13.2.2空间两条直线位置关系
一、单选题
1．若，，则直线，的位置关系是（ ）
A．平行或异面 B．平行或相交 C．相交或异面 D．平行、相交或异面
【答案】D
【解析】
【分析】
利用条件，联系立方体即可得出结论.
【详解】
解：如图所示，设平面为平面
若，，故，，，相交；
若，，故，，，异面；
若，，故，，，平行.
故选：D
2．己知空间中两条不重合的直线，则“与没有公共点”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
由直线与没有公共点表示两条直线或者与是异面直线，再根据充分必要性判断.
【详解】
“直线与没有公共点”表示两条直线或者与是异面直线，所以“与没有公共点”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3．在正方体ABCD -A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有（ ）条．
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】D
【解析】
【分析】
由正方体ABCD -A1B1C1D1的图象结合线线垂直的定义即可求解结果．
【详解】
在正方体ABCD -A1B1C1D1中，与AA1垂直的棱为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8条．
故选：D．
4．如图，正方体中，直线和所成角的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连结，，则，是异面直线与所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线与所成角的大小．
【详解】
解：连结，，
在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，
，是异面直线与所成角（或所成角的补角），
，
，
异面直线与所成角的大小是．
故选：C．
5．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（ ）
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
【答案】D
【解析】
【分析】
将直线l1，l2，l3，l4放在正方体中，由此即可判断出答案.
【详解】
构造如图所示的正方体ABCD A1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A、B、C.
故选:D.
6．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接、，证明出，可得出直线与所成角为或其补角，计算出三边边长，利用余弦定理可求得结果.
【详解】
连接、，如下图所示：
在正方体中，且，则四边形为平行四边形，
所以，，故直线与所成角为或其补角，
由勾股定理可得，，
由余弦定理可得.
因此，直线与所成角的余弦值为.
故选：B.
二、多选题
7．，，是空间三条不同的直线，则下列结论错误的是（ ）
A．， B．，
C．，，共面 D．，，共点，，共面
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据线线的位置关系，结合平面的基本性质判断各选项正误即可.
【详解】
解：由，，则、平行、异面都有可能，故A错误；
由，得，故B正确；
当时，，，不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，互相平行但不共面，故C错误；
当，，共点时，，，不一定共面，如三棱柱共顶点的三条棱不共面，故D错误；
故选：ACD.
8．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．与平行
B．
C．与成60°
D．四条直线、、、中任意两条都是异面直线
【答案】BCD
【解析】
【分析】
还原成正方体之后根据正方体性质分析线线位置关系.
【详解】
根据展开图还原正方体如图所示：
与不平行，所以A错误；
正方体中，，所以，所以B正确；
，与成角就是，是等边三角形，所以=60°，所以C正确；
由图可得四条直线、、、中任意两条既不想交也不平行，所以任意两条都是异面直线.
故选：BCD
9．如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论中，正确的有（ ）
A．直线与是相交直线 B．直线与是异面直线
C．与平行 D．直线与共面
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据异面直线的定义，结合三角形中位线定理、正方体的性质、共面的判定方法逐一进行判断即可.
【详解】
根据异面直线的定义可以判断直线与、直线与、直线与都是异面直线，因此选项AC不正确，选项B正确，
因为，分别为棱，的中点，
所以，由正方体的性质可知：
，
所以四边形是平行四边形，因此，所以，
因此四点共面，所以直线与共面，因此选项D正确，
故选：BD
10．（多选）如图，在四面体中，点分别是棱的中点，截面是正方形，则下列结论正确的是（ ）
A． B．截面PQMN
C． D．异面直线与所成的角为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据线线、线面平行判定和性质逐一判断即可.
【详解】
解：因为截面是正方形 ，所以，
又平面，平面
所以平面
又平面,平面平面
所以
因为截面，截面，
所以截面，故B正确
同理可证
因为，所以，故A正确
又
所以异面直线与所成的角为，故D正确
和 不一定相等，故C错误
故选：ABD
三、填空题
11．在正方体中，，则异面直线与所成的角的大小为________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出的大小，再根据可求异面直线与所成的角的大小.
【详解】
在底面中，为直角三角形，
由可得.
因为，故为异面直线与所成的角，
故异面直线与所成的角为.
故答案为：
【点睛】
本题考查异面直线所成的角的计算，注意通过平移把空间角转化为平面角进行计算，本题为基础题.
12．已知两异面直线a，b所成的角为17°，过空间一点P作直线l，使得l与a，b的夹角均为9°，那么这样的直线l有_______条．
【答案】2
【解析】
【分析】
结合异面直线成角作出图形分析即可求出结果.
【详解】
可将a，b通过平移相交于点P，如图所示，
则，则的角平分线与直线a，b所成的角均为，的角平分线与直线a，b所成的角均为，因为，所以与直线a，b所成的角均为9°的直线l有且只有2条（直线），
故答案为：2.
四、解答题
13．空间四边形中，，是的边上的高，是的边上的中线，求证：和是异面直线．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
首先说明、、三点均在面内，而不在面内，故而可得结论.
【详解】
因为，所以、不重合．
设所在平面为，则，，，，
所以与异面．
14．如图，在正方体中，、分别是AB、AA1的中点.
（1）证明：四边形EFD1C是梯形；
（2）求异面直线EF与BC1所成角.
【答案】（1）证明见解析，（2）
【解析】
【分析】
（1）连接，则可得∥，，再由正方形的性质可得∥，，从而可证得四边形EFD1C是梯形；
（2）连接，由∥，可得异面直线EF与BC1所成角，而为等边三角形，从而可求得结果
【详解】
（1）证明：连接，
因为、分别是AB、AA1的中点，
所以∥，，
因为在正方体中，∥，，
所以四边形为平行四边形，
所以∥，，
所以∥，，
所以四边形EFD1C是梯形；
（2）连接，
由（1）得∥，
所以异面直线EF与BC1所成角，
因为为等边三角形，
所以，
所以异面直线EF与BC1所成角为
15．如图，在四面体ABCD中，E， G分别为BC， AB的中点，点F在CD上，点H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3， DH∶HA＝1∶3.求证：EF， GH， BD交于一点．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
利用基本事实4和基本事实2可证三线共点.
【详解】
证明 连接GE， HF.
因为E， G分别为BC， AB中点， 所以.
因为DF∶FC＝1∶3， DH∶HA＝1∶3，所以.
从而GE∥HF且，故G， E， F， H四点共面且四边形为梯形，
因为EF与GH不能平行，设EF∩GH＝O，则O∈平面ABD， O∈平面BCD.
而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EF， GH， BD交于一点．13.2.2空间两条直线位置关系
一、单选题
1．若，，则直线，的位置关系是（ ）
A．平行或异面 B．平行或相交 C．相交或异面 D．平行、相交或异面
2．己知空间中两条不重合的直线，则“与没有公共点”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．在正方体ABCD -A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有（ ）条．
A．2 B．4
C．6 D．8
4．如图，正方体中，直线和所成角的大小为（ ）
A． B．
C． D．
5．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（ ）
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
6．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．，，是空间三条不同的直线，则下列结论错误的是（ ）
A．， B．，
C．，，共面 D．，，共点，，共面
8．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．与平行
B．
C．与成60°
D．四条直线、、、中任意两条都是异面直线
9．如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论中，正确的有（ ）
A．直线与是相交直线 B．直线与是异面直线
C．与平行 D．直线与共面
10．如图，在四面体中，点分别是棱的中点，截面是正方形，则下列结论正确的是（ ）
A． B．截面PQMN
C． D．异面直线与所成的角为
三、填空题
11．在正方体中，，则异面直线与所成的角的大小为________.
12．已知两异面直线a，b所成的角为17°，过空间一点P作直线l，使得l与a，b的夹角均为9°，那么这样的直线l有_______条．
四、解答题
13．空间四边形中，，是的边上的高，是的边上的中线，求证：和是异面直线．
14．如图，在正方体中，、分别是AB、AA1的中点.
（1）证明：四边形EFD1C是梯形；
（2）求异面直线EF与BC1所成角.
15．如图，在四面体ABCD中，E， G分别为BC， AB的中点，点F在CD上，点H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3， DH∶HA＝1∶3.求证：EF， GH， BD交于一点．
