2023-2024学年辽宁省盘锦市大洼重点中学九年级（上）期初数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若二次根式有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2. 下列各式中是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
3. 一元二次方程配方后可变形为( )
A. B. C. D.
4. 一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有一个实数根为 D. 没有实数根
5. 如图，在矩形中，对角线，交于点，若，那么的度数是( )
A. B. C. D.
6. 正比例函数的函数值随着增大而减小，则一次函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
7. 某景点去年第一季度接待游客万人次，第二、第三季度共接待游客万人次．设该景点去年第一季度到第三季度的接待游客人次的增长率为且保持不变，则( )
A. B.
C. D.
8. 在中，、、分别为、、的对边，则下列条件中：，，；，，；；其中能判断是直角三角形的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
9. 如图，菱形中，，，点是的中点，点由点出发，沿做匀速运动，到达点停止，则的面积与点经过的路程之间的函数关系的图象大致是( )
A. B.
C. D.
10. 甲、乙两车从城出发匀速行驶至城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离单位：与甲车行驶时间单位：之间的函数关系如图所示，根据图象提供的信息，下列结论错误的是( )
A. 两城相距千米
B. 乙车比甲车晚出发小时，却早到小时
C. 当乙车到达城时，甲车距离城千米
D. 甲车出发后小时，乙车追上甲车
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 将直线向下平移个单位长度后所得直线的解析式是______．
12. 小红参加学校举办的“我爱我的祖国”主题演讲比赛，她的演讲内容、演讲能力、演讲效果得分分别为分，分，分，若依次按照，，的百分比确定成绩，则她的平均成绩是______分．
13. 如图，在和中，，是的中点，连接、若，则的长为______．
14. 一直角三角形的两边长分别为和，则第三边的长是 ．
15. 如图，在中，点是的中点，点是外一点，，且平分，连接，，则的长为______ ．
16. 如图，已知正方形的边长为，、分别是、边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到若，则的面积为______．
三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：
；
．
18. 本小题分
解方程：
；
．
19. 本小题分
为了解中学生“平均每天体育锻炼时间”的情况，某地区教育部门随机调查了若干名中学生，根据调查结果制作统计图和图，请根据相关信息，解答下列问题：
本次接受随机抽样调查的中学生人数为______，图中的值是______；
Ⅱ求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
Ⅲ根据统计数据，估计该地区名中学生中，每天在校体育锻炼时间大于等于的人数．
20. 本小题分
如图所示，在 中，对角线与相交于点，过点任作一条直线分别交，于点，．
求证：；
连接，直接写出当与满足什么关系时，四边形是菱形？
21. 本小题分
如图，已知过点的直线：与直线：相交于点．
求直线的解析式；
根据图象直接写出不等式的解集；
求四边形的面积．
22. 本小题分
如图，长方形纸片中，，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上
如图，当折痕的另一端在边上且时，求的长．
如图，当折痕的另一端在边上且时，
求证：．
求的长．
23. 本小题分
年，合肥蜀山区某商场于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为元时，三月份销售件．四、五月该商品十分畅销．销售量持续上涨．在售价不变的基础上，五月份的销售量达到件．
求四、五这两个月的月平均增长率；
从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价元，月销量增加件，当商品降价多少元时，商场月获利元？
24. 本小题分
为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，某校准备购进，两种图书经调查，购进种图书费用元与购进种图书本数之间的函数关系如图所示，种图书每本元．
当和时，求与之间的函数关系式；
现学校准备购进本图书，其中购进种图书本，设购进两种图书的总费用为元．
当时，求出与间的函数表达式；
若购进种图书不少于本，且不超过种图书本数的倍，那么应该怎样分配购买，两种图书才能使总费用最少？最少总费用多少元？
25. 本小题分
如图，在中，为锐角，点为射线上一点，连接，以为一边且在的右侧作正方形，连接．
如果，
当点在线段上时与点不重合，如图，线段，所在直线的位置关系为______ ，线段，的数量关系为______ ；
当点在线段的延长线上时，如图，中的结论是否仍然成立，并说明理由；
如果，是锐角，点在线段上，当满足什么条件时，点、不重合，请直接写出答案．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】
解：由题意得，，
解得，，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、是最简二次根式，故D符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，即，
故选：．
先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
4.【答案】
【解析】解：，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：．
根据一元二次方程根的判别式求解即可得出．
此题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
5.【答案】
【解析】解：矩形中，对角线，相交于点，
，，，
，
，
，
，
故选：．
只要证明，根据三角形的外角的性质即可解决问题；
本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6.【答案】
【解析】解：正比例函数的函数值随的增大而减小，
，
一次函数的一次项系数大于，常数项小于，
一次函数的图象经过第一、三、四象限．
故选：．
根据自正比例函数的性质得到，然后根据一次函数的性质得到一次函数的图象经过第一、三、四象限．
本题考查了一次函数图象和性质．
7.【答案】
【解析】解：该景点去年第一季度接待游客万人次，该景点去年第一季度到第三季度的接待游客人次的增长率为且保持不变，
该景点去年第二季度接待游客万人次，第三季度接待游客万人次．
依题意得：．
故选：．
根据题意可知：该景点去年第二季度接待游客万人次，第三季度接待游客万人次，结合该景点第二、第三季度共接待游客万人次，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，
此三角形是直角三角形；
，，，
，
此三角形不是直角三角形；
，
，
此三角形是直角三角形；
，
设，则，
，
解得：，
，
此三角形是直角三角形．
故选：．
根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．也考查了三角形内角和定理．
9.【答案】
【解析】解：当点在上运动时，即，如图，
作于，，
菱形中，，，点是的中点，
，，
，
在中，，
，
；
当点在上运动时，即，如图，
作于，，
四边形为菱形，，
，，，，
，
在中，，
，
；
当点在上运动时，即，如图，
作于，，则，
菱形中，，
，
，
在中，，
，
，
的面积与点经过的路程之间的函数关系的图象为三段：当，图象为线段，满足解析式；当，图象为平行于轴的线段，且到轴的距离为；当，图象为线段，且满足解析式．
故选：．
分类讨论：当，如图，作于，，根据菱形的性质得，，则，根据含度的直角三角形三边的关系得到在，，然后根据三角形面积公式得；当，如图，作于，，根据菱形的性质得，，，，则，在中，根据含度的直角三角形三边的关系得，，然后根据三角形面积公式得；当，如图，作于，，则，根据菱形的性质得，则，在中，根据含度的直角三角形三边的关系得，，则利用三角形面积公式得，最后根据三个解析式和对应的取值范围对各选项进行判断．
本题考查了动点问题的函数图象：利用点运动的几何性质列出有关的函数关系式，然后根据函数关系式画出函数图象，注意自变量的取值范围．
10.【答案】
【解析】解：由图象可知，两城相距千米，故选项A不合题意；
由图象可知，乙车比甲车晚出发小时，却早到小时，故选项B不合题意；
甲车的速度为：，乙车的速度为：，
当乙车到达城时，甲车距离城：，故选项C符合题意；
设甲出发小时后，乙车追上甲车，
则，
解得，
即甲车出发后小时，乙车追上甲车，故选项D不合题意．
故选：．
根据函数图象可得两城相距千米，乙车比甲车晚出发小时，却早到小时，根据“速度路程时间”可得甲乙两车的速度，进而得出相应结论．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
11.【答案】
【解析】解：根据平移的规则可知：
直线向下平移个单位长度后所得直线的解析式为：．
故答案为：．
根据函数的平移规则“上加下减”，即可得出直线平移后的解析式．
本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是熟记函数平移的规则“上加下减”本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平移的规则求出平移后的函数解析式是关键．
12.【答案】
【解析】解：根据题意得：
分，
她的平均成绩是分．
故答案为：．
根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求，，这三个数的平均数，对加权平均数的理解不正确．
13.【答案】
【解析】解：在和中，，是的中点，
，，
，
，
，
故答案为．
利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．
本题考查直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查了的勾股定理，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论．
本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即是斜边长或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【解答】
解：设第三边为，
若是直角边，则第三边是斜边，由勾股定理得：
，
；
若是斜边，则第三边为直角边，由勾股定理得：
，
；
第三边的长为或．
故答案为：或．
15.【答案】
【解析】解：延长、交于点，
在和中，
，
≌，
，，
，
，，
，
故答案为：．
延长、交于点，证明≌，根据全等三角形的性质得到，，求出，根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：逆时针旋转得到，
，，
、、三点共线，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
设，则，，，
中，，
，
解得，
，
的面积为．
故答案为：．
由旋转可得，为直角，可得出，由，得到为，可得出，再由，利用可得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等可得出；设，则，，，再根据勾股定理列方程即可得到的长，进而得出的面积．
此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理的运用．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
17.【答案】解：
；
．
【解析】先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
先根据完全平方公式，平方差公式，二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式等知识点，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
18.【答案】解：，
，
，
，
，
所以，；
．
，
，
或，
所以，．
【解析】利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
19.【答案】解：；；
Ⅱ平均数为，
众数为，中位数为；
Ⅲ估计每天在校体育锻炼时间大于等于的人数约为人．
【解析】【分析】
本题考查平均数、众数、中位数、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
由人数及其所占百分比可得总人数，根据百分比之和为可得的值；
Ⅱ根据平均数、众数、中位数的定义求解可得；
Ⅲ总人数乘以样本中每天在校体育锻炼时间大于等于的人数所占比例可得．
【解答】解：本次接受随机抽样调查的中学生人数为人，
，
故答案为；；
Ⅱ见答案；
Ⅲ见答案．
20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
当时，四边形是菱形．
证明：≌，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【解析】由四边形是平行四边形，可得，，则可证得≌，继而证得；
由≌，可得，，可征得四边形是平行四边形，由，根据菱形的判定即可证的结论．
此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
21.【答案】解：点在直线：上，
，即，则的坐标为，
直线：过点，
，
解得．
直线的解析式为：．
不等式的解集为．
直线与轴相交于点，
的坐标为，
又直线与轴相交于点，
点的坐标为，则，
而，
．
【解析】由点在直线上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出值，再利用点的坐标和点的坐标可求直线的解析式；
即的函数值大于等于的函数值，观察函数图象得到当时满足条件；
根据面积差可得结论．
本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象上点的坐标特征和三角形的面积，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．并利用数形结合的思想解决问题．
22.【答案】解：纸片折叠后顶点落在边上的点处，
，
，
，
在中，，
即，
解得：；
证明：纸片折叠后顶点落在边上的点处，
，
长方形纸片的边，
，
，
；
解：纸片折叠后顶点落在边上的点处，
，，，
，
在中，，
．
【解析】根据翻折的性质可得，然后用表示出，在中，利用勾股定理列出方程求解即可；
根据翻折的性质可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，从而得到，再根据等角对等边证明即可；
根据翻折的性质可得，，，然后在中，利用勾股定理列式计算即可得解．
本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，熟记翻折前后两个图形能够重合得到相等的线段和角是解题的关键．
23.【答案】解：设四、五这两个月的月平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：四、五这两个月的月平均增长率为；
设商品降价元，则每件获利元，月销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：当商品降价元或元时，商场月获利元．
【解析】设四、五这两个月的月平均增长率为，利用五月份的销售量三月份的销售量月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设商品降价元，则每件获利元，月销售量为件，利用商场销售该商品月销售利润每件的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24.【答案】解：当时，设与之间的函数关系式是，
，
解得：，
当时，与之间的函数关系式是；
当时，设与之间的函数关系式是，
则，
解得，
当时，与之间的函数关系式是；
当时，，
当时，与间的函数表达式为；
购进种图书不少于本，且不超过种图书本数的倍，
，
解得，
由知，，
，
当时，最小，最小值为，
此时，
答：购买种图书本，种图书本，费用最少，最少费用为元．
【解析】根据函数图象可以分段求出各段对应的函数解析式；
当时，设总费用为元，求出关于的关系式；
先求出的取值范围，再利用一次函数的性质求出最少的费用即可．
本题考查一次函数的实际应用，利用待定系数法求出一次函数的关系式是解题关键．
25.【答案】
【解析】解：正方形中，，
，
，
又，
≌，
，，
，即；
故答案为：，；
当点在线段的延长线上时，中的结论仍然成立，理由如下：
由正方形得，，
，
，
，
又，
≌，
，，
，，
，
，
，
即，
综上所述，当点在线段的延长线上时，中的结论仍然成立．
当时，如图．
理由：过点作交的延长线于点，
则，
，，
，
，
，
同角的余角相等，，
≌，
，
，即．
在正方形中，根据得到≌，进而得到，进而推出，即；
由正方形的性质可推出≌，所以，，结合，，得到，即；
当时，过点作交的延长线于点，则，可推出，所以，结合的证明过程即可完成本题．
本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，掌握判定两个三角形全等的一般方法是解答本题的关键．
第1页，共1页
