符合题意；
B、，利用可以判断≌，不选项符合题意；
C、，不能判断≌，符合题意；
D、，能判断≌，不符合题意．
故选：．
先证明，再根据三角形全等的判定方法做出选择即可．
本题考查三角形全等的判定，根据、、、、判断三角形全等，找出三角形全等的条件是解答本题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．先根据旋转的性质得到，然后利用进行计算即可．
【解答】
解：绕点逆时针旋转后得到，
，
，
．
故选B．
8.【答案】
【解析】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
化系数为，得，
关于的方程的解是非负数，
，
解得：．
故选：．
根据解一元一次方程的基本步骤去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为解得，由方程的解是非负数可得，解该不等式即可．
本题主要考查解一元一次方程、解一元一次不等式，熟知解一元一次方程和一元一次不等式的基本步骤是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：根据题意得
化简得：
解得：．
故答案为．
因为相反数的两个数之和是，那么．
本题考查相反数的定义，从而推出相反数的两个数之和是，列出方程解答就可以了．
10.【答案】真
【解析】解：
，
命题“若，则”是真命题．
故答案为：真．
根据不等式的基本性质即可解答．
本题主要考查命题真假的判断，掌握不等式的基本性质是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：延长交于点，如图，
是的外角，，
，
，
，
是的外角，
．
故答案为：．
延长交于点，由三角形的外角性质可求得的度数，再次利用三角形的外角性质即可求．
本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
12.【答案】
【解析】解：≌，
，
，
．
故答案为：．
由≌，得到，由直角三角形的性质得到．
本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等．
13.【答案】
【解析】解：依题意可知，小陈所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为，
则，解得，
他第一次回到出发点时一共走了：米，
故答案为：．
小陈从点出发，前进米后向右转，再前进米后又向右转，，这样一直走下去，他第一次回到出发点时，所走路径为正多边形，根据正多边形的外角和为，判断多边形的边数，再求路程．
本题考查了多边形的外角和，正多边形的判定与性质．关键是根据每一个外角判断多边形的边数．
14.【答案】
【解析】解：设，
沿翻折得，
，
，
，
，
由三角形内角和定理得，
，
，
，
，
故答案为：．
设，根据翻折得，，由，，所以，由三角形内角和定理求得即可．
本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，掌握翻折前后图形的大小、形状不变．
15.【答案】解：，
，
，
，
，
；
，
，
，
．
【解析】利用解一元一次方程的方法进行求解即可；
利用解一元一次不等式的方法进行求解即可．
本题主要考查解一元一次不等式，解一元一次方程，解答的关键是对相应的知识的掌握．
16.【答案】解：，
，得，
解得，
把代入，得．
故方程组的解为；
，
解不等式，得，
解不等式，得，
故不等式组的解集是．
【解析】方程组利用加减法求解即可；
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】解：设有人，
根据题意得，，
解得，
物价：元，
答：有人，物品的价值是钱．
【解析】设有人，根据题意得，，解出即可．
本题考查了一元一次方程的应用，掌握利用方程解决实际问题的基本思路，设、列、解、答是解题的关键．
18.【答案】解：，
得：，
又，
，
解得：，
的值为．
【解析】利用，可得出，结合，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
本题考查了解二元一次方程组以及解一元一次方程，根据二元一次方程组的解满足二元一次方程，找出关于的一元一次方程是解题的关键．
19.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作；
如图，为所作；
与组成的图形是轴对称图形，如图，
对称轴为直线或
【解析】利用网格特点和平移的性质画出、、的对应点、、即可；
利用网格特点和轴对称的性质画出、、的对应点、、即可；
利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点、、即可；
利用轴对称图形的定义可判断与组成的图形是轴对称图形，其中对称轴为直线或
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
20.【答案】
【解析】解：由图形平移的特征可知和的形状与大小相同，
即≌，
，
，
；
，，
，
，
的周长为，
四边形的周长，
故答案为：．
根据平移的性质求出，再利用三角形的内角和等于列式计算即可得解；
先求出，再根据平移的性质和四边形的周长解答即可．
本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
21.【答案】证明：，
，
在与中，
，
≌；
解：≌，
，
．
【解析】根据证明与全等即可；
根据全等三角形的性质解答即可．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质．
22.【答案】解：设品牌腐竹每箱售价为元，品牌腐竹每箱售价为元，
由题意得：，
解得，
答：品牌腐竹每箱售价为元，品牌腐竹每箱售价为元；
设购买品牌腐竹为箱，则购买品牌腐竹为箱，
由题意得：，
解之得：，
答：品牌腐竹最多购买箱．
【解析】设品牌腐竹每箱售价为元，品牌腐竹每箱售价为元，根据“购买箱品牌腐竹和箱品牌腐竹共需要元，购买箱品牌腐竹和箱品牌腐竹则需要元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买品牌腐竹为箱，则购买品牌腐竹为箱，根据总价单价数量，结合总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】
【解析】证明：如图，延长到，使，连接，
是中点，
，
在和中，
，
≌．
故选：；
解：和，
，
，
，
，
故答案为：；
解：如图，延长，交于，
四边形是正方形，
，
，
，
是中点，
，
，
≌，
，，
，
垂直平分，
，
，
．
延长到，使，连接，由即可证明问题；
由三角形三边的关系即可求出的取值范围；
延长，交于，即可证明≌，得到，，由线段垂直平分线的性质定理得到．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，一元一次不等式的应用，关键是通过作辅助线构造全等三角形．
24.【答案】
【解析】解：，点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，
点到达点的时间秒，
，点以每秒个单位的速度沿运动，
点从点到达点的时间为：秒，
点到达点的时间为：秒，
故答案为：；；
当点在线段上时，，
则，
，
．
当点在线段上时，，
，
，
综上所述，的长为时，的值为或；
当点在点的左侧时，
则，
当点在点的右侧时，
则；
则的面积，
即或，
解得：或；
当点点到边和边的距离相等时，如下图，
则点在的角平分线上，
过点作于点，
在中，，，则，
则，，
由题意得，，，
在中，由勾股定理得：，
则，
解得：；
当点到边和边的距离相等时，
由勾股定理得：，
即，
解得：；
综上，或．
根据题意分别写出的值；
分点在线段上、点在线段上两种情况，根据图形解答；
当点在点的左侧或右侧两种情况，分别求解即可；
分点或点到边和边的距离相等两种情况，利用勾股定理即可求解．
本题考查的是三角形综合题，涉及到的面积计算、勾股定理的运用、角平分线的性质等，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
第1页，共1页
