3.3 抛物线
一、单选题
1．设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）．
A．经过点 B．经过点
C．平行于直线 D．垂直于直线
【答案】B
【解析】如图所示：．
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.故选：B.
2．抛物线上一点与焦点间的距离是10，则点到轴的距离是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．5
【答案】B
【解析】抛物线的焦点，准线为，因为M到焦点的距离为10，
由定义可知，M到准线的距离也为10，所以到M到轴的距离是9.
故选:B．
3．若点，在抛物线上，是坐标原点，若等边三角形的面积为，则该抛物线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设等边三角形的边长为，
则，解得．
根据抛物线的对称性可知，且，
设点在轴上方，则点的坐标为，即，
将代入抛物线方程得，
解得，故抛物线方程为．
故选：A
4．已知抛物线的焦点为，抛物线上的两点，均在第一象限，且，，，则直线的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】如图：作垂直准线于，垂直准线于，作于，
因为，，，
由抛物线的定义可知：，，，所以，
直线的斜率为：.
故选：C.
5．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，过作抛物线的一条切线，切点为，且满足，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，抛物线准线方程为，点，切线斜率一定存在，
设过点与抛物线相切的直线方程为，切点，
联立抛物线与切线方程，转化得，
，解得，
当时，直线方程为，
，解得，则，
因为，所以，解得；
当时，同理得，
综上所述，抛物线方程为，
故选：C.
6．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】易知抛物线的焦点（2，0），准线x=-2，
即椭圆的c=2，
因为抛物线的准线恰好过椭圆的焦点，即相交的线段为椭圆的通径；
即通径为 ，又因为c=2
解得a=4
所以离心率
故选D.
7．已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将化为，
则其焦点，准线方程为，
则，设，
则由抛物线的定义，得，
所以的周长
（当且仅当轴时取得最小值）.
故选：A.
8．已知抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，O为坐标原点，则四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】抛物线的准线方程为，设，，由抛物线的定义可知，，由抛物线的对称性，不妨令，设直线的方程为，由得，，∴，四边形的面积，
故选：A．
二、多选题
9．已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则的值可以是
A．2 B．6 C．4 D．8
【答案】AC
【解析】设的横坐标为，由题意，，，解得或.
故选：AC
10．（多选）已知点在抛物线上，抛物线的焦点为F，延长与抛物线相交于另一点B，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．抛物线的焦点坐标为
C．点B的坐标为
D．的面积为8
【答案】ABD
【解析】将代入抛物线方程可得，
因此抛物线方程为，
所以准线方程为，焦点坐标为，故A，B正确；
易知轴，所以，故C错误；
又因为，所以，故D正确．
故选：ABD
11．已知为坐标原点，，是抛物线：上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则点的横坐标为4
B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为
C．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为
D．周长的最小值为
【答案】ACD
【解析】因为双曲线的方程为，所以，，则，
因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以，即，
选项A：若，则点的横坐标为，所以选项A正确；
选项B：因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为，所以选项B错误；
选项C：因为、，所以外接圆的圆心的横坐标为1，又因为外接圆与抛物线的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离等于半径，所以圆心在抛物线上且到准线的距离为3，所以，所以该外接圆面积为，所以选项C正确；
选项D：因为的周长为，所以选项D正确.故选：ACD
12．过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，M为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．以线段为直径的圆与直线相交 B．以线段为直径的圆与y轴相切
C．当时， D．的最小值为4
【答案】ACD
【解析】解：的焦点，准线方程为，
设，，在准线上的射影为，，，
由，，，
可得线段为直径的圆与准线相切，与直线相交，故A对；
当直线的斜率不存在时，显然以线段为直径的圆与轴相切；
当直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为，联立，可得，
设，，，，
可得，，设，，
可得的横坐标为，的中点的横坐标为，，
当时，的中点的横坐标为，，显然以线段为直径的圆与轴相交，故B错；
以为极点，轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为，
设，，，，可得，，
可得，又，可得，，则，故C正确；
显然当直线垂直于轴，可得取得最小值4，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题
13．抛物线（）上点到其准线的距离为1，则a的值为_________．
【答案】
【解析】抛物线即，
可得准线方程，
抛物线上点到其准线的距离为1，
可得，可得.
故答案为：
14．设抛物线：()的焦点为，准线为，点为抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆交于、两点，若，的面积为，则_______.
【答案】
【解析】∵，
∴，
又∵，
∴，，
∴到准线的距离，
∴，解得.
故答案为：１.
15．斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．
【答案】
【解析】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得，
解法一：解得
所以
解法二：
设，则,
过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.
故答案为：
16．已知、分别是双曲线的左、右焦点，也是抛物线的焦点，点是双曲线与抛物线的一个公共点，若，则双曲线的离心率为___________.
【答案】##
【解析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，则，
因为，则，则，
因为，则，
由余弦定理可得，
因为，所以，，所以，，
整理可得，即，因为，解得.
故答案为：.
四、解答题
17．已知抛物线的准线与轴的交点为.
（1）求的方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于，两点.求证：为定值.
【解析】（1）由题意，可得，即，
∴抛物线的方程为.
（2）证明：设直线的方程为，，，
联立抛物线有，消去x得，则，
∴，，又，.
∴.
∴为定值.
18．已知抛物线，拋物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3．
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）过的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线于点E，直线BF交直线于点D，是否存在这样的直线l，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l的方程．
【解析】（1）因为横坐标为的点到焦点的距离为,所以,解得, 所以，
即准线方程为.
（2）显然直线的斜率存在,设直线的方程为,.
联立得，消去得.
由,解得. 所以且.
由韦达定理得,.
直线的方程为,
又,所以,所以,
因为,所以直线与直线的斜率相等
又,所以.
整理得,即,
化简得,,即.
所以,整理得,
解得. 经检验,符合题意.
所以存在这样的直线,直线的方程为或．
19．如图，椭圆的离心率是，短轴长为，椭圆的左 右顶点为、.过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，点为的中点.
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）记的面积为的面积为，若，求直线在轴上截距的范围.
【解析】（1）根据题意得：，解得，，，抛物线焦点，
因此椭圆，拋物线
（2）设，联立与椭圆，
整理得：，判别式：
弦长公式：，所以
联立与抛物线，整理得：，判别式：
弦长公式：，
所以，
因为，因此，解得：
在轴上截距或，因此在轴上截距取值范围是.
20．已知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，且.
（1）求抛物线的方程、焦点坐标、准线方程；
（2）求所在的直线方程.
【解析】(1)因点在抛物线方程上，则，
所以抛物线的方程为，焦点，准线方程为：；
(2)显然，直线不垂直y轴，设直线方程为：，
由消去x得：，设，则有，
于是得，解得，即直线AB：，
所以所在的直线方程：或.
21．已知抛物线C1：与椭圆C2：（）有公共的焦点，C2的左 右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为.
(1)求椭圆C2的方程；
(2)如图，若直线l与x轴，椭圆C2顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧），且∠PF1Q与∠PF1R互为补角，求△F1QR面积S的最大值.
【解析】(1)由题意可得，抛物线的焦点为，
所以椭圆的半焦距，又椭圆的离心率，所以，则，即，
所以椭圆的方程为.
(2)设，，，
∵与互补，
∴，所以，
化简整理得①，
设直线PQ为，联立直线与椭圆方程
化简整理可得，
，
可得②，
由韦达定理，可得，③，
将，代入①，
可得④，
再将③代入④，可得，解得，
∴PQ的方程为，
且由②可得，，即，
由点到直线PQ的距离，
令，，则
，当且仅当时，等号成立，
所以面积S最大值为.
22．已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）设，是抛物线上的不同两点，且轴，直线与轴交于点，再在轴上截取线段，且点介于点点之间，连接，过点作直线的平行线，证明是抛物线的切线.
【解析】（1）解：设过点的直线方程为，，
联立，得，
则，
所以，
，
因为，
所以，
化简得，所以，
当过点的直线斜率不存在时，则，
故，
又因为，
则，所以，
综上所述，，
所以；
（2）证明：不妨设点P在第一象限，
则，
设直线PQ的方程为，，
联立，消元整理得，
则，即故，即，
当时，，则，
又因，且点介于点点之间，则为的中点，
所以，
则直线的斜率为，
因为直线平行直线，
所以直线的斜率为，
故直线的方程为，即，
联立，消元整理得，
，
所以直线l与抛物线只有一个交点，
有直线l斜率不为0，
所以是抛物线的切线.3.3 抛物线
一、单选题
1．设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）．
A．经过点 B．经过点
C．平行于直线 D．垂直于直线
2．抛物线上一点与焦点间的距离是10，则点到轴的距离是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．5
3．若点，在抛物线上，是坐标原点，若等边三角形的面积为，则该抛物线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知抛物线的焦点为，抛物线上的两点，均在第一象限，且，，，则直线的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．
5．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，过作抛物线的一条切线，切点为，且满足，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为
A．2 B． C． D．
7．已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，O为坐标原点，则四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则的值可以是
A．2 B．6 C．4 D．8
10．（多选）已知点在抛物线上，抛物线的焦点为F，延长与抛物线相交于另一点B，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．抛物线的焦点坐标为
C．点B的坐标为
D．的面积为8
11．已知为坐标原点，，是抛物线：上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则点的横坐标为4
B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为
C．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为
D．周长的最小值为
12．过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，M为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．以线段为直径的圆与直线相交 B．以线段为直径的圆与y轴相切
C．当时， D．的最小值为4
三、填空题
13．抛物线（）上点到其准线的距离为1，则a的值为_________．
14．设抛物线：()的焦点为，准线为，点为抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆交于、两点，若，的面积为，则_______.
15．斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．
16．已知、分别是双曲线的左、右焦点，也是抛物线的焦点，点是双曲线与抛物线的一个公共点，若，则双曲线的离心率为___________.
四、解答题
17．已知抛物线的准线与轴的交点为.
（1）求的方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于，两点.求证：为定值.
18．已知抛物线，拋物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3．
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）过的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线于点E，直线BF交直线于点D，是否存在这样的直线l，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l的方程．
19．如图，椭圆的离心率是，短轴长为，椭圆的左 右顶点为、.过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，点为的中点.
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）记的面积为的面积为，若，求直线在轴上截距的范围.
20．已知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，且.
（1）求抛物线的方程、焦点坐标、准线方程；
（2）求所在的直线方程.
21．已知抛物线C1：与椭圆C2：（）有公共的焦点，C2的左 右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为.
(1)求椭圆C2的方程；
(2)如图，若直线l与x轴，椭圆C2顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧），且∠PF1Q与∠PF1R互为补角，求△F1QR面积S的最大值.
22．已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）设，是抛物线上的不同两点，且轴，直线与轴交于点，再在轴上截取线段，且点介于点点之间，连接，过点作直线的平行线，证明是抛物线的切线.
