四川省绵阳市涪城区2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷（解析版）
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
2．（3分）下列算式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O（ ）
A．∠ABD＝∠CBD B．∠BAD＝2∠ABC C．OB＝OD D．OD＝AD
4．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，点E是CD中点，连接OE（ ）
A．AB＝AD B．OE＝AB C．∠DOE＝∠DEO D．∠EOD＝∠EDO
5．（3分）如图，E，F分别是 ABCD的边AD、BC上的点，EF＝6，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，则△GEF的周长为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
6．（3分）在平行四边形ABCD中，若∠BAD的平分线交BC于点E，若AD＝5，则四边形ABCD的周长是（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
7．（3分）某物体在力F的作用下，沿力的方向移动的距离为s，力对物体所做的功W与s的对应关系如图所示（ ）
A．W＝s B．W＝20s C．W＝8s D．s＝
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点F分别是AC，BC的中点，则添加下列条件可以使四边形DECF成为矩形的是（ ）
A．∠ACD＝∠BCD B．AD＝BD C．CD⊥AB D．CD＝AC
9．（3分）在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力F（N）（N）的几组数据用电脑绘制成如图象（不计绳重和摩擦），请你根据图象判断以下结论正确的序号有（ ）
①物体的拉力随着重力的增加而增大；
②当物体的重力G＝7N时，拉力F＝2.2N；
③拉力F与重力G成正比例函数关系；
④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为0.5N．
A．①② B．②④ C．①④ D．③④
10．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，OE与AB交于点F．若OE＝5，AC＝8（ ）
A．20 B．22 C．24 D．40
11．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝12，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG＝45°；④AG∥CF；⑤S△FGC＝．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．（3分）如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，AB＝BC；②S ABCD＝AB AC；③S△ABE＝2S△AOE；④OE＝AD，成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
14．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝4，则菱形ABCD的面积为 ．
15．（3分）如图，CD是△ABC的中线，点E，EF＝2，则BD＝ ．
16．（3分）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 cm．
17．（3分）如图，一次函数y＝x+4与坐标轴分别交于A，B两点，C分别是线段AB，OB上的点，PC＝PO，则点P的坐标为 ．
18．（3分）生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：μmol m﹣2 s﹣1），结果统计如下：
品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 平均数
甲 32 30 25 18 20 25
乙 28 25 26 24 22 25
则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
三、解答题（共46分）
19．（6分）计算：
（1）﹣（﹣5）0；
（2）（）2﹣（2）（2）．
20．（6分）如图，网格是由小正方形拼成，每个小正方形的边长都为1．四边形ABCD的四个点都在格点上．
（1）四边形ABCD的面积为 ，周长为 ；
（2）求证：∠BAD是直角．
21．（8分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度移动，当△ABP为直角三角形时，求t的值．
22．（8分）为了提升学生对新型冠状病毒的防范意识，我市某重点中学对初2021级全年级1800人进行了新型冠状病毒防护安全知识测试（满分100分）．测试完后，B两班（每班均为60名学生）分别抽取了12份成绩，请补充完整．
【收集数据】
A班介于85分与95分之间（含85分，不含95分）的学生测试成绩如下：
85，94，94，89，87．
B班12名学生测试成绩统计如下：
79，99，88，77，97，94，91，94，100．
【整理数据】
按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
组别 频数 75≤x＜80 80≤x＜85 85≤x＜90 90≤x＜95 95≤x≤100
A 0 1 a 3 b
B 2 1 1 4 4
【分析数据】
两组样本数据的平均数、众数中位数方差如下表所示：
班级 众数 中位数 平均数 方差
A 100 c 91 43.7
B 94 d 91 55.2
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ．
（2）若规定得分在90分及以上为优秀，请估计全年级的学生中知识测试优秀的学生有多少人？
（3）你认为哪个班的学生知识测试的整体水平较好？请说明一条理由．
23．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，分别连接EF、BD，BD与AF、AE分别相交于点M、N．
（1）求证：EF＝BE+DF．为了证明“EF＝BE+DF”，小明延长CB至点G，使BG＝DF，请画出辅助线并按小明的思路写出证明过程．
（2）若正方形ABCD的边长为6，BE＝2，求DF的长．
24．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O
（1）求证：四边形AFCE为菱形．
（2）求AF的长．
（3）如图2，动点P，Q分别从A、C两点同时出发，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，点P的速度为每秒2cm，点Q的速度为每秒1.2cm，求t的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【分析】一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先将各选项进行化简，再根据被开方数是否相同进行判断即可．
【解答】解：A、＝2和，本选项不合题意；
B、＝2与，本选项不合题意；
C、与不是同类二次根式；
D、＝2，是同类二次根式．
故选：D．
【点评】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及同类二次根式的概念．
2．（3分）下列算式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据同类二次根式概念，合并同类二次根式法则等逐项判断．
【解答】解：与不是同类二次根式，故A错误；
2﹣2，故B错误；
＝，故C错误；
×＝，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
3．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O（ ）
A．∠ABD＝∠CBD B．∠BAD＝2∠ABC C．OB＝OD D．OD＝AD
【分析】由平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
4．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，点E是CD中点，连接OE（ ）
A．AB＝AD B．OE＝AB C．∠DOE＝∠DEO D．∠EOD＝∠EDO
【分析】由菱形的性质可得AB＝AD＝CD，AC⊥BD，由直角三角形的性质可得OE＝DE＝CE＝CD＝AB，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD，AC⊥BD，
∵点E是CD的中点，
∴OE＝DE＝CE＝CD＝，故选项B不合题意；
∴∠EOD＝∠EDO，故选项D不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
5．（3分）如图，E，F分别是 ABCD的边AD、BC上的点，EF＝6，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，则△GEF的周长为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，由平行线的性质得到∠AEG＝∠EGF，根据折叠的性质得到∠GEF＝∠DEF＝60°，推出△EGF是等边三角形，于是得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEG＝∠EGF，
∵将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，
∴∠GEF＝∠DEF＝60°，
∴∠AEG＝60°，
∴∠EGF＝60°，
∴△EGF是等边三角形，
∵EF＝6，
∴△GEF的周长＝18，
故选：C．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定，熟练掌握翻折变换的性质是解决问题的关键．
6．（3分）在平行四边形ABCD中，若∠BAD的平分线交BC于点E，若AD＝5，则四边形ABCD的周长是（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【分析】根据平行四边形的性质得到AD＝BC＝5，BE：CE＝3：2，DC＝AB＝3，AD∥BC，推出∠DAE＝∠BEA，根据AE平分∠BAD，能证出∠BAE＝∠BEA，根据等腰三角形的判定得到AB＝BE＝3，代入周长公式即可求出四边形ABCD的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝5，
∵BE：CE＝3：7，
∴BE＝3，CE＝2，
∴DC＝AB＝2，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝3，
∴四边形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝7×(5+3)＝16．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是求出BE和BC的长度．题型较好，难度适中
7．（3分）某物体在力F的作用下，沿力的方向移动的距离为s，力对物体所做的功W与s的对应关系如图所示（ ）
A．W＝s B．W＝20s C．W＝8s D．s＝
【分析】两点确定一条直线解析式，设W与s的解析式为W＝Ks，把s＝20，W＝160代入上式，可得解析式．
【解答】解：设W与s的关系解析式为W＝Ks（K≠0），
当s＝20时，W＝160，
把（20，160）代入上式得，
160＝20K，
解得K＝8，
∴W＝6s，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，解本题关键理解题意和图象，掌握一次函数的性质和代入法求值．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点F分别是AC，BC的中点，则添加下列条件可以使四边形DECF成为矩形的是（ ）
A．∠ACD＝∠BCD B．AD＝BD C．CD⊥AB D．CD＝AC
【分析】添加AD＝BD后利用三角形中位线定理和平行四边形的判定得出四边形DECF是平行四边形，再根据∠ACB＝90°，得出四边形DECF成为矩形．
【解答】解：添加AD＝BD，
∵点E，点F分别是AC，AD＝BD，
∴ED∥BC，DF∥AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴平行四边形DECF是矩形，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的判定，根据三角形中位线定理解答是解题的关键．
9．（3分）在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力F（N）（N）的几组数据用电脑绘制成如图象（不计绳重和摩擦），请你根据图象判断以下结论正确的序号有（ ）
①物体的拉力随着重力的增加而增大；
②当物体的重力G＝7N时，拉力F＝2.2N；
③拉力F与重力G成正比例函数关系；
④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为0.5N．
A．①② B．②④ C．①④ D．③④
【分析】由函数图象直接可以判断①③④，设出拉力F与重力G的函数解析式用待定系数法求出函数解析式，把G＝7代入函数解析式求值即可判断②．
【解答】解：由图象可知，拉力F随着重力的增加而增大，
故①正确；
∵拉力F是重力G的一次函数，
∴设拉力F与重力G的函数解析式为F＝kG+b（k≠0），
则，
解得：，
∴拉力F与重力G的函数解析式为F＝0.2G+2.5，
当G＝7时，F＝6.2×7+5.5＝1.4，
故②错误；
由图象知，拉力F是重力G的一次函数，
故③错误；
∵G＝0时，F＝0.4，
故④正确．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是数形结合思想的运用．
10．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，OE与AB交于点F．若OE＝5，AC＝8（ ）
A．20 B．22 C．24 D．40
【分析】先证四边形AEBO为平行四边形，再由菱形的性质得∠AOB＝90°，从而可得四边形AEBO是矩形；根据勾股定理和菱形的面积公式解答即可．
【解答】解：∵BE∥AC，AE∥BD
∴四边形AEBO是平行四边形．
又∵菱形ABCD对角线交于点O
∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．
∴四边形AEBO是矩形；
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝AC＝3，AC⊥BD，
∵四边形AEBO是矩形，
∴AB＝OE＝5，
∴OB＝＝＝3，
∴BD＝4OB＝6，
∴菱形ABCD的面积＝AC BD＝．
故选：C．
【点评】本题考查的是菱形的性质、矩形的判定与性质和判定、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
11．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝12，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG＝45°；④AG∥CF；⑤S△FGC＝．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】依据HL即可判定Rt△ABG≌Rt△AFG；依据∠BAG＝∠FAG，∠DAE＝∠FAE，即可得到∠EAG＝∠BAD；依据勾股定理列方程，即可得到DE＝4，CE＝8，进而得出CE＝2DE；依据三角形外角性质，即可得到∠AGB＝∠GCF，即可得到AG∥CF；根据GF＝6，EF＝4，△GFC和△FCE等高，即可得到S△GFC＝×S△GCE＝．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠B＝∠GCE＝∠D＝90°，
由折叠的性质得：AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°，
∴∠AFG＝90°＝∠B，AB＝AF，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），故①正确；
∴∠BAG＝∠FAG，
由折叠可得，∠DAE＝∠FAE，
∴∠EAG＝∠BAD＝45°；
由题意得：EF＝DE，BG＝CG＝7＝GF，
设DE＝EF＝x，则CE＝12﹣x．
在直角△ECG中，根据勾股定理2+CG2＝GE3，
即（12﹣x）2+65＝（x+6）2，
解得：x＝7，
∴DE＝4，CE＝8，
∴CE＝4DE，故③正确；
∵CG＝BG，BG＝GF，
∴CG＝GF，
∴∠GFC＝∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB＝∠AGF，
∵∠AGB+∠AGF＝2∠AGB＝∠GFC+∠GCF＝2∠GCF，
∴∠AGB＝∠GCF，
∴AG∥CF，故④正确；
∵S△GCE＝GC CE＝，
∵GF＝6，EF＝4，
∴S△GFC：S△FCE＝3：2，
∴S△GFC＝×24＝．
故选：D．
【点评】本题考查的是翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形的面积计算等知识的综合运用；解折叠问题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
12．（3分）如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，AB＝BC；②S ABCD＝AB AC；③S△ABE＝2S△AOE；④OE＝AD，成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用平行四边形的性质可得∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，利用角平分线的性质证明△ABE是等边三角形，然后推出AE＝BE＝BC，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°，
∵AB＝BC，
∴AE＝BE＝BC，
∴AE＝CE，故①错误；
可得∠EAC＝∠ACE＝30°
∴∠BAC＝90°，
∴S ABCD＝AB AC，故②正确；
∵BE＝EC，
∴E为BC中点，
∴S△ABE＝S△ACE，
∵AO＝CO，
∴S△AOE＝S△EOC＝S△AEC＝S△ABE，
∴S△ABE＝5S△AOE；故③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝CO，
∵AE＝CE，
∴EO⊥AC，
∵∠ACE＝30°，
∴EO＝EC，
∵EC＝AB，
∴OE＝BC＝，故④正确；
故正确的个数为4个，
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形是关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥﹣3且x≠5 ．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+3≥0且x﹣8≠0，
解得x≥﹣3且x≠5．
故答案为：x≥﹣3且x≠5．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝4，则菱形ABCD的面积为 14 ．
【分析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案．
【解答】解：∵BD＝7，AC＝4，
∴菱形ABCD的面积为：×4×7＝14，
故答案为：14．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形面积＝ab（a、b是两条对角线的长度）．
15．（3分）如图，CD是△ABC的中线，点E，EF＝2，则BD＝ 4 ．
【分析】先证明EF是△ACD的中位线，由三角形中位线定理得出AD＝2EF＝4，由CD是△ABC的中线，得出BD＝AD即可．
【解答】解：∵点E，F分别是AC，
∴EF是△ACD的中位线，
∴AD＝2EF＝4，
∵CD是△ABC的中线，
∴BD＝AD＝5；
故答案为：4．
【点评】本题考查了三角形的中线、三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
16．（3分）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 13 cm．
【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【解答】解：如图：
∵高为12cm，底面周长为10cm，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D＝5cm，BD＝12﹣2+AE＝12cm，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝＝13（cm）．
故答案为：13
【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
17．（3分）如图，一次函数y＝x+4与坐标轴分别交于A，B两点，C分别是线段AB，OB上的点，PC＝PO，则点P的坐标为 （﹣2，4﹣2） ．
【分析】先根据一次函数的解析式，可以求得点A和点B的坐标，依据等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，即可得到点P的坐标．
【解答】解：∵一次函数y＝x+4与坐标轴交于A、B两点，
y＝x+4中，令x＝4；令y＝0，
∴AO＝BO＝4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO＝45°，
过P作PD⊥OC于D，则△BDP是等腰直角三角形，
∵∠PBC＝∠CPO＝∠OAP＝45°，
∴∠PCB+∠BPC＝135°＝∠OPA+∠BPC，
∴∠PCB＝∠OPA，
在△PCB和△OPA中，
，
∴△PCB≌△OPA（AAS），
∴AO＝BP＝8，
∴Rt△BDP中，BD＝PD＝，
∴OD＝OB﹣BD＝3﹣2，
∵PD＝BD＝8，
∴P（﹣2，4﹣2），
故答案为（﹣2，6﹣2）．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质，结合等腰三角形的性质，判定全等三角形是解决问题的关键．
18．（3分）生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：μmol m﹣2 s﹣1），结果统计如下：
品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 平均数
甲 32 30 25 18 20 25
乙 28 25 26 24 22 25
则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是 乙 （填“甲”或“乙”）．
【分析】直接利用方差公式，进而计算得出答案．
【解答】解：甲的方差为：＝[（32﹣25）2+（30﹣25）2+（25﹣25）5+（18﹣25）2+（20﹣25）2]＝29.7；
乙的方差为：＝[（28﹣25）2+（25﹣25）2+（26﹣25）3+（24﹣25）2+（22﹣25）2]＝2．
∵29.6＞4，
∴两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是乙．
故答案为：乙．
【点评】此题考查了方差、平均数，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
三、解答题（共46分）
19．（6分）计算：
（1）﹣（﹣5）0；
（2）（）2﹣（2）（2）．
【分析】（1）先根据零指数幂的意义计算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式＝3+﹣1
＝4﹣1；
（2）原式＝5﹣2+3﹣（20﹣3）
＝3﹣2﹣17
＝﹣9﹣5．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．（6分）如图，网格是由小正方形拼成，每个小正方形的边长都为1．四边形ABCD的四个点都在格点上．
（1）四边形ABCD的面积为 10.5 ，周长为 ；
（2）求证：∠BAD是直角．
【分析】（1）根据题意可得四边形ABCD的面积＝4×5﹣×2×1﹣×5×1﹣×2×4﹣×（1+3）×1，然后进行计算即可解答，再利用勾股定理求出AD，CD，AB，BC的长，从而求出四边形ABCD的周长；
（2）连接BD，利用勾股定理求出BD2，再根据勾股定理的逆定理进行计算，可证△BAD是直角三角形，即可解答．
【解答】（1）解：由题意得：
四边形ABCD的面积＝4×5﹣×2×7﹣×2×8﹣
＝20﹣5﹣2.5﹣7﹣2
＝10.5，
CD5＝12+52＝5，
AD2＝12+62＝5，
BC3＝12+42＝26，
AB2＝52+45＝20，
∴CD＝，AD＝，AB＝，
∴四边形ABCD的周长＝CD+AD+BC+AB＝4+，
∴四边形ABCD的面积为10.4，周长为，
故答案为：10.5，；
（2）证明：连接BD，
由题意得：
BD4＝42+82＝25，
∵AD2+AB4＝5+20＝25，
∴BD2＝AD8+AB2，
∴△BAD是直角三角形，
∴∠BAD是直角．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
21．（8分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度移动，当△ABP为直角三角形时，求t的值．
【分析】分类讨论，分∠APB为直角和∠BAP为直角两种情况来求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，
由勾股定理得：BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣82＝16，
∴BC＝4cm．
根据题意得：BP＝tcm．
①如图①，当∠BAP为直角时，
BP＝tcm．CP＝（t﹣6）cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP7＝32+（t﹣2）2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，
∴58+32+（t﹣5）2＝t2，
解得．
②如图②，当∠APB为直角时，
此时点P与点C重合，
BP＝BC＝4cm，
∴t＝4．
∴当△ABP为直角三角形时，t＝6或．
【点评】本题考查勾股定理，解题关键是根据题意进行分类讨论求解，根据不同情况画出图形并利用勾股定理求解是解题的关键．
22．（8分）为了提升学生对新型冠状病毒的防范意识，我市某重点中学对初2021级全年级1800人进行了新型冠状病毒防护安全知识测试（满分100分）．测试完后，B两班（每班均为60名学生）分别抽取了12份成绩，请补充完整．
【收集数据】
A班介于85分与95分之间（含85分，不含95分）的学生测试成绩如下：
85，94，94，89，87．
B班12名学生测试成绩统计如下：
79，99，88，77，97，94，91，94，100．
【整理数据】
按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
组别 频数 75≤x＜80 80≤x＜85 85≤x＜90 90≤x＜95 95≤x≤100
A 0 1 a 3 b
B 2 1 1 4 4
【分析数据】
两组样本数据的平均数、众数中位数方差如下表所示：
班级 众数 中位数 平均数 方差
A 100 c 91 43.7
B 94 d 91 55.2
（1）a＝ 3 ，b＝ 5 ，c＝ 94 ，d＝ 93 ．
（2）若规定得分在90分及以上为优秀，请估计全年级的学生中知识测试优秀的学生有多少人？
（3）你认为哪个班的学生知识测试的整体水平较好？请说明一条理由．
【分析】（1）根据题意可知A班介于85分与95分之间有6人，结合表格给出的信息可求得a、b、c、d的值；
（2）根据抽取的24份成绩中有16份是90分以上的，用样本估计总体从而推出全年级学生中知识测试优秀的学生人数；
（3）根据表格结合众数、中位数、平均数和方差的意义进行分析即可．
【解答】解：（1）根据题意可知A班介于85分与95分之间有6人，
∴a＝6﹣5＝3，b＝12﹣1﹣3﹣3＝5，
∵A班抽取的成绩从小到大排序后位于中间的两个成绩是：94、94、94，
∴c＝94，d＝（92+94）÷8＝93，
故答案为：3，5，94．
（2）根据题意可知年级从A，B两班分别抽取了12份成绩，
∴全年级的学生中知识测试优秀的学生有：1800×＝1200（人），
答：全年级的学生中知识测试优秀的学生有1200人．
（3）从众数来看：A班成绩为100分的人数最多，B班成绩为94分的人数最多；
从中位数来看：A班成绩中位数为94分，B班成绩的中位数为93分；
从方差来看：A班成绩的方差小于B班成绩的方差，则A班成绩更为集中，
综上所述，A班的学生知识测试的整体水平较好．
【点评】本题考查方差、用样本估计总体、频数（率）分布表、加权平均数、中位数和众数，通常要先根据已知条件推出各个数据，再对数据进行分析．
23．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，分别连接EF、BD，BD与AF、AE分别相交于点M、N．
（1）求证：EF＝BE+DF．为了证明“EF＝BE+DF”，小明延长CB至点G，使BG＝DF，请画出辅助线并按小明的思路写出证明过程．
（2）若正方形ABCD的边长为6，BE＝2，求DF的长．
【分析】（1）延长CB到G，使BG＝DF，连接AG，证得△ABG≌△ADF，△AEF≌△AEG，最后利用等量代换求得答案即可；
（2）根据（1）中的结论，设正方形的边长为x，列方程可解答．
【解答】（1）证明：延长CB至点G，使BG＝DF，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADF＝90°，
∴∠ABE＝∠ABG＝90°，
在△ABG和△ADF中，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠DAF＝∠BAG，AF＝AG，
∴∠GAE＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝90°﹣45°＝45°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠GAE＝∠EAF，
在△AEF和△AEG中，
∴△AEF≌△AEG（SAS），
∴EF＝EG，
∵EG＝BE+BG，
∴EF＝BE+DF；
（2）解：∵BC＝6，BE＝2，
∴EC＝2，
由（1）知：EF＝BE+DF＝2+DF，
在Rt△CEF中，根据勾股定理得：EF2＝CE4+CF2，
∴（2+DF）6＝42+（4﹣DF）2，
∴DF＝3．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O
（1）求证：四边形AFCE为菱形．
（2）求AF的长．
（3）如图2，动点P，Q分别从A、C两点同时出发，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，点P的速度为每秒2cm，点Q的速度为每秒1.2cm，求t的值．
【分析】（1）先证明四边形ABCD为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；
（2）根据勾股定理即可求AF的长；
（2）分情况讨论可知，P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE，
∵EF垂直平分AC，
∴OA＝OC，
∵在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形；
（2）设菱形的边长AF＝CF＝xcm，则BF＝（8﹣x）cm，
在Rt△ABF中，AB＝4cm，得
16+（2﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴AF＝5（cm）；
（3）由作图可以知道，P点AF上时，此时A，C，P，
同理P点AB上时，Q点DE或CE上，
∴只有当P点在BF上，Q点在ED上时，
∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，
∴PC＝QA，
∵点P的速度为每秒2cm，点Q的速度为每秒3.2cm，
∴PC＝2t，QA＝12﹣5.2t，
∴2t＝17﹣5.2t，
解得：t＝，
∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时秒．
【点评】本题考查了矩形的性质的运用，菱形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时分析清楚动点在不同的位置所构成的图形的形状是解答本题的关键．
