辽宁省名校联盟2023年高二9月份联合考试
数学
命题人：辽宁名校联盟试题研发中心 审题人：辽宁名校联盟试题研发中心
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知点在幂函数的图像上，则（ ）
A． B． C． D．
4．设是互不重合的三个平面，是不同的三条直线，则不能够推出的是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
5．在四面体中，分别为的中点，记，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知均为锐角，的顶点都与坐标原点重合，始边均与轴的非负半轴重合，的终边经过点的终边经过点，且，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．柏拉图多面体是柏拉图及其追随者对正多面体进行系统研究后而得名的几何体．下图是棱长均为1的柏拉图多面体分别为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数甲、乙、丙、丁四名同学研究在上的零点分布情况，各得出一个结论：
甲：若在上有0个零点，则实数的取值范围为；
乙：若在上有1个零点，则实数的取值范围为；
丙：若在上有3个零点，则实数的取值范围为；
丁：若在上有5个零点，则实数的取值范围为．
则这四名同学中得出正确结论的是（ ）
A．甲、丙、丁 B．甲、乙 C．乙、丙 D．丙、丁
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知函数，则（ ）
A．的图像的两条相邻对称轴之间的距离为
B．的图像关于点对称
C．在上不单调
D．在上的最小值为
10．下列物体中，能够整体放人半径为1（单位：m）的球体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．棱长为的正方体 B．底面棱长为，侧棱长为的正六棱锥
C．底面直径为，高为的圆柱体 D．底面直径为，高为的圆柱体
11．已知函数是上的偶函数，，当时，，则（ ）
A．的图像关于直线对称 B．4是的一个周期
C．在上单调递增 D．
12．已知是圆锥的底面圆的直径，分别是底面圆的圆周上的点，且，为的中点，则（ ）
A．平面平面 B．三棱锥的体积为
C．异面直线与所成角为 D．直线与平面所成角为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量满足，则___________．
14．已知矩形，采用斜二测画法作出其直观图，若其直观图的面积为，则矩形的周长可以为___________．
15．已知正三棱台的侧棱长为3，高为，其侧面积为，则该正三棱台的体积为___________．
16．设的内角所对的边分别为，已知，点在边上，，且，则的面积为___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知向量，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
18．（12分）
如图①，在矩形中，分别为的中点，现将矩形沿折至的位置，使得平面平面分别为的中点，如图②所示．
（1）证明：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19．（12分）
如图，在正四棱柱中，分别为的中点，点在上，且．
（1）证明：四点共面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（12分）
已知函数是奇函数．
（1）求实数的值；
（2）当时，，求实数的取值范围．
21．（12分）
某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点米的点处建一凉亭，距离点米的点处再建一凉亭，测得，．
（1）求的值；
（2）测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？
22．（12分）
如图，在四棱锥中，，且直线与直线垂直．
（1）证明：为直角三角形；
（2）若，四棱锥的体积为为棱上一点，且二面角的大小为，求线段的长度．
参考答案及解析
一、选择题
1．A 【解析】由得，解得，则．故选A项．
2．C 【解析】，所以．故选C项．
3．B 【解析】由幂函数的定义可知，解得，将点代入，得，解得，所以．故选B项．
4．C 【解析】由，且可知，，所以能够推出，A项不符合题意；由，且及面面平行的性质定理可知，能够推出，B项不符合题意；由，得，又，，所以可能平行，可能异面，则不能够推出，C项符合题意；由可知，，又，所以，D项不符合题意．故选C项．
5．A 【解析】因为，所以．故选A项．
6．D 【解析】由三角函数的定义可知，由，得，即，则，又均为锐角，则为锐角，所以．故选D项．
7．A 【解析】由柏拉图多面体的性质可知，四边形均为边长为1的正方形，侧面均为等边三角形．取的中点，连接，则，同理，．故选A项．
8．D 【解析】若在上有0个零点，当时，则或，解得；当时，无解，所以在上有0个零点，则实数的取值范围为，甲同学结论错误；若在上有1个零点，当时，则或解得；当时，或解得，所以在上有1个零点，则实数的取值范围为，乙同学结论错误；至多有两个零点，要使在上有3个零点，则需有零点，则，又，所以仅有一个零点，所以有2个零点，则，所以，故若在上有3个零点，则实数的取值范围为，丙同学结论正确；若在上有5个零点，由上可知，，且仅有一个零点，所以有4个零点，则，所以，故若在上有5个零点，则实数的取值范围为，丁同学结论正确．故选D项．
二、选择题
9．BCD 【解析】由可知，的最小正周期为，其图像相邻两条对称轴之间距离为，A项错误；令，解得，令，则的图像关于点对称，B项正确；令，解得，令，所以在上单调递减，可见在上不单调，C项正确；当时，，所以，D项正确．故选BCD项．
10．AD 【解析】棱长为的正方体的外接球的直径为，A项正确；棱长为的正六棱锥底面的外接圆的半径为，此时外接圆恰好是半径为的球体的大圆，而正六棱锥的高为，显然不能够整体放人球体容器，B项错误；底面直径为，高为的圆柱体的外接球的半径为，C项错误；底面直径为，高为的圆柱体的外接球的半径为，D项正确．故选AD项．
11．ACD 【解析】由函数是上的偶函数可知，为奇函数，则．由，得，则，所以，则的图像关于直线对称，A项正确；由可知，8是的一个周期，由可知，4不是的一个周期，B项错误；当时，为增函数，又为奇函数，所以在上单调递增，C项正确；又，，且在上单调递增，所以，即，D项正确．故选ACD项．
12．ABC 【解析】如图所示，因为，所以为等边三角形，因为，所以为等边三角形．由，得，在中，，则，连接，则，同理，因为，所以．同理证得．因为，所以平面，又平面，所以平面平面，A项正确；由上可知，三棱锥的体积为，B项正确；取的中点，连接，则，所以为异面直线与所成角，因为为等腰直角三角形，所以，C项正确；由，得，所以，则．由圆锥的性质可知，底面圆，平面底面圆，所以平面，则平面平面，即平面平面．取的中点，连接，则，所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角．由上可知，直线在平面内的射影在直线上，所以为直线与平面所成角．易知，显然，D项错误．故选ABC项．
三、填空题
13．1 【解析】由得，，由，得，则，所以，故．
14．8（答案不唯一，大于或等于8即可） 【解析】设矩形的长与宽分别为，根据斜二测画法可知，直观图的面积与原图的面积之间满足，即，所以，则，当且仅当时取得等号，所以矩形周长的最小值为8，故矩形的周长可以为8，9，10等．
15． 【解析】如图，设正三棱台的上、下底面的边长分别为分别为上、下底面的中心，连接，则为正三棱台的高，，易知．过作，垂足为，则，所以，所以．过作，垂足为，则，所以，因为正三棱台的侧面积为，所以每个侧面的面积为，由，得，解得，所以上、下底面的面积分别为，故该正三棱台的体积．
16． 【解析】由，得．设，则，由，得，整理得，则，所以的面积．
四、解答题
17．解：由，且，得，
所以，则．
（1）．
（2）
．
18．（1）证明：连接，因为分别为的中点，所以，且，
所以四边形为平行四边形，则，
在中，分别为的中点，
所以为的中位线，
则，所以，
又平面平面，
故平面．
（2）解：因为平面平面，平面平面，
所以平面，则．
由题意可知．
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，则．
设线段上存在满足题意的点，
则，所以，
由可知，
解得，
故存在满足题目条件的点，且．
19．（1）证明：因为平面平面，所以，
又，所以以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
由，得，
所以．
设，则
解得．
所以，故四点共面．
（2）解：设平面的法向量为，
由即
取，则．
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
20．解：（1）由是奇函数，得，
即，
所以，
整理得，对于定义域内的每一个恒成立，
所以，解得．
当时，为奇函数，符合题意；
当时，不存在．
综上，实数的值为2．
（2），
易知在上单调递减，
所以．
设，则，
由，
得在上恒成立，
令，
易知在上单调递增，
所以，
则，
故实数的取值范围为．
21．解：（1）由，
得，
则，
在中，由正弦定理得，即，
所以．
（2）在中，由余弦定理得，
整理得，
解得（舍去）．
在中，，
所以，
又，
解得．
在中，，
所以．
由于观光通道每米的造价为2000元，所以总造价低于元，故预算资金够用．
22．（1）证明：由可知，为等边三角形，所以．
又，则，则．
所以，所以．
因为直线与垂直，即，
又，所以平面，
因为平面，所以，
故为直角三角形．
（2）解：取的中点，连接．
因为，所以，
由（1）可知，平面平面，
又平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以，
又为等边三角形，所以．
易知梯形的面积，
所以，
则．
由上可知，两两互相垂直，以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
,
则，
．
设，则，
所以．
设平面的一个法向量，
则
取，则．
由上可知为平面的一个法向量，记，
则．
令，整理得，
解得（负值舍去），
则，解得，
经检验，符合要求．
故．
