15.2随机事件的概率
一、单选题
1．不透明的袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“”、“ ”、“ ”、“ ”，现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字中一个数字的两倍等于其余两个数字之和的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定条件，利用列举法结合古典概型计算作答.
【详解】
由于个球上的数字分别为、、、，则从个球中随机选出个的基本事件空间为：
，共种，
其中满足中间数的两倍等于其余两个数字之和的基本事件为，共种，
所以所求概率.
故选：C
2．我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨．某书画院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
考虑甲从春、夏、秋、冬四个季节的各6幅彩绘绘制的任务中选一个共有的可能情况，抽到绘制夏季6幅彩绘的情况是其中一种情况，由此可得答案.
【详解】
甲从春、夏、秋、冬四个季节的各6幅彩绘绘制的任务中选一个季节的6幅彩绘绘制，
共有四种可能，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的情况是其中一种情况，
故甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率为0.25
故选：B.
3．在进行n次反复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，事件A发生的概率与的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
当n很大时，频率是概率的近似值，从而可得答案
【详解】
在进行n次反复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，越来越接近于，
所以可以用近似的代替，即，
故选：A
4．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的（ ）
A．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．概率是随机的，在试验前不能确定
D．频率就是概率
【答案】A
【解析】
【分析】
因为概率是在大量重复试验后，事件发生的频率逐渐接近的值，所以就可得到正确答案．
【详解】
事件的频率是指事件发生的频数与次事件中事件出现的次数比，
一般来说，随机事件在每次实验中是否会发生是不能预料的，但在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件发生的频率会逐渐稳定在区间，中的某个常数上，这个常数就是事件的概率．
随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率．
故选：A．
5．下列是古典概型的是（ ）
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点
C．在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求甲被选中的概率
D．抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点
【答案】C
【解析】
【分析】
根据古典概型的定义，逐项分析判断即可得解.
【详解】
A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是古典概型；
B项中的样本点的个数是无限的，故B不是古典概型；
C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；
D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是．
故选：C
6．一个袋中装有2个红球，3个蓝球和5个白球，它们除颜色外完全相同，现在从中任意摸出一个球，则P（摸到红球）等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据等可能概率公式直接求解即可.
【详解】
由题意可得，共十个球，有两个红球，
则取到红球的概率为：
，
故选：C.
【点睛】
本题考查了等可能概率公式，考查了简单计算，属于基础题.
二、多选题
7．(多选)下列试验是古典概型的是（ ）
A．在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率
C．向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率
D．老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的概率
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据古典概型的特点：有限性、等可能性，判断各选项的概率是否符合古典概型即可.
【详解】
A：在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率，不符合等可能性；
B：从中任取一球的事件有限，且任取一球为白球或黑球的概率是等可能的；
C：向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率，不符合有限性；
D：老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人的事件有限，甲、乙、丙被选中的概率是等可能的；
故选：BD
8．下列说法正确的有（ ）
A．对任意的事件A，都有P（A）>0
B．随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
C．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0
D．若事件事件B，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据题意，由概率的定义依次分析选项，即可得答案．
【详解】
解：对任意的事件A，都有，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故A错误，C正确；
对于，随机事件发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，正确，
对于D，若事件事件B，则，故D正确；
故选：BCD
三、填空题
9．用数字1，2组成一个四位数，则数字1，2都出现的概率为______．
【答案】##0.875
【解析】
【分析】
先用列举法求解出所有满足条件的四位数，再列举数字1，2都出现的四位数，最后计算概率.
【详解】
用数字1，2组成一个四位数，则样本空间｛1111，1112，1121，1122，1211，1212，1221，1222，211l，2112，2121，2122，2211，2212，2221，2222｝，共有16个样本点，
数字1，2不都出现的四位数是1111，2222，共2个样本点
所以数字1，2不同时出现的概率为；
所以数字1，2都出现的概率．
故答案为：.
10．在一次数学考试中，某班学生的及格率是，这里所说的“”是指___________.(填“频率”或“概率”)
【答案】频率
【解析】
【分析】
根据频率与概率的概念即可得出答案.
【详解】
解析：在一次数学考试中，某班学生的及格率是，
这里所说的“”是指“频率”.
只有经过很多次考试得到的及格率都是，才能说是概率.
故答案为：频率.
11．在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别（M（男）、F（女））及年级（（高一）、（高二）、（高三））分类统计的人数如下表：
M 18 20 14
F 17 24 7
若从这100名学生中随机选一名学生，求下列概率：
____________，____________，____________，____________，____________，____________，____________
【答案】 0
【解析】
根据频数依题意求得概率即可
【详解】
；
；
；
；
；
；
故答案为：（1）；（2）；（3）1；（4）0；（5）0.35；（6）0.76；（7）0.07
【点睛】
本题考查利用频数求概率,考查概率公式的应用
12．笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出.记录剩下动物的脚数.则该试验的样本空间___________.
【答案】
【解析】
由取动物的次数来确定样本点。
【详解】
解析：最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余鸡的只数最多4只，最少0只，所以剩余动物的脚数可能是8，6，4，2，0.
故答案为：
【点睛】
注意鸡有2只脚，兔子有4只脚，以免计算错误。
四、解答题
13．某电视台要招聘两名播音员，现在有三名符合条件的女士和两名符合条件的男士前来应聘，如果每个应聘人员被录用的概率相同，计算下列事件的概率：
(1)一名男士和一名女士被录用；
(2)两名男士被录用；
(3)两名女士被录用．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【解析】
【分析】
对5名播音员编号，用列举法列出录用两名播音员的所有结果，再求出问题
(1)，(2)，(3)中的事件的结果数，然后利用古典概率公式分别计算作答.
(1)
记三名女播音员分别为A，B，C，两名男播音员分别为a，b，录用两名播音员的试验的不同结果：
AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个不同结果，它们等可能，
一名男士和一名女士被录用的事件M的不同结果为：Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，共6个，，
所以一名男士和一名女士被录用的概率为.
(2)
由(1)知，两名男士被录用的事件N的结果为：ab，有1个，，
所以两名男士被录用的概率为.
(3)
由(1)知，两名女士被录用的事件Q的结果为：AB，AC，BC，共3个，，
所以两名女士被录用的概率为.
14．掷一枚骰子，下列事件：A=“出现奇数点”，B=“出现偶数点”，C=“点数小于3”，D=“点数大于2”，E=“点数是3倍数”.求：
(1)A∩B，BC及相应的概率
(2)A∪B，B+C及相应的概率；
(3)记为事件H的对立事件，求及相应的概率.
【答案】(1)A∩B=，BC={2}，概率为0，
(2)A∪B={1，2，3，4，5，6}，B+C={1，2，4，6}，概率为1，
(3)={1，2}；=BC={2}；=A∪C={1，2，3，5}；={1，2，4，5}.所求概率为
【解析】
【分析】
（1）A∩B表示同时发生，BC表示同时发生，利用古典概型公式即求；
（2）A∪B表示至少有一个事件发生，表示至少有一个事件发生，利用古典概型公式即求；
（3）表示的对立事件；等价于同时发生；等价于至少有一个事件发生；等价于的对立事件与的对立事件至少有一个事件发生，利用古典概型公式即求.
(1)
由题可知，，，，
∴，，，，
∴A∩B=，BC={2}，
所求概率为， .
(2)
A∪B={1，2，3，4，5，6}，B+C={1，2，4，6}，
所求概率为， .
(3)
={1，2}；=BC={2}；=A∪C={1，2，3，5}；={1，2，4，5}.
所求概率为；；；.15.2随机事件的概率
一、单选题
1．不透明的袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“”、“ ”、“ ”、“ ”，现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字中一个数字的两倍等于其余两个数字之和的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨．某书画院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是（ ）
A． B．
C． D．
3．在进行n次反复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，事件A发生的概率与的关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的（ ）
A．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．概率是随机的，在试验前不能确定
D．频率就是概率
5．下列是古典概型的是（ ）
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点
C．在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求甲被选中的概率
D．抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点
6．一个袋中装有2个红球，3个蓝球和5个白球，它们除颜色外完全相同，现在从中任意摸出一个球，则P（摸到红球）等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．(多选)下列试验是古典概型的是（ ）
A．在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率
C．向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率
D．老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的概率
8．下列说法正确的有（ ）
A．对任意的事件A，都有P（A）>0
B．随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
C．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0
D．若事件事件B，则
三、填空题
9．用数字1，2组成一个四位数，则数字1，2都出现的概率为______．
10．在一次数学考试中，某班学生的及格率是，这里所说的“”是指___________.(填“频率”或“概率”)
11．在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别（M（男）、F（女））及年级（（高一）、（高二）、（高三））分类统计的人数如下表：
M 18 20 14
F 17 24 7
若从这100名学生中随机选一名学生，求下列概率：
____________，____________，____________，____________，____________，____________，____________
12．笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出.记录剩下动物的脚数.则该试验的样本空间___________.
四、解答题
13．某电视台要招聘两名播音员，现在有三名符合条件的女士和两名符合条件的男士前来应聘，如果每个应聘人员被录用的概率相同，计算下列事件的概率：
(1)一名男士和一名女士被录用；
(2)两名男士被录用；
(3)两名女士被录用．
14．掷一枚骰子，下列事件：A=“出现奇数点”，B=“出现偶数点”，C=“点数小于3”，D=“点数大于2”，E=“点数是3倍数”.求：
(1)A∩B，BC及相应的概率
(2)A∪B，B+C及相应的概率；
(3)记为事件H的对立事件，求及相应的概率.
