2022-2023学年河北省保定市定州市高二（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定是( )
A. ， B.
C. ， D.
3. 已知随机变量服从正态分布，，则( )
A. B. C. D.
4. 已知，，，则( )
A. B. C. D.
5. 已知二项式的展开式中的系数是，则实数( )
A. B. C. D.
6. 已知直线与及的图象分别交于，两点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7. 甲口袋中有个红球，个白球和个黑球，乙口袋中有个红球，个白球和个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以，和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( )
A. B. 事件与事件相互独立
C. D.
8. 已知，为两个随机事件，，，则“，相互独立”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
9. 已知，则方程的根为______ ．
10. 已知随机变量，且，则 ______ ．
11. 某学校安排四名同学参加个不同社区的暑期实践活动，若每个社区至少人参加，且甲同学不去社区，则不同的安排方案共有______ 种
12. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. 本小题分
某农发企业计划开展“认领一分地，邀你来当农场主”活动．该企业把农场以微田园形式对外租赁，让人们认领．认领的田地由企业的专业人员打理，认领者可以随时前往体验农耕文化，所有收获归认领者所有．某咨询公司做了关于活动意愿情况的调查，随机抽取了份有效问卷，部分统计数据如表：
性别 参与意愿 合计
愿意参与 不愿意参与
男性
女性
合计
请将上述列联表补充完整，试依据小概率值的独立性检验，分析男性是否比女性更愿意参与活动；
为了更详细的了解情况，在份有效问卷中抽取不愿意参与活动的人员若干人组成观摩小组，观摩小组恰有男性名，女性名．从观摩小组中选取人为免费体验者，设免费体验者中男性人数为，求的分布列及数学期望．
附：，．
下表给出了独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．
14. 本小题分
已知函数．
判断函数的奇偶性与单调性，并说明理由；
解不等式．
15. 本小题分
某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，比赛采用七局四胜制即有一方先胜四局即获胜，比赛结束假设每局比赛甲获胜的概率都是．
求比赛结束时恰好打了局的概率；
若甲以：的比分领先时，记表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求的分布列及期望．
16. 本小题分
已知函数且．
当时，求函数的极值；
当时，求函数零点的个数．
17. 本小题分
据统计，某城市居民年收入所有居民在一年内收入的总和，单位：亿元与某类商品销售额单位：亿元的年数据如表所示：
第年
居民年收入
商品销售额
依据表格数据，得到下面一些统计量的值．
根据表中数据，得到样本相关系数以此推断，与的线性相关程度是否很强？
根据统计量的值与样本相关系数，建立关于的经验回归方程系数精确到；
根据的经验回归方程，计算第个样本点对应的残差精确到；并判断若剔除这个样本点再进行回归分析，的值将变大还是变小？不必说明理由，直接判断即可．
附：样本的相关系数，，，．
18. 本小题分
函数，．
若，求函数在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
若函数有两个极值点，，求的取值范围．
四、多项选择题（本大题共4小题，共20.0分）
19. 已知，，且，则( )
A. B. C. D.
20. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是( )
A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种
B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种
C. 甲乙不相邻的排法种数为种
D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种
21. 在某一季节，疾病的发病率为，病人中表现出症状，疾病的发病率为，其中表现出症状，疾病的发病率为，症状在病人中占则( )
A. 任意一位病人有症状的概率为
B. 病人有症状时患疾病的概率为
C. 病人有症状时患疾病的概率为
D. 病人有症状时患疾病的概率为
22. 已知函数，若有三个不等实根，，，且，则( )
A. 的单调递增区间为
B. 的取值范围是
C. 的取值范围是
D. 函数有个零点
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为集合，
则．
故选：．
求出集合再求即可．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是．
故选：．
利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
本题考查含有一个量词的否定．特称命题与全称命题的否定关系．
3.【答案】
【解析】解：随机变量服从正态分布，，
．
故选：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，，
．
故选：．
根据指数函数和对数函数的单调性即可得出：，，，然后即可得出，，的大小关系．
本题考查了指数函数、对数函数的单调性，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：二项式的展开式中的通项公式为，
令，可得，故的系数是，故，
故选：．
先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于，求得的值，即可求得展开式中的的系数，从而求得的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：令，则．
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，即最小值为．
故选：．
构造函数，利用导数得出其最小值，即为的最小值．
本题考查的知识点是两点间距离，转化为函数求最小值是解决本题的关键，是中档题．
7.【答案】
【解析】解：由题意得，所以A错误；
因为，
，
所以，即，
故事件事件与事件不相互独立，所以B错误，D正确；
，所以C错误；
故选：．
选项，根据题意求出，判断选项；
选项，利用全概率公式求出，进而得到，判断事件事件与事件不相互独立，得到选项正确；
选项，利用条件概率公式求解即可．
本题考查了条件概率、相互独立事件以及全概率的计算问题，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由题意，，，
若，相互独立，则，
，故，故充分性成立；
若，即，则，
即，故，即，相互独立，故，相互独立，故必要性成立；
故“，相互独立”是“”的充分必要条件．
故选：．
转化，，根据充分性必要性的定义，以及独立性的定义，分析即得解．
本题考查条件概率公式，考查相互独立事件的判定，是中档题．
9.【答案】，
【解析】解：当时，方程化为，此式显然不成立；
当时，方程化为，解得；
当时，方程化为，解得．
方程的根为，．
故答案为：，．
对分类把代入方程，分别求解得答案．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：，解得，
，解得，
，
．
故答案为：．
根据已知条件，结合二项分布的期望与方差的公式，即可求解．
本题主要考查二项分布的期望与方差的公式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：第一类：甲单独一组，
则从另外三人中选出两人为一组，
有种，
又甲不去社区，有种选择，
另外两组人分配到另外两个社区，有种情况，
则共有种方法；
第二类：甲与另外一人组成一个工作小组，有种情况，
由于甲不去社区，有种情况，
另外人分配到其它个社区，有种情况，
则共有种方法，
综上所述，共有种方法．
故答案为：．
由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理求解即可．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属基础题．
12.【答案】
【解析】解：函数，
若在区间上单调递增，
则恒成立，即在区间上恒成立，
即，
则
，，
，
则
故答案为：
求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系，建立不等式，利用参数分离法进行求解即可，
本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决本题的关键，考查学生的运算和转化能力．
13.【答案】解：列联表补充完整如下：
性别 参与意愿 合计
愿意参与 不愿意参与
男性
女性
合计
零假设为：参与意愿与性别无关联，
根据列联表的数据可得，，
对照附表，依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，所以认为参与意愿与性别有关联，此推断犯错的概率不大于，
根据数据计算，男性和女性愿意参与活动的频率分别为，，
可得，可见在被调查者中，男性愿意参与活动的频率是女性愿意参与活动频率的倍，据频率稳定于概率原理，我们可以认为男性比女性更愿意参与活动．
由题意可得，的可能取值为，，，，
，
，
，
，
故的分布列为：
故．
【解析】根据已知条件，结合列联表之间的数据关系，即可补充列联表，再结合独立性检验公式，即可求解．
由题意可得，的可能取值为，，，，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
14.【答案】解：函数的定义域为，
，则是偶函数，
当时，．
为增函数，为增函数，
为减函数，为增函数，
为增函数，
当时，为减函数．
是偶函数，且当时，为增函数，
不等式等价为，
即，
平方得，
即，即，
得，即不等式的解集为．
【解析】根据函数奇偶性的定义以及函数单调性的性质进行判断即可．
根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行转化是解决本题的关键，是中档题．
15.【答案】解：第一种情况：比赛结束时恰好打了局且甲获胜，
则概率为；
第二种情况：比赛结束时恰好打了局且乙获胜，
则概率为；
所以比赛结束时恰好打了局的概率为．
依题意得的可能取值为，，，
，
，
，
的分布列为：
．
【解析】分两种情况甲胜或乙胜，如果第局甲胜则前局甲胜局，若第局乙胜则前局乙胜局，即可求出概率；
写出的可能取值，求出各情况的概率即可得出结果．
本题主要考查离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的均值与方差，概率统计的应用等知识，属于中等题．
16.【答案】解：由题意得：，
令，得或舍去，
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；
所以函数有极小值，无极大值．
由得因为，
若，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以有极大值，
极小值，又，
所以函数有个零点．
若，则，所以函数单调递增，
此时，所以函数有个零点．
若，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以有极大值，显然极小值，
又，所以函数有个零点．
综上所述，当时，函数的零点个数为．
【解析】求出导函数，求出极值点，判断导函数的符号，然后求解函数的极值；
利用函数的导数，通过对参数分类讨论分析其单调性即可知函数的零点个数．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了函数零点个数的判断，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
17.【答案】解：根据样本相关系数，可以推断线性相关程度很强．
由及，
可得，
所以，
又因为，
所以，
所以与的线性回归方程．
第一个样本点的残差为：，
由于该点在回归直线的左下方，故将其剔除后，的值将变小．
【解析】根据样本相关系数，进得推断即可；
由可求得，由求得，即可得线性回归方程；
第一个样本点的残差为：，计算即可；由于该点在回归直线的左下方，故将其剔除后，的值将变小．
本题主要考查线性回归方程的应用，考查转化能力，属于基础题．
18.【答案】解：当时，，，
，，则函数在处的切线方程为，
切线与坐标轴的交点为，与坐标轴围成的三角形的面积为．
，因为函数有两个极值点，，
所以方程有两个不相等实数根，
故且，故，即，
则，不妨设，
正 负 正
增 减 增
据上表可知，在处取得极大值，在处取得极小值，
，
设，由于在上恒成立，
故在上递增，故，
则的取值范围为．
【解析】求导得切线方程，然后根据求出切线与坐标轴的交点，进而可求围成的三角形面积．
根据有两个极值点，可得，然后对化简，得，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，利用导数求取值范围的问题等知识，属于中等题．
19.【答案】
【解析】解：对于，利用基本不等式，得，所以，
当且仅当，即，时等号成立，故A正确；
对于，取特殊值，当时，，故B不正确；
对于，可知，
当，即时，等号成立，故C正确；
对于，取特殊值，当时，，故D不正确．
故选：．
根据基本不等式，以及代入特殊值，即可判断选项．
本题主要考查了利用基本不等式求最值、不等式的基本性质等知识，属于中档题．
20.【答案】
【解析】解：对于，甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，将甲乙看成一个整体，与丙，丁，戊全排列，有种排法，A正确；
对于，若甲站在最左端，乙和丙，丁，戊全排列，有种排法，
故B错误；
对于，先将丙，丁，戊三人排成一排，再将甲乙安排在三人的空位中，有种排法，C正确；
对于，甲，乙，丙，丁，戊五人全排列有种排法，
甲乙丙全排列有种排法，则甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故D正确．
故选：．
根据题意，由捆绑法，插空法，特殊元素优先处理法，对选项逐一判断，即可得到结果．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于中档题．
21.【答案】
【解析】解：任意一位病人有症状的概率为：，故A正确；
病人有症状时患疾病的概率为：，故B正确；
病人有症状时患疾病的概率为：，故C正确；
病人有症状时患疾病的概率为：，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合全概率公式，以及贝叶斯公式，即可求解．
本题主要考查全概率公式，以及贝叶斯公式，属于基础题．
22.【答案】
【解析】解：作出的图象，如图所示：
对于，由图象可得的单调递增区间为和，不能用并集符号，故错误；
对于，因为有三个不等实根，即与有三个不同交点，所以，故错误；
对于，则题意可知：，，所以，所以，故正确；
对于，令，则有，令，则有或，
当时，即，即，解得；
当时，即，所以或，解得，或或，
所以共有个零点，
即有个零点，故正确．
故选：．
作出的图象，结合图象逐一判断即可．
本题考查了对数函数的性质、转化思想、数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
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