人教A版（2019）选择性必修第二册《4.3.2 等比数列的前n项和公式》提升训练
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知数列，满足，，则在集合的元素中，属于数列，的公共项的个数为
A. B. C. D.
2.（5分）等差数列和等比数列的首项都是，公差公比都是，则
A. B. C. D.
3.（5分）已知数列是首项为，公差不为的等差数列，且，数列是等比数列，其中，，若数列满足，则
A. B.
C. D.
4.（5分）莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一，改编书中一道题目如下：把个大小相同的面包分给个人，使毎个人所得面包个数从少到多依次成等差数列，且较少的三份之和等于较多的两份之和，则最多的一份的面包个数为
A. B. C. D.
5.（5分）设等比数列的前项和为，且，则
A. B. C. D.
6.（5分）已知为正项等比数列的前项和，若，，则
A. B. C. D.
7.（5分）对于正项数列，定义为数列的“匀称”值．已知数列的“匀称”值为，则该数列中的等于
A. B. C. D.
8.（5分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的底层共有灯
A. 盏 B. 盏 C. 盏 D. 盏
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知等差数列的公差，前项和为，且，则
A.
B.
C. 数列中可以取出无穷多项构成等比数列
D. 设，数列的前项和为，则
10.（5分）若为数列的前项和，且，则下列说法正确的是
A.
B.
C. 数列是等比数列
D. 数列是等比数列
11.（5分）已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且，则以下结论正确的有
A. B. C. D.
12.（5分）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，则下列结论正确的是
A. B.
C. 的最大值为 D. 的最大值为
13.（5分）已知数列前项和为且 为非零常数，下列结论中正确的是
A. 数列为等比数列
B. 时，
C. 当时，
D.
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分） 在等比数列中，已知，，则该数列的前项和________．
15.（5分）记为递增等比数列的前项和，若，，则______．
16.（5分）等差数列的前项和，已知，，当时， ．
17.（5分）在数列中，若，，则满足不等式的正整数的最大值为 ______ ．
18.（5分）若数列为等差数列，为等比数列，且满足：，，函数，则______．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）设数列的前项和满足，且，，成等差数列．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ记数列的前项和为，求使得成立的的最小值．
20.（12分）已知等差数列的前项和为，求使得最大的的值．
21.（12分）为响应国家精准扶贫政策，某市决定分批建设保障性住房供给困难职工．首批计划用万元购买一块土地，该土地可以建造每层平方米的楼房一幢，楼房每平方米的建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米的建筑费用提高元，已知建筑第层楼房时，每平方米的建筑费用为元．为了使该幢楼房每平方米的平均费用最低费用包括建筑费用和购地费用，应把楼房建成多少层？此时每平方米的平均费用为多少元？取，每平方米的费用精确到元
22.（12分）已知在等差数列中，，，且
求数列的通项公式；
调整数列的前三项，，的顺序，使它们成为等比数列的前三项，求的通项公式．
23.（12分）已知公差不为零的等差数列的前项和，且，，成等比数列．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ若数列满足，求数列的前项和．
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】
本题借助两个等差数列的公共项考查了等差数列的通项公式，属于中档题．
法①设，则要使，，易得的取值为：，，，，，所以公共项的个数为．
法②设数列，公共项为，则是以为首项，以为公差的等差数列，所以，令得，，所以公共项有项．
解：设数列的第项与数列的第项相同，
即，
要使，，
则的取值为：，，，，，，
对应的值为，，，，，
的取值共有个，
故选：．
2.【答案】D;
【解析】
由等差数列和等比数列的通项公式可得，求得，代入计算即可得到所求值．
此题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查运算能力，注意下标的含义，属于基础题．
解：等差数列和等比数列的首项都是，公差公比都是，
可得，．
可得
．
故选：．
3.【答案】B;
【解析】解：由题意，，得，
；
设数列的公比为，则，即．
．
则．
，
令，
则，
两式相减得：．
故选：．
由已知列式求得等差数列的公差与等比数列的公比，可得与的通项公式，再求得，然后利用错位相减法求和．
该题考查等差数列与等比数列通项公式的求法，训练了利用错位相减法求数列的前项和，是中档题．
4.【答案】A;
【解析】
该题考查等差数列的通项公式，属基础题．
由题意可得首项和公差的方程组，解方程组再由通项公式可得．
解：由题意可得递增的等差数列共项，设公差为，
由题意可得总和，
又，
，
联立解得，，
最多的一份为．
故选：．
5.【答案】B;
【解析】
此题主要考查等比数列的前项和，主要是数列的项与和的关系和等比数列通项公式的运用，属基础题.
当时根据，可以求出数列的通项公式，进而得到数列的首项和公比，再由，解方程即可得到的值，
解：，
当时，，
等比数列的公比，首项，
而当时，， 解得，
故选
6.【答案】D;
【解析】
此题主要考查等比数列的性质与求和，属于基础题，利用等比数列中成等比数列可得.
解：因为各项为正，根据等比数列中成等比数列的性质，
即成等比数列，所以，
即，，
故选
7.【答案】D;
【解析】解：，
数列的“匀称”值为，
…，①
时，…，②
①②，得，
，，
当时，满足上式，
，
故选：
由已知得…，由此推导出，从而能求出
此题主要考查数列的等项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．
8.【答案】D;
【解析】解：根据题意，设塔的底层共有盏灯，则每层灯的数目构成以为首项，为公比的等比数列，
则有，
解可得：，
故选：．
根据题意，设塔的底层共有盏灯，分析可得每层灯的数目构成以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的前项和公式可得，解可得的值，即可得答案．
该题考查等比数列前项和的计算，注意构造等比数列的模型，属于基础题．
9.【答案】AC;
【解析】解：，
当时，有，
两式相减得：，，
又，，解得：，选项正确；
又当时，有，即，解得：或，故选项错误；
又，或，
①当时：
令，，则，则数列是等比数列，
又，
…，此时；
②当时：
令，，则，则数列是等比数列，
又，
…，此时，
故选项正确，选项错误，
故选：
由题设条件求得数列的公差与首项，再逐个选项验证其正误即可．
此题主要考查等差、等比数列的定义及基本量的计算，属于较难题．
10.【答案】BC;
【解析】
此题主要考查数列的递推关系，等比数列的通项公式，等比数列的求和，考查推理论证能力，属于中档题.
先由，求出与，再根据选项判断即可.
解：，当时，，
两式相减得，，即，
当时，，解得，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，，
，故错误；，故正确；数列是等比数列 ，故正确；
，不满足等比数列通项公式，故数列不是等比数列，故错误.
故选
11.【答案】AD;
【解析】解：数列是公比为的等比数列，是首项为，公差设为的等差数列，
则，，
，故A正确；
正负不确定，故B错误；
正负不确定，由，不能求得的符号，故C错误；
由且，则，，
可得等差数列一定是递减数列，即，
即有，故D正确．
故选：．
设等差数列的公差为，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A正确，与不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D正确．
该题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及单调性的判断，考查运算能力和推理能力，是中档题．
12.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查等比数列的性质，涉及等差数列的性质，考查逻辑推理能力，属于中档题.
根据等比数列的性质，等差数列的性质对选项逐一判断即可.
，
解：等比数列，公比为，则为等差数列， 公差，
对于，由，，且，得，，
，得，，若不然，，则，又，
数列，则，，不成立，故，
综上，，故正确；
对于，，故，故正确；
对于，由，，得，，
又，所以数列是递减数列，从第项开始小于零，
故前项和最大，即的最大值为，故正确.
对于，因为，，所以数列各项均为正的，没有最大值，故错误；
故选
13.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查了数列的递推关系，指数与指数幂的运算，等比数列的概念，等比数列的通项公式和等比数列的求和，属于中档题.
利用数列的递推关系得和当时，，再利用，结合等比数列的概念对进行判断，利用的结论，结合等比数列的通项公式得，当时，利用等比数列的求和，计算出，对进行判断，当时，利用指数幂的运算，对进行判断，再利用，计算得，对进行判断，从而得结论.
解： 对于、在数列中，
因为， 为非零常数①，
所以当时，，解得，
当时，②，
由①②得，即，
又因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，因此正确；
对于、由得，
因此当时，，
所以，因此不正确；
对于、由得，
因此当时，，
所以，因此正确；
对于、由得，
因此，
，
所以，因此不正确.
故选
14.【答案】;
【解析】解：由于等比数列中，每项的和仍然成等比数列，，，故有，，
，
故，
故答案为 ．
由于等比数列中，每项的和仍然成等比数列，求出，，，从而求得的值．
这道题主要考查等比数列的性质应用，利用了等比数列中，每项的和仍然成等比数列这一结论，属于中档题．
15.【答案】2n-1;
【解析】解：为递增等比数列的前项和，，，
，且，
解得，，
．
故答案为：．
利用等比数列前项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出通项公式．
该题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】17;
【解析】试题分析：
考点：等差数列通项公式，求和公式
17.【答案】;
【解析】
该题考查了等比关系的确定，等比数列的求和公式，属于较难题．
由递推式可得数列的奇数项和偶数项均组成公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式分别计算奇数项倒数之和与偶数项倒数之和，得出答案．
解：，
．
．
数列的奇数项和偶数项均组成公比为的等比数列．
，，
是以为首项，以为公比的等比数列，
是以为首项，以为公比的等比数列．
．
．
．
，解得，
，．
的最大正整数解为．
故答案为．
18.【答案】;
【解析】解：在等差数列中，由，
结合等差数列的性质可得，
在等比数列中，由，
结合等比数列的性质可得，
则．
又，
．
故答案为：．
由已知求得与的值，进一步求得，代入得答案．
该题考查等差数列与等比数列的性质，考查三角函数值的求法，是基础题．
19.【答案】解：Ⅰ由已知，有
，
即，
从而，，
又，，成等差数列，
，解得：．
数列是首项为，公比为的等比数列．故；
Ⅱ由Ⅰ得：，
．
由，得，即．
，
．
于是，使成立的的最小值为．;
【解析】该题考查等差数列性质与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
Ⅰ由已知数列递推式得到，再由已知，，成等差数列求出数列首项，可得数列是首项为，公比为的等比数列，则其通项公式可求；
Ⅱ由Ⅰ求出数列的通项公式，再由等比数列的前项和求得，结合求解指数不等式得的最小值．
20.【答案】当取或时，取最大值．;
【解析】由题意知，等差数列的公差为，所以于是，当取与最接近的整数，即或时，取最大值．
21.【答案】解：设建筑的楼房为层，该楼房每平方米的平均费用为元，
由题意知第层楼房的建筑费用为万元，
每增加一层，就增加万元费用，建筑层楼时，
该楼房的总费用为万元，
则，
且仅当，即时等号成立．
答：为了使该幢楼房每平方米的平均费用最低，应把楼房建成层，此时每平方米的平均费用为元．
;
【解析】此题主要考查了等差数列的求和公式的应用，及利用基本不等式求最值解决实际问题.
由题意楼房的每平方米建筑费用成等差数列，利用等差数列的求和公式，及已知条件求出楼房的总费用；再利用该楼房每平方米的平均综合费用最低，利用基本不等式可得结果.
22.【答案】解：由已知，得，
又，，，，
数列的公差，
由得，，
依题意可得数列的前三项为，，或，，
当等比数列的前三项为，，时，公比，；
当等比数列的前三项为，，时，公比，;
【解析】
本题主要是对等差数列和等比数列的性质以及数列通项公式的综合考查．
先利用已知条件求得，进而求出公差即可求的通项公式；
先求出数列的前三项再利用等比数列满足的条件进行调整，求出等比数列的前三项，知道首项和公比，再代入等比数列的通项公式即可求解.
23.【答案】解：Ⅰ由得，化简得，
由，，成等比数列，得，
化简得，
，，，，
因此数列的通项公式．
Ⅱ由题意，
因此
．;
【解析】该题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查等比数列的性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
Ⅰ由得，化简得，由，，成等比数列，得，求得和，即可得出通项．
Ⅱ，利用求和公式分组求和即可得出．
