14.4.3用频率分布直方图估计总体分布
一、单选题
1．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[50，60）内的汽车有（ ）
A．30辆 B．40辆 C．60辆 D．80辆
【答案】C
【解析】
【分析】
由直方图先求时速在[50，60）内的频率，然后由频率可得.
【详解】
因为小长方形的面积即为对应的频率，时速在[50，60）内的频率为0.3，
所以有200×0.3＝60（辆）.
故选：C
2．为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在内，其中支出金额在内的学生有234人，频率分布直方图如图所示，则等于（ ）
A．300 B．320 C．340 D．360
【答案】D
【解析】
【分析】
由频率分布直方图知：，解之可得答案.
【详解】
解：由频率分布直方图知：，∴．
故选：D.
3．袁隆平院士是中国杂交水稻事业的开创者，是当代神农,50多年来，他始终在农业科学的第一线辛勤耕耘 不懈探索，为人类运用科技手段战胜饥饿带来了绿色的希望和金色的收获.袁老的科研团队发现“野败”后，将其带回实验，在试验田中随机抽取了100株水稻统计每株水稻的稻穗数（单位：颗）得到如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），则下列说法错误的是（ ）
A．a=0.01
B．这100株水稻的稻穗数平均值在区间[280，300）中
C．这100株水稻的稻穗数的众数是250
D．这100株水稻的稻穗数的中位数在区间[240，260）中
【答案】B
【解析】
【分析】
由频率和为1可计算出，利用各区间中点值估计出均值，众数在频率最大的区间中，由频率对应的数值为中位数，这样可判断各选项得结论.
【详解】
根据频率分布直方图知：组距为20，所以，故A选项正确；
这100株水稻的稻穗数平均值，可知这100株水稻的稻穗数平均值在区间中，故B选项错误；
由频率分布直方图知第三个矩形最高，所以这100株水稻的稻穗数的众数是250，故C选项正确；
前两个矩形的面积是，前三个矩形的面积是，所以中位数在第三组数据中，即这100株水稻的稻穗数的中位数在区间中，故选项D正确，
故选：B.
4．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩，发现都在内现将这100名学生的成绩按照，分组后，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．频率分布直方图中a的值为0.040 B．样本数据低于130分的频率为0.3
C．总体的中位数（保留1位小数）估计为123 D．总体分布在的频数一定与总体分布在的频数相等
【答案】C
【解析】
【分析】
由频率分布直方图先计算出值，判断A，然后计算频率判断B，由频率分布直方图计算中位数判断C，根据频率判断D．
【详解】
由频率分布直方图，，，A错；
样本数据不低于130分的频率为，因此低于分的频率为，B错；
分数低于120分的频率为，因此中位数在这一组，设中位数为，则，解得，C正确；
总体分布在与的频率相等，因此频数只能大致相等但不一定相等，D错误．
故选：C．
5．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【答案】C
【解析】
【分析】
根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.
【详解】
因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.
该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确；
该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确；
该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确；
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元)，超过6.5万元，故C错误.
综上，给出结论中不正确的是C.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于.
6．2020年是脱贫攻坚战决胜之年凝心聚力打赢脫贫攻坚战，确保全面建成小康社会某县举行扶贫知识政策答题比赛，分初赛和复赛两个阶段进行规定：初赛成绩大于80分的进入复赛，某校有500名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图所示，则进入复赛的人数为（ ）
A．125 B．250 C．375 D．400
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直方图求得成绩大于80分的频率，然后乘以总人数即得所求.
【详解】
由直方图可知，成绩大于80分的频率为,
又∵总人数为500人，所以进入复赛的人数为500×0.25=125,
故选：A.
【点睛】
本题考查直方图，关键是理解直方图的意义.
二、多选题
7．2022年春节期间，冬奥会在北京举行，为全国人民带来一场体育盛宴．为了解市民对冬奥会体育节目收视情况，随机抽取了200名观众进行调查，其中女性占40％．根据调查结果分别绘制出男、女观众收看冬奥会系列节目时长的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．男性观众收看节目时长的众数为8小时
C．女性观众收看节目的平均时长小于男性观众的平均时长
D．收看节目达到9小时观众中的女性人数是男性人数的
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据频率分布直方图中频率之和为1求m可判断A，根据众数的概念判断B，计算平均值可判断C，由频率计算人数可判断D
【详解】
对于A，由，解得，故A正确；
对于B，由频率分布直方图可知，男观众收看时间的众数为8，故B正确；
对于C，男性观众收看节目的平均时长为小时，
女性观众收看节目的平均时长为小时，故C正确；
对于D，由频率直方图可知，男性观众收看达到9小时人数为人，
女性观众收看达到9小时人数为人，故D错误.
故选：ABC
8．（多选）学校为了解新课程标准中提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查．根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示．若将阅读时间不低于30 min的学生称为阅读霸，则（ ）
A．抽样表明，该校约有一半学生为阅读霸 B．抽取的100名学生中有50名学生为阅读霸
C．抽取的100名学生中有45名学生为阅读霸 D．抽样表明，该校有50名学生为阅读霸
【答案】AB
【解析】
【详解】
根据频率直方图可列下表：
阅读时间/min
抽样人数 10 18 22 25 20 5
抽取的100名学生中有50名为阅读霸，据此可判断该校约有一半学生为阅读霸．
故选：AB．
三、填空题
9．某小区物业为了让居民更好地对垃圾进行分类，决定对小区居民进行培训，并从培训的学员中随机抽取了50名进行培训结果测试，物业将这50名学员的成绩（满分100分）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成了5组，并制成了如图所示的频率分布直方图，则这50名学员的平均成绩为__分（每组数以该组区间的中点值作代表）．
【答案】74
【解析】
【分析】
由频率分布直方图求出成绩在的频率，由此能求出这50名学员的平均成绩．
【详解】
由频率分布直方图得成绩在的频率为，
解得，
所以这50名学员的平均成绩为：
（分）.
故答案为：74．
10．某学院为了调查本校学生2018年9月“健康使用手机”（健康使用手机指每天使用手机不超过3小时）的天数情况，随机抽取了80名本校学生作为样本，统计他们在30天内“健康使用手机”的天数，将所得数据分成以下六组：，，…，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.根据频率分布直方图，可计算出这80名学生中“健康使用手机”超过15天的人数为______.
【答案】54
【解析】
【分析】
计算出健康使用手机超过15天的频率后可得所求的人数.
【详解】
由图知，健康使用手机超过15天的频率为，从而健康使用手机超过15天的人数为.
【点睛】
本题考查频率分布直方图的应用，注意直方图中，各矩形的高是，本题属于基础题.
四、解答题
11．某超市从年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取个，整理得到如图表所示的甲种酸奶日销售量的频率分布表和乙种酸奶日销售量的频率分布直方图：
分组（日销售量） 频率（甲种酸奶）
(1)求出频率分布直方图中的值，并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；
(2)记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为、，试比较和的大小；
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中间值代替，试估计乙种酸奶在未来一个月（按天计算）的销售总量.
【答案】(1)，作图见解析
(2)
(3)箱
【解析】
【分析】
（1）利用矩形面积之和列出方程，计算出；（2）计算出平均数，进而计算出、，比较出大小；（3）在第二问的基础上，进行求解
(1)
由乙种酸奶日销售量的频率分布直方图可得：
，解得:，
根据表中数据可作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图如图所示；
(2)
记甲、乙两种酸奶日销售量的平均数分别为、，
则，
，
∴
，
∴；
(3)
由（2）得乙种酸奶的平均日销售量为箱，
∴乙种酸奶未来一个月的销售总量为（箱）.
12．某学校为了对该校老师的思想道德进行教育指导，对该校120名老师进行考试，并将考试的分值（百分制）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分布直方图．已知a，b，c成等差数列，分值在[90，100]的人数为12．
(1)求图中a，b，c的值；
(2)若思想道德分值的平均数、中位数均超过75，则认为该学校老师思想道德良好，试判断该学校老师的思想道德是否良好．
【答案】(1)，，
(2)该学校老师思想道德良好
【解析】
【分析】
（1）根据分值在[90，100]的人数为12，求得c，再根据a，b，c成等差数列和各矩形面积之和为1求得a，b．
（2）根据频率分布直方图，利用平均数公式和中位数公式求解.
(1)
解：因为分值在[90，100]的人数为12，
所以[90，100]的频率为，所以．
因为a，b，c成等差数列．所以，
又，
所以，
解得，．
(2)
这组数据的平均数为，
这组数据的中位数m满足，
解得，
所以该学校老师思想道德良好．14.4.3用频率分布直方图估计总体分布
一、单选题
1．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[50，60）内的汽车有（ ）
A．30辆 B．40辆 C．60辆 D．80辆
2．为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在内，其中支出金额在内的学生有234人，频率分布直方图如图所示，则等于（ ）
A．300 B．320 C．340 D．360
3．袁隆平院士是中国杂交水稻事业的开创者，是当代神农,50多年来，他始终在农业科学的第一线辛勤耕耘 不懈探索，为人类运用科技手段战胜饥饿带来了绿色的希望和金色的收获.袁老的科研团队发现“野败”后，将其带回实验，在试验田中随机抽取了100株水稻统计每株水稻的稻穗数（单位：颗）得到如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），则下列说法错误的是（ ）
A．a=0.01
B．这100株水稻的稻穗数平均值在区间[280，300）中
C．这100株水稻的稻穗数的众数是250
D．这100株水稻的稻穗数的中位数在区间[240，260）中
4．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩，发现都在内现将这100名学生的成绩按照，分组后，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．频率分布直方图中a的值为0.040 B．样本数据低于130分的频率为0.3
C．总体的中位数（保留1位小数）估计为123 D．总体分布在的频数一定与总体分布在的频数相等
5．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
6．2020年是脱贫攻坚战决胜之年凝心聚力打赢脫贫攻坚战，确保全面建成小康社会某县举行扶贫知识政策答题比赛，分初赛和复赛两个阶段进行规定：初赛成绩大于80分的进入复赛，某校有500名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图所示，则进入复赛的人数为（ ）
A．125 B．250 C．375 D．400
二、多选题
7．2022年春节期间，冬奥会在北京举行，为全国人民带来一场体育盛宴．为了解市民对冬奥会体育节目收视情况，随机抽取了200名观众进行调查，其中女性占40％．根据调查结果分别绘制出男、女观众收看冬奥会系列节目时长的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．男性观众收看节目时长的众数为8小时
C．女性观众收看节目的平均时长小于男性观众的平均时长
D．收看节目达到9小时观众中的女性人数是男性人数的
8．（多选）学校为了解新课程标准中提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查．根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示．若将阅读时间不低于30 min的学生称为阅读霸，则（ ）
A．抽样表明，该校约有一半学生为阅读霸 B．抽取的100名学生中有50名学生为阅读霸
C．抽取的100名学生中有45名学生为阅读霸 D．抽样表明，该校有50名学生为阅读霸
三、填空题
9．某小区物业为了让居民更好地对垃圾进行分类，决定对小区居民进行培训，并从培训的学员中随机抽取了50名进行培训结果测试，物业将这50名学员的成绩（满分100分）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成了5组，并制成了如图所示的频率分布直方图，则这50名学员的平均成绩为__分（每组数以该组区间的中点值作代表）．
10．某学院为了调查本校学生2018年9月“健康使用手机”（健康使用手机指每天使用手机不超过3小时）的天数情况，随机抽取了80名本校学生作为样本，统计他们在30天内“健康使用手机”的天数，将所得数据分成以下六组：，，…，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.根据频率分布直方图，可计算出这80名学生中“健康使用手机”超过15天的人数为______.
四、解答题
11．某超市从年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取个，整理得到如图表所示的甲种酸奶日销售量的频率分布表和乙种酸奶日销售量的频率分布直方图：
分组（日销售量） 频率（甲种酸奶）
(1)求出频率分布直方图中的值，并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；
(2)记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为、，试比较和的大小；
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中间值代替，试估计乙种酸奶在未来一个月（按天计算）的销售总量.
12．某学校为了对该校老师的思想道德进行教育指导，对该校120名老师进行考试，并将考试的分值（百分制）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分布直方图．已知a，b，c成等差数列，分值在[90，100]的人数为12．
(1)求图中a，b，c的值；
(2)若思想道德分值的平均数、中位数均超过75，则认为该学校老师思想道德良好，试判断该学校老师的思想道德是否良好．
