黎川县2023-2024学年高二上学期开学考试
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡的相应位置上：
2.作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题（每题5分，共40分）
1．集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．下列命题不正确的是（ ）
A．正方体一定是正四棱柱 B．平行六面体的六个面均为平行四边形
C．有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D．底面是正多边形的棱柱是正棱柱
3．函数是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．以上都不对
4．若向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．已知锐角满足，则等于（ ）
A． B．或 C． D．
7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用图明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理图假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车的半径为，筒车转动的角速度为，如图所示，盛水桶视为质点的初始位置距水面的距离为，则后盛水桶到水面的距离近似为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在直角梯形中，，将沿折起，使得平面平面．在四面体中，下列说法正确的是（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
二、多选题（每题5分，共20分）
9．已知复数，，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．若，则或 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则一定是钝角三角形
B．若，则
C．若，则为等腰三角形
D．若为锐角三角形，则
11．已知函数图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．是函数的一个零点
C． D．
12．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．当P为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题（共20分）
13．若圆锥侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则这个圆锥表面积为 ．
14．不等式的解集为 ．
15．如图，一个水平放置在桌面上的无盖正方体容器，，容器内装有高度为的水，现将容器绕着棱所在直线顺时针旋转，容器中水恰好未溢出，则 ．
16．中，角A，B，C满足，则的最小值为 ．
四、解答题（共70分）
17．已知，且是第三象限角.
(1)求和的值；
(2)求的值.
18．已知两个非零向量与不共线.
(1)若与平行，求实数的值；
(2)若，，且，求.
19．已知i是虚数单位，复数．
(1)若z为纯虚数，求实数a的值；
(2)若z在复平面上对应的点在直线上，求复数z的模．
20．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．
(1)求三棱柱的表面积；
(2)求证：平面．
21．在海岸A处，发现北偏西75°的方向，与A距离2海里的B处有一艘走私船，在A处北偏东45°方向，与A距离（）海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜，问：
(1)刚发现走私船时，缉私船距离走私船多远？在走私船的什么方向？
(2)缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
22．如图①梯形ABCD中，，，，且，将梯形沿BE折叠得到图②，使平面平面BCDE，CE与BD相交于O，点P在AB上，且，R是CD的中点，过O，P，R三点的平面交AC于Q．
(1)证明：Q是AC的中点；
(2)证明：平面BEQ；
(3)M是AB上一点，已知二面角为45°，求的值．
答案
1．A
因为，，所以．
故选：A．
2．D
对于A，上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱，所以正方体是正四棱柱，故A正确；
对于B，底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，而棱柱的各个侧面都是平行四边形，故B正确．
对于C，有两个相邻的侧面是矩形，说明公共侧棱与底面两条相交直线垂直，则侧棱与底面垂直，而侧棱与底面垂直的棱柱为直棱柱，所以有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱，故C正确；
对于D，底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，底面是正多边形但侧棱与底面不垂直的棱柱不是正棱柱，故D错误；
故选：D.
3．B
依题意，函数，化为是偶函数.
故选：B
4．A
由向量，
因为，可得，解得，即，
所以.
故选：A.
5．C
由可得，
所以，
，．
故选：C
6．C
因为满足，
所以，.
由此可得.
又因为，所以，
故选：C.
7．A
设初始位置时对应的角为，则，则，
因为筒车转到的角速度为，
所以水桶到水面的距离，
当时，可得.
故选：A.
8．B
对于B：因为在直角梯形中，，
在中，，由余弦定理，得，
所以，可得，又平面平面，
且平面平面，平面，
故平面，平面，则，又，
，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面，故B正确；
对于A：若平面平面，平面平面，平面，
又，所以AD平面，而平面，所以，
由B知平面，平面，所以，
在中，，显然不可能，故B错误；
对于C：取的中点，连接，因为，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，作与点，连接，因为平面，
所以，若平面平面，平面平面，
平面，所以平面，因为平面，所以，
在中，，显然不可能，故C错误；
对于D：若平面平面，平面平面，平面，
且由B知，所以平面，因为平面，所以，
在中，，显然不可能，故D错误.
故选：B.
9．AC
A选项，设，
，
则，则或，
即或，所以A选项正确.
B选项，若，但，所以B选项错误.
C选项，若，则，所以，所以，C选项正确.
证明：，
.
D选项，若，则，所以D选项错误.
故选：AC
10．ABD
对于A选项，因为，则，
故角为钝角，A选项正确；
对于B选项，因为，由正弦定理可得，所以，B选项正确；
对于C选项，因为，即，
整理可得，所以，或，
故为等腰三角形或直角三角形，C选项错误；
对于D选项，若为锐角三角形，所以，所以，
则，D选项正确.
故选：ABD
11．ABD
，，
由于图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，
所以，所以，
A选项，函数的最小正周期为，A选项正确.
B选项，，B选项正确.
C选项，，所以C选项错误.
D选项，，所以，D选项正确.
故选：ABD
12．AB
对于选项A：因为为正方形，则，
又因为平面，平面，则，
且，平面，
所以平面，
且平面，可得，
同理可得：，
且，平面，
所以直线平面，故A正确；
对于选项B：因为∥，且，则为平行四边形，可得∥，
且平面，平面，所以∥平面，
又因为点在线段上运动，则到平面的距离为定值，
且的面积是定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；
对在选项C：由选项B可知：∥，
所以异面直线与所成角为直线与直线的夹角.
又因为，则为等边三角形，
当为的中点时，直线与直线的夹角最大，
可得，即直线与直线的夹角为；
当与点或重合时，直线与直线的夹角最小，
可得直线与直线的夹角为；
所以异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；
对于选项D：当P为的中点时，直线即为直线，
所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角，
设点到平面的距离为d，正方体的棱长为2，
因为，
由等体积法可得，解得，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
即直线与平面所成角的正弦值为，故D错误；
故选：AB.
13．
设圆锥底面半径为，扇形的弧长为，
因为，所以，
所以，
.
故答案为：.
14．
画出时，的图象．
令，，解得或
又的周期为，所以的解集为．
用代替解出．可得
则的解集为.
故答案为：.
15．1
因为容器是正方体，所以绕着棱A1B1所在直线顺时针旋转45°,
得到三棱柱,如图
此时水占了该正方体体积的一半，
则有．
故答案为：1．
16．
依题意，，
，
，由正弦定理得，
所以，所以为锐角，且.
，由于且，
所以且，
所以，
所以，当，是等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：
17．(1)，；
(2)
（1）因为是第三象限角，所以，
因为，，故，；
（2）由（1）可知，，
故.
18．(1)
(2)或
（1）因为与平行，且与不共线
所以
所以，解得
（2）因为
所以，解得或.
经检验，均满足与不共线，故或
19．(1)
(2)
（1）∵是纯虚数，
∴，解得；
（2）易知z在复平面上对应的点为，该点在直线上，
得，即，得．
∴．则．
20．(1)
(2)证明见解析
（1）因为侧棱底面，所以三棱柱为直三棱柱，
所以侧面，，均为矩形．
因为，所以底面，均为直角三角形．
因为，，所以．
所以三棱柱的表面积为
．
（2）连接交于点，连接，因为四边形为矩形，
所以为的中点．因为为的中点，所以．
因为平面，平面，所以平面．
21．(1)缉私船距离走私船海里，在走私船的正东方向
(2)缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船
（1）由题意，可得，
则 ，
在中，由正弦定理，即，
解得，因为，所以，所以为水平线，
所以刚发现走私船时，缉私船距离走私船海里，在走私船的正东方向．
（2）设经过时间小时后，缉私船追上走私船，
在中，可得，
由正弦定理得，
因为为锐角，所以，
所以缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船．
22．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
（1）在图①中过C作，则，
图②中，连接BD，CE，
又∵，∴，∴，∴且．
∴，∴，
在中，，
∴，又平面ACD，平面ACD，
∴平面ACD，平面平面，
∴，∴，
又R是CD的中点，∴Q是AC的中点；
（2）如图，在直角梯形BCDE中，，∴
中，，，∴
∴，∴
又∵平面平面BCDE，平面平面BCDE，
∴平面BCDE，平面BCDE，∴，
又，平面ACE，
又平面ACE，∴，
在中，，，∴
∴，又由（1）Q是AC的中点，
∴，，∴平面ACD，
又平面ACD，∴
又∵，，∴平面ADE，
∴，又，∴平面BEQ；
（3）如图，过M作，过H作于点G，连结MG，
则∠MGH为二面角的平面角，∴，
设，∴
又，∴
在中，，
由得，即，∴
∴
