11.2正弦定理(第3课时)
一、单选题
1．在中，角A，B，C对应的边分别为a b c，若，，，则B等于（ ）
A． B． C．或 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
利用正弦定理可求答案.
【详解】
由正弦定理可知，；
因为，，，
所以；
因为，所以或（舍）.
故选：A.
2．在中，已知，，，则此三角形（ ）
A．无解 B．只有一解
C．有两解 D．解的个数不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角形大边对大角（小边对小角）和三角形内角和为，即可判断解的情况.
【详解】
，，
又，∴，
故此三角形无解．
故选:A.
3．已知在ABC中，a=x，b=2，B=30°，若三角形有两解，则x的取值范围是（ ）
A．x>2 B．0
【解析】
【分析】
根据三角形有两个解，转化为以C为圆心，以2为半径的圆与BA有两个交点，再结合正弦定理求解.
【详解】
如图所示：
因为AC=b=2，若三角形有两个解，
则以C为圆心，以2为半径的圆与BA有两个交点，
当时，圆与BA相切，不合题意；
当时，圆与BA交于B点，不合题意；
所以，且，
所以由正弦定理得：
，则，
解得，
故选：D
4．满足条件，，的三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．不存在
【答案】B
【解析】
【分析】
由正弦定理求得，得到B有两解，即可得到答案.
【详解】
在中，因为，，，
由正弦定理 ，可得，
因为，即，则有两解，所以三角形的个数是2个.
故选：B.
5．在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由，结合化简可求出，再由正弦定理结合可得，从而可求得，再由角的范围和正弦函数的性质可求出其最小值
【详解】
∵，
∴，
∴，，由正弦定理知，，，
又．
∴，
∴，
又，∴，∴．
故选：B
6．若△ABC的内角A，B，C满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由正弦定理进行角化边运算，可得，代入余弦定理结合不等式可求出的范围，判断取最大值时的值，求出，作比求出.
【详解】
解：由正弦定理可知：等价于
则，因为，所以
，则，且当时，角B最大，此时，所以.
故选：B
二、多选题
7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则三角形的面积不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据余弦定理和三角形面积公式进行求解判断即可.
【详解】
解：因为，，，所以由余弦定理，可得，所以，
所以
故选：BCD
8．在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用正弦定理和余弦定理化简后可判断AB的正误，根据锐角三角形可得的范围，从而可判断C的正误，而，根据的范围可判断D的正误.
【详解】
因为，所以由余弦定理得，
整理得，故A正确；
因为，所以由正弦定理得，
即，所以，
因为，所以，即，故B正确；
由锐角，得，，，
，，故C错误，
，，故D正确．
故选：ABD.
三、填空题
9．如图所示，点D在线段AB上，∠CAD＝30°，∠CDB＝45°．给出下列三组条件（已知线段的长度）：①AC，BC；②AD，DB；③CD，DB．其中，使△ABC唯一确定的条件的所有序号为____．
【答案】②③##③②
【解析】
【分析】
由已知求得∠ACD＝15°，∠CDA＝130°．然后利用正弦定理与三角形的解法逐一判断即可．
【详解】
解：∵∠CAD＝30°，∠CDB＝45°．∴∠ACD＝15°，∠CDA＝130°．
①在△ABC中，知道AC，BC的长度及角A，由，求得sinB，AC与BC的大小不定，角B不一定唯一，则△ABC不一定唯一．
②在△ADC中，知道AD长及各角度，由正弦定理可得出AC长度．BD长度已知，CD长度可求，△ABC唯一确定．
③同②可知，△ADC中，已知一边及各角度，在△ACB中，已知一角及其夹边△ABC唯一确定．
故答案为：②③．
10．若满足，，的恰有一解，则实数m的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出，再数形结合分析得解.
【详解】
解：由正弦定理得,
因为恰有一解，
所以当或
所以当或.
故答案为：
11．若满足的恰有一个，则实数k的取值范围是_________
【答案】
【解析】
【分析】
利用正弦定理可求出，由只有一个结合正弦函数的性质可得解.
【详解】
由正弦定理有：，则，
又，，
可得，当时满足题意只有一个，
此时，，
即实数k的取值范围是
故答案为：
【点睛】
思路点睛：本题考查利用正弦定理判断三角形个数的问题，利用正弦定理求出，，利用满足题意只有一个，可知，即可求出k的取值范围，考查学生的转化与化归能力，属于中等题.
12．中，角，，的对边分别为，，，其中为钝角，且，那么的范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
先利用正弦定理实现边化角，整理条件得到，再根据为钝角，确定角的范围，从而得出的范围.
【详解】
在中，根据正弦定理，可将条件化为.
把代入整理得，.
所以或，解得或(舍去).
又为钝角，所以
由，解得.
所以的范围.
故答案为：.
四、解答题
13．在①；②；③，这三个条件中任选一个（将序号填在横线上，多填则默认为所填的第一个序号），补充在下面的问题中.
在中，它的内角，，所对的边分别为，，，且，的面积是，______.若问题中的三角形存在，求值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
【答案】条件选择见解析，.
【解析】
【分析】
先利用正弦定理将已知等式中的边化角，结合三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，可推出，再由，可得．
选择条件①：结合余弦定理，和，解该方程组即可求解；
选择条件②：由正弦定理可得，从而求得和的值，再由余弦定理即可求解；
选择条件③：由正弦定理可得，从而求得和的值，再由余弦定理即可求解．
【详解】
解：，
由正弦定理可得，即，
，，
，
，，即，
又，．
的面积，
．
选择条件①：
由余弦定理知，
又，
，化简得，，
解得或（舍负），
．
选择条件②：
，由正弦定理得，
又，
，，
由余弦定理知，，
．
选择条件③：
由正弦定理知，，
，
，，
又，．
下面的步骤同②．
14．在中，、、的对边分别为、、，其中边最长，并且．
(1)求证：是直角三角形；
(2)当时，求面积的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用同角关系，将已知条件变形，配合诱导公式，可以证明结论.（2）利用勾股定理知，利用基本不等式可得面积最大值
(1)
证明：由，得，即，
又边最长，则、均为锐角，所以，
解得，即，所以为直角三角形．
(2)
因为，由勾股定理,因为，所以.
记面积为,则，由得，
当且仅当时等号成立．
所以当时，面积取到最大值．11.2正弦定理(第3课时)
一、单选题
1．在中，角A，B，C对应的边分别为a b c，若，，，则B等于（ ）
A． B． C．或 D．3
2．在中，已知，，，则此三角形（ ）
A．无解 B．只有一解
C．有两解 D．解的个数不确定
3．已知在ABC中，a=x，b=2，B=30°，若三角形有两解，则x的取值范围是（ ）
A．x>2 B．0
A．1个 B．2个 C．3个 D．不存在
5．在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
6．若△ABC的内角A，B，C满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则三角形的面积不可能是（ ）
A． B． C． D．
8．在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．如图所示，点D在线段AB上，∠CAD＝30°，∠CDB＝45°．给出下列三组条件（已知线段的长度）：①AC，BC；②AD，DB；③CD，DB．其中，使△ABC唯一确定的条件的所有序号为____．
10．若满足，，的恰有一解，则实数m的取值范围是________．
11．若满足的恰有一个，则实数k的取值范围是_________
12．中，角，，的对边分别为，，，其中为钝角，且，那么的范围是______.
四、解答题
13．在①；②；③，这三个条件中任选一个（将序号填在横线上，多填则默认为所填的第一个序号），补充在下面的问题中.
在中，它的内角，，所对的边分别为，，，且，的面积是，______.若问题中的三角形存在，求值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
14．在中，、、的对边分别为、、，其中边最长，并且．
(1)求证：是直角三角形；
(2)当时，求面积的最大值．
