府谷县2023-2024学年高三上学期第一次联考（月考）
理科数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、函数、导数及其应用。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题：，，则为（ ）
A.， B.，
C.， D.，
2.设集合，，则的子集的个数为（ ）
A.7 B.8 C.15 D.16
3.已知幂函数在上单调递增，则（ ）
A.3 B. C.3或 D.或
4.函数的部分图象大致为（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
6.设，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
7.已知，，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也必要条件
8.已知函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9.定义在上的偶函数满足：对任意的，，都有，且，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
11.若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（ ）
A. B. C.1 D.
12.已知函数若存在实数，，且，使得，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数则______.
14.______.
15.定义在上的奇函数满足，，且当时，，则______.
16.已知正实数，满足，则的最大值为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
已知函数的定义域为集合，集合.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.
18.（本小题满分12分）
已知：函数在区间上单调递增；：函数在区间上存在极值点.
（1）若为真，求的取值范围；
（2）若为真，求的取值范围.
19.（本小题满分12分）
已知函数是偶函数.
（1）求的值；
（2）设，，若对任意的，存在，使得，求的取值范围.
20.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，，求的最小值.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若在上恒成立，求的取值范围；
（2）设，，为函数的两个零点，证明：.
府谷县2023-2024学年高三上学期第一次联考（月考）
参考答案、提示及评分细则
1.D 由题意知为，.
故选D.
2.B 由题意知，，所以，所以的子集的个数为.
故选B.
3.A 因为幂函数，所以，解得或.当时，在上单调递减，不符合题意；当时，在上单调递增，符合题意.综上，.
故选A.
4.A 因为的定义域为，又，所以是偶函数，当时，，所以，令，所以，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，即在上单调递增，在上单调递减，又，，，所以存在，，使得，，所以当时，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故A符合.
故选A.
5.B 当时，，所以在上单调递增.当时，，所以，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.
故选B.
6.A 因为，，，又，在上单调递增，所以.综上，.
故选A.
7.B 因为，所以，令，易得在上单调递增，又，所以，又，，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选B.
8.C 由题意可得当时，，所以的值域为，当时，的值域为，又的值域为，所以，所以解得，即的取值范围是.
故选C.
9.D 因为函数满足对任意的，都有，所以在上单调递减，又是定义在上的偶函数，所以在上单调递增，又，所以，所以当时，，当或时，，则不等式等价于或解得或，即原不等式的解集为.
故选D.
10.C 由题意知在区间上恒成立，即在区间上恒成立.令，，所以，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即的取值范围是.故选C.
11.C 设直线与曲线相切于点，直线与曲线相切于点，则，且，所以，又，且，所以.令，所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又，当时，，因为，，即，所以，，所以，故.
故选C.
12.D 作出的函数图象如图所示：
若存在实数，，且，使得，所以，，由图可知，，所以.设，，所以，在上单调递增，又，所以当时，，所以在上单调递增，所以.
故选D.
13.4 由题意知.
14.5 .
15.2024 因为是奇函数，所以，又，所以，即，所以，所以是周期为4的周期函数.因为是奇函数，所以，所以当时，，所以，，，，所以，所以.
16. 由得，所以，则，因为，，，所以，令，则，所以在上单调递增，所以由，即，得，所以，所以.令，，所以，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.
17.解：（1）由题意得：
解得，所以.
若，则，所以.
（2）因为，所以.
当时，满足，则，解得；
当时，由得解得.
综上，的取值范围为.
18.解：（1）因为函数在区间上单调递增，
所以函数在区间上单调递增，所以，
解得，即的取值范围是.
（2）由题意知，
若为真，则，
解得.
若为真，则为真，为真，所以解得，
即的取值范围是.
19.解：（1）因为是偶函数，
所以，即，
即，所以.
（2）因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值.
因为在上单调递增，所以，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，解得，即的取值范围是.
20.解：（1）若，则，
所以，即，所以，
所以或，解得或，
即不等式的解集为.
（2）若，即，解得，
所以，
令，，所以.
当，即时，在上单调递增，
所以，即.
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，即.
综上，
21.解：（1）若，则，所以，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2），
当时，令，解得，
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，解得或，
令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，由在上恒成立
，所以在上单调递增，
当时，令，解得或，
令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
22.（1）解：若在上恒成立，即，
令，所以，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以，即的取值范围是.
（2）证明：令，即，令，
则，
令，所以，所以在上单调递增，
又，所以当时，，所以，
当时，，所以，
所以在上单调递减，在上单调递增.
不妨设，则，
因为，
所以
.
设函数，则在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，
所以，即，
又函数在上单调递减，
所以，所以.
