2022-2028学年第二学期期中考试
九年级数学试卷
一、选择题（共7小题，每小题3分，共21分，每小题只有一个选项符合题意）
1．计算的结果等于（ ）
A． B． C．5 D．1
2．用一个平面截长方体，得到如右图的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．“堑堵”的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．节肢动物是最大的动物类群，目前已命名的种类有120万种以上，将数据120万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．若一次函数的函数值y随x的增大而减小，则k的值可能是（ ）
A．2 B． C． D．
6．如图，AB为的直径，弦CD交AB于点E， ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
7．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ）
A．或4 B．4或 C．或4 D．或
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
8．方程的解为_______．
9．一个正n边形的内角和是它外角和的4倍，则________．
10．《墨子 天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为_________．
11．如图，在中，，点D，E分别在AB，BC上，将沿直线DE翻折，点B的对应点恰好落在AB上，连接，若，则AD的长为______．
12．已知点关于x轴对称，若反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的表达式为_______．
13．如图，中，，D为AB边上一动点，E为平面内一点，以点B，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为_______．
三、解答题（共14小题，共81分．解答题要写出过程）
14．（本题满分4分）计算：
15．（本题满分4分）解不等式：．
16．（本题满分4分）化简：．
17．（本题满分4分）如图，在中，点D是AB的中点，．用尺规作图的方法在BC上求作一点E，使得直线ED平分的周长，（保留作图底迹，不写作法）
18．（本题满分4分）如图，已知和，点D在AB边上，若，．求证：．
19．（本题满分5分）如图，把一块长为的矩形硬纸板的四角剪去四个边长为的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖长方体纸盒．若纸盒的体积是，请求出矩形硬纸板的宽．
20．（本题满分5分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为，若一次函数的图象经过C点，且与x轴、y轴分别交于点M，N，求的面积．
21．（本题满分5分）从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率．
（1）若甲一定参加比赛，则再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是________；
（2）任意选取2名学生参加比赛，求一定选中乙的概率，（用画树状图或列表的方法求解）
22．（本题满分6分）共享单车是高校学生喜爱的“绿色出行”方式之一，许多高校均投力了使用手机支付就可随取随用的共享单车．某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某天部分出行学生使用共享单车的情况，并整理成如下统计表．
使用次数 0 1 2 3 4 5
人数 11 15 24 27 18 5
（1）这天部分出行学生使用共享单车次数的中位数是_______，众数是_____；
（2）这天部分出行学生平均每人使用共享单车约多少次 （结果保留整数）
（3）若该校某天有1500名学生出行，请你估计这天使用共享单车次数在3次以上的学有多少人
23．（本题满分7分）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼AB的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，斜坡的倾斜角为，，小文在C点处测得楼顶端A的仰角为，在D点处测得楼顶端A的仰角为．（点A，B，C，D在同一平面内）
（1）求C，D两点的高度差；
（2）求居民楼AB的高度．（结果精确到，参考数据：）
24．（本题满分7分）甲、乙两家水果商店，平时以同样的价格出售品质相同的樱桃．春节期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，甲商店的樱桃价格为63元/kg；乙商店的樱桃价格为70元/kg，若一次购买以上，超过部分的樱桃价格打8折．
（1）设购买樱桃（单位：元）分别表示顾客到甲、乙两家商店购买樱桃的付款金额，求关于x的函数关系式；
（2）春节期间，甲、乙两家水果店均按以上销售方式推出售价为315元的樱桃礼盒，若只考虑重量因素，选择在哪家水果店购买樱桃礼盒更合算
25．（本题满分8分）如图，是的外接圆，点O在BC边上，的平分线交于点D，连接BD，CD，过点D作交AC的延长线于点P．
（1）求证：DP是的切线；
（2）若，求线段PC的长．
26．（本题满分8分）如图，在斜坡OE底部点O处设置一个可移动的自动喷水装置，喷水装置的高度OA为1.4米，喷水装置从A点喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为6米时，达到最大高度5米．以点O为原点，喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的表达式；
（2）斜坡上距离O水平距离为8米处有一棵高度为1.6米的小树NM，MN垂直水平地面且M点到水平地面的距离为1.8米．如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点N，请求出自动喷水装置应向后平移（即抛物线向左平移）多少米
27．（本题满分10分）问题提出：
（1）如图1，N为正方形ABCD内一点，连接AN，DN，点M在DN延长线上，连接AM，BM，若，则______°；
问题解决：
（2）参观研学观光园是近年来兴起的一种研学旅行模式．如图2所示的五边形AMBCD为某研学观光园的规划设计图．其中，点Р是两条笔直的观光小路AB与MD的交叉口，点N是小路AN与MD的交叉口，经测量．
图1 图2
①若点Р恰为观光小路AB的中点，求此时小路AN的长度；
②观光园的设计者从实用和美观的角度综合考虑，想将园中由点B，N，C成的三角形区域建设为采摘园，且使采摘园面积最小．是否存在这样的面积最小的 若存在，请求出这个面积的最小值；若不存在，说明理由．
