13.3.2空间图形的体积
一、单选题
1．如图，正方体中，E，F分别为棱AB，BC的中点，过，E，F三点的平面将正方体分割成两部分，两部分的体积分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
结合台体体积公式、正方体体积公式求得正确答案.
【详解】
由于，所以共面，
，所以是台体，
设正方体的边长为，
，
所以.
故选：C
2．正四棱台的上，下底面的边长分别为2，4，侧棱长2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.
【详解】
作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高，
下底面面积，上底面面积，
所以该棱台的体积.
故选：C.
3．《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和，则方亭的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分析可知，设，则，，过点、在平面内分别作，，垂足分别为点、，根据正四棱台的侧面积计算出的值，再利用台体的体积公式可求得结果.
【详解】
由题意得，设，则，.
过点、在平面内分别作，，垂足分别为点、，
在等腰梯形中，因为，，，则四边形为矩形，
所以，，，
因为，，，所以，，
所以，，所以，，
所以等腰梯形的面积为，得.
所以，，，故方亭的体积为.
故选：C.
4．长方体长宽高分别为3，4，12，那么该长方体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用长方体的棱长，求出它的体对角线即求出外接球的直径，由此据球的表面积公式即可求出球的表面积．
【详解】
解：长方体长宽高分别为3，4，12，
所以长方体的体对角线为，
所以长方体外接球的直径，
故外接球的表面积为．
故选：A
5．如图，圆锥PO的底面直径和高均为4，过PO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
用锥体体积减去柱体体积.
【详解】
由题意知，因为为的中点，所以挖去圆柱的半径为1，高为2，剩下几何体的体积为圆锥的体积减去挖去小圆柱的体积，
所以.
故选：B
6．如图1，在高为h的直三棱柱容器中，，．现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为（如图2），则容器的高h为（ ）
A．3 B．4 C． D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
利用两个图形装水的体积相等即可求解.
【详解】
在图1中，
在图2中，，
.
故选：A.
二、多选题
7．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，且，下列说法正确的有（ ）
A． B．该圆台轴截面ABCD面积为
C．该圆台的体积为 D．沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm
【答案】BCD
【解析】
【分析】
A由圆台轴截面的性质求母线与底面直线所成角大小即可；B应用梯形面积公式求轴截面面积；C利用圆台的体积公式求体积；D将圆台侧面展开，结合对应圆锥侧面展开图性质及勾股定理求两点的最短距离.
【详解】
A：由已知及题图知：且，故，错误；
B：由A易知：圆台高为，所以圆台轴截面ABCD面积，正确；
C：圆台的体积，正确；
D：将圆台一半侧面展开，如下图中且为中点，而圆台对应的圆锥体侧面展开为且，又，所以在△中，即C到AD中点的最短距离为5cm，正确.
故选：BCD
8．矩形中，，，将此矩形沿着对角线折成一个三棱锥，则以下说法正确的有（ ）
A．三棱锥的体积最大值为
B．当二面角为直二面角时，三棱锥的体积为
C．当二面角为直二面角时，三棱锥的外接球的表面积为
D．当二面角不是直二面角时，三棱锥的外接球的表面积小于
【答案】ABC
【解析】
【分析】
求出点C到平面ABD的最大距离即可计算棱锥的最大体积判断选项A，B；求出三棱锥的外接球的半径即可判断选项C，D作答.
【详解】
过C作于E，在平面DBA内过E作BD的垂线EG，则为二面角的平面角，如图，
平面CEG平面DBA，过C作CFEG于F，则平面，
在直角中，，，
显然，当且仅当点E与F重合时取“=”，即点C到平面ABD距离的最大值为，
而，则三棱锥的体积最大值为，A正确；
当取最大值时，平面，又平面，则平面平面，
即二面角为直二面角，三棱锥的体积为，B正确；
取BD中点O，连接AO，CO，显然有，于是得点A，B，C，D在以O为球心，AO为半径的球面上，
显然，无论二面角如何变化，点A，B，C，D都在上述的球O上，其表面积为，C正确，D不正确.
故选：ABC
三、填空题
9．如图，已知圆锥PO的底面半径OA的长度为1，母线PA的长度为2，半径为的球与的圆锥侧面相切，并与底面相切于点O，若球与球、圆锥的底面和侧面均相切，则球的表面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】
先求球半径，再求半径后求解
【详解】
由题意得为边长为2的等边三角形，故，
则，而，即，
解得，球的表面积．
故答案为：
10．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下 左右 前后完全对称.从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为___________.（容器壁的厚度忽略不计）
【答案】
【解析】
【分析】
转化为几何体的外接球问题，求出外接球的半径和表面积即可.
【详解】
由题可知，当鲁班锁的顶点与球面相接时，球的体积最小，此时，所以，.
故答案为：.
四、解答题
11．如图一个半球，挖掉一个内接直三棱柱（棱柱各顶点均在半球面上），棱柱侧面是一个长为的正方形.
(1)求挖掉的直三棱柱的体积；
(2)求剩余几何体的表面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
记球心为O，BC中点为E，连接AO，OE，AE，
由球的性质知是所在小圆直径，又是一个长为的正方形，
因此，球半径为，
挖掉的直三棱柱的体积；
(2)
由（1）知，，，，半球表面积＝，
所以剩余几何体表面积为
半球表面积－＝．
12．如图，如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，且底面．
(1)证明：平面；
(2)求到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理逆定理证得，再利用线面垂直的判定推理作答.
（2）将到平面的距离转化为到平面的距离，再利用等体积法计算作答.
(1)
在四棱锥中，底面，平面，则，
在中，，而，即有，
则有，因，平面，
所以平面.
(2)
由（1）可得，，因，则，
，，令到平面的距离为h，
由，即得：，解得，
因，平面，平面，于是得平面，
所以到平面的距离等于到平面的距离.13.3.2空间图形的体积
一、单选题
1．如图，正方体中，E，F分别为棱AB，BC的中点，过，E，F三点的平面将正方体分割成两部分，两部分的体积分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
2．正四棱台的上，下底面的边长分别为2，4，侧棱长2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
3．《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和，则方亭的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．长方体长宽高分别为3，4，12，那么该长方体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，圆锥PO的底面直径和高均为4，过PO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
6．如图1，在高为h的直三棱柱容器中，，．现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为（如图2），则容器的高h为（ ）
A．3 B．4 C． D．6
二、多选题
7．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，且，下列说法正确的有（ ）
A． B．该圆台轴截面ABCD面积为
C．该圆台的体积为 D．沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm
8．矩形中，，，将此矩形沿着对角线折成一个三棱锥，则以下说法正确的有（ ）
A．三棱锥的体积最大值为
B．当二面角为直二面角时，三棱锥的体积为
C．当二面角为直二面角时，三棱锥的外接球的表面积为
D．当二面角不是直二面角时，三棱锥的外接球的表面积小于
三、填空题
9．如图，已知圆锥PO的底面半径OA的长度为1，母线PA的长度为2，半径为的球与的圆锥侧面相切，并与底面相切于点O，若球与球、圆锥的底面和侧面均相切，则球的表面积为______．
10．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下 左右 前后完全对称.从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为___________.（容器壁的厚度忽略不计）
四、解答题
11．如图一个半球，挖掉一个内接直三棱柱（棱柱各顶点均在半球面上），棱柱侧面是一个长为的正方形.
(1)求挖掉的直三棱柱的体积；
(2)求剩余几何体的表面积.
12．如图，如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，且底面．
(1)证明：平面；
(2)求到平面的距离．
