2024高考一轮复习 第五讲 函数的解析式
一、选择题
1．（2023高一下·文山期中）已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，则的表达式是
A． B． C． D．
3．（2022高一上·柳州月考）已知，则函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022高一上·湖北月考）已知函数，若，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022高一上·克东期中）设函数，则的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022高一上·深圳月考）已知，则函数的解析式是（ ）
A． B．（且）
C． D．
7．（2022高一上·梧州月考）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·保定模拟）若函数，则函数的最小值为（ ）
A．-1 B．-2 C．-3 D．-4
9．（2022高一上·宝安期末）已知函数，若，则实数a的值为（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
10．（2021高一上·福州期中）已知函数是一次函数，且恒成立，则（ ）
A．1 B．3 C．7 D．9
11．（2021高一上·青岛期中）已知函数 为实数集上的增函数，且满足 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．（2021高一上·开封期中）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2022高一上·安徽月考）已知函数，则 ．
14．（2022高一上·泗洪期中）写出一个的二次函数的解析式 ．
15．（2022高一上·泗阳期中）已知函数，则 ．
16．（2022高一上·宝安期中）已知函数对于任意的都有，则 .
三、解答题
17．（2023高三上·杭州期末）已知函数满足．
（1）求函数的解析式；
（2）若关于x的方程恰有四个不同的实根，求实数k的取值范围．
18．（2023高一上·宝安期末）已知函数满足．
（1）求的解析式，并求在上的值域；
（2）若对，且，都有成立，求实数k的取值范围．
19．（2022高二上·云南月考）已知函数满足．
（1）求的解析式；
（2）设函数，若对任意，恒成立，求实数m的取值范围．
20．（2022高一上·清远期中）已知二次函数关于直线对称，，且二次函数的图像经过点（1，2）.
（1）求的解析式；
（2）求在上的值域.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】由，可得①，
又②，①＋②得：，解得，
故答案为：A．
【分析】利用方程思想求解函数的解析式，即可得答案.
2．【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解： ， ，
，
故答案为：B
【分析】根据题意，得到 ，进而求得函数 的表达式 .
3．【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】令由于，则，
所以，，得；
所以，函数的解析式为；
故答案为：B.
【分析】利用换元法，令从而化简可得，进而求出函数的解析式.
4．【答案】A
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】由题意，，即.
故答案为：A
【分析】利用函数的定义，将g (x)看成整体，可以得到函数的解析式 .
5．【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】令，则可得
所以，所以
故答案为：B
【分析】采用换元法，令，则，化简后用x代换t，即可得答案.
6．【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：由题知且，令，则（且），
∴（且），
∴（且）．
故答案为：B．
【分析】令，则（且），根据换元法求解析式即可.
7．【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】设，则且
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合换元法求出函数的解析式。
8．【答案】D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【解答】因为，
所以.
从而，
当时，取得最小值，且最小值为-4.
故答案为：D
【分析】由配方法求得，进而得到，即可求解。
9．【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：根据题意，，
则有，若，即，解可得，
故答案为：B．
【分析】根据题意，求出函数解析式，进而计算可得答案.
10．【答案】D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【解答】因为函数是一次函数，且恒成立，
令，则，
所以，解得，
所以，，
故答案为：D
【分析】设，则，据此可得求解可得t的值，即可得f (x)的解析式，将x=2代入函数的解析式计算可得答案.
11．【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【解答】因为 所以令 可得 ，
所以 ，所以 ，即 ，所以
故答案为：C
【分析】根据题意由整体思想整理化简即可得出即，从而得出t的取值，由此得出函数的解析式，然后把数值代入计算出函数的值即可。
12．【答案】A
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：由 ，得
，解得 .
故答案为：A.
【分析】由已知条件把-x代入函数的解析式，整理化简即可得出函数f(x)的解析式。
13．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】，所以。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合换元法得出函数的解析式。
14．【答案】（答案不唯一）
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】设，
由得，
不妨设，则，解得，
所以.
故答案为：（答案不唯一）
【分析】设出二次函数的解析式，利用，得，设，求出a，b，可得答案.
15．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】令，则，
，
所以.
故答案为：.
【分析】根据换元法，令，则，代入题中条件，即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】∵，则
联立，消去整理得：
故答案为：.
【分析】根据题意得到，联立方程组，求得，即可求解.
17．【答案】（1）解：由题意得：，∴，
解得；
（2）解：i.当时，明显无解；
ii.当时，只有一个实根，不符合条件；
iii.当时，恰有四个不相等的实根.
∴与共有四个不相等的实根.
∴解得或，∴或，
∴实数k的取值范围是．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数与方程的综合运用；根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】（1） 由题意得到，代入已知条件，即可求得的解析式；
（2） 当时，明显无解；当时，只有一个实根，不符合条件；当时，转化为与共有四个不相等的实根，列出不等式组，即可求解.
18．【答案】（1）解：因为①，
所以②，联立①②解得.
当时为增函数，时为减函数，
因为
所以
（2）解：对，，，都有，
不妨设，则由
恒成立，也即可得函数在区间（2，4）递增；
当，即时，满足题意；
当，即时，为两个在上单调递增函数的和，
则可得在单调递增，从而满足在（2，4）递增，符合题意；
当，即时，，其在递减，在递增，
若使在（2，4）递增，则只需；
综上可得：
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1） 由，得到，联立方程组，求得，在结合函数的单调性，即可求解；
（2）不妨设，根据题意转化恒成立，构造，结合函数的单调性，分和，两种情况讨论，得到，即可求解.
19．【答案】（1）解：由，
得，
消去得，所以．
（2）解：由，得，即对任意恒成立，
令，，
当时，取得最大值86，
所以实数m的取值范围为．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题
【解析】【分析】 (1)由 与 联立，可求得 的解析式；
(2)依题意，问题转化为 对任意恒成立， 求得 在[-3， 3]上取得最大值可得m的取值范围.
20．【答案】（1）解：设
由题意可得
解得
故.
（2）解：由题可知函数的对称轴为
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增
因为，，
所以函数在上的值域为.
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】（1）待定系数法设二次函数的解析式，根据题意联立方程组解出即可；
（2）利用二次函数的性质求二次函数在闭区间上的值域.
2024高考一轮复习 第五讲 函数的解析式
一、选择题
1．（2023高一下·文山期中）已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】由，可得①，
又②，①＋②得：，解得，
故答案为：A．
【分析】利用方程思想求解函数的解析式，即可得答案.
2．已知，，则的表达式是
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解： ， ，
，
故答案为：B
【分析】根据题意，得到 ，进而求得函数 的表达式 .
3．（2022高一上·柳州月考）已知，则函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】令由于，则，
所以，，得；
所以，函数的解析式为；
故答案为：B.
【分析】利用换元法，令从而化简可得，进而求出函数的解析式.
4．（2022高一上·湖北月考）已知函数，若，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】由题意，，即.
故答案为：A
【分析】利用函数的定义，将g (x)看成整体，可以得到函数的解析式 .
5．（2022高一上·克东期中）设函数，则的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】令，则可得
所以，所以
故答案为：B
【分析】采用换元法，令，则，化简后用x代换t，即可得答案.
6．（2022高一上·深圳月考）已知，则函数的解析式是（ ）
A． B．（且）
C． D．
【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：由题知且，令，则（且），
∴（且），
∴（且）．
故答案为：B．
【分析】令，则（且），根据换元法求解析式即可.
7．（2022高一上·梧州月考）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】设，则且
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合换元法求出函数的解析式。
8．（2022·保定模拟）若函数，则函数的最小值为（ ）
A．-1 B．-2 C．-3 D．-4
【答案】D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【解答】因为，
所以.
从而，
当时，取得最小值，且最小值为-4.
故答案为：D
【分析】由配方法求得，进而得到，即可求解。
9．（2022高一上·宝安期末）已知函数，若，则实数a的值为（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：根据题意，，
则有，若，即，解可得，
故答案为：B．
【分析】根据题意，求出函数解析式，进而计算可得答案.
10．（2021高一上·福州期中）已知函数是一次函数，且恒成立，则（ ）
A．1 B．3 C．7 D．9
【答案】D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【解答】因为函数是一次函数，且恒成立，
令，则，
所以，解得，
所以，，
故答案为：D
【分析】设，则，据此可得求解可得t的值，即可得f (x)的解析式，将x=2代入函数的解析式计算可得答案.
11．（2021高一上·青岛期中）已知函数 为实数集上的增函数，且满足 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【解答】因为 所以令 可得 ，
所以 ，所以 ，即 ，所以
故答案为：C
【分析】根据题意由整体思想整理化简即可得出即，从而得出t的取值，由此得出函数的解析式，然后把数值代入计算出函数的值即可。
12．（2021高一上·开封期中）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：由 ，得
，解得 .
故答案为：A.
【分析】由已知条件把-x代入函数的解析式，整理化简即可得出函数f(x)的解析式。
二、填空题
13．（2022高一上·安徽月考）已知函数，则 ．
【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】，所以。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合换元法得出函数的解析式。
14．（2022高一上·泗洪期中）写出一个的二次函数的解析式 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】设，
由得，
不妨设，则，解得，
所以.
故答案为：（答案不唯一）
【分析】设出二次函数的解析式，利用，得，设，求出a，b，可得答案.
15．（2022高一上·泗阳期中）已知函数，则 ．
【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】令，则，
，
所以.
故答案为：.
【分析】根据换元法，令，则，代入题中条件，即可求出答案.
16．（2022高一上·宝安期中）已知函数对于任意的都有，则 .
【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】∵，则
联立，消去整理得：
故答案为：.
【分析】根据题意得到，联立方程组，求得，即可求解.
三、解答题
17．（2023高三上·杭州期末）已知函数满足．
（1）求函数的解析式；
（2）若关于x的方程恰有四个不同的实根，求实数k的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得：，∴，
解得；
（2）解：i.当时，明显无解；
ii.当时，只有一个实根，不符合条件；
iii.当时，恰有四个不相等的实根.
∴与共有四个不相等的实根.
∴解得或，∴或，
∴实数k的取值范围是．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数与方程的综合运用；根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】（1） 由题意得到，代入已知条件，即可求得的解析式；
（2） 当时，明显无解；当时，只有一个实根，不符合条件；当时，转化为与共有四个不相等的实根，列出不等式组，即可求解.
18．（2023高一上·宝安期末）已知函数满足．
（1）求的解析式，并求在上的值域；
（2）若对，且，都有成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）解：因为①，
所以②，联立①②解得.
当时为增函数，时为减函数，
因为
所以
（2）解：对，，，都有，
不妨设，则由
恒成立，也即可得函数在区间（2，4）递增；
当，即时，满足题意；
当，即时，为两个在上单调递增函数的和，
则可得在单调递增，从而满足在（2，4）递增，符合题意；
当，即时，，其在递减，在递增，
若使在（2，4）递增，则只需；
综上可得：
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1） 由，得到，联立方程组，求得，在结合函数的单调性，即可求解；
（2）不妨设，根据题意转化恒成立，构造，结合函数的单调性，分和，两种情况讨论，得到，即可求解.
19．（2022高二上·云南月考）已知函数满足．
（1）求的解析式；
（2）设函数，若对任意，恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：由，
得，
消去得，所以．
（2）解：由，得，即对任意恒成立，
令，，
当时，取得最大值86，
所以实数m的取值范围为．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题
【解析】【分析】 (1)由 与 联立，可求得 的解析式；
(2)依题意，问题转化为 对任意恒成立， 求得 在[-3， 3]上取得最大值可得m的取值范围.
20．（2022高一上·清远期中）已知二次函数关于直线对称，，且二次函数的图像经过点（1，2）.
（1）求的解析式；
（2）求在上的值域.
【答案】（1）解：设
由题意可得
解得
故.
（2）解：由题可知函数的对称轴为
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增
因为，，
所以函数在上的值域为.
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】（1）待定系数法设二次函数的解析式，根据题意联立方程组解出即可；
（2）利用二次函数的性质求二次函数在闭区间上的值域.
