新乐市重点中学2023-2024学年高三上学期开学测试
（数学）
一、单选题
1．“，使得”的否定是
A．，使得 B．，使得
C．， D．，
2．设全集，集合，，则
A． B． C． D．
3．已知数列是等差数列，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．“”是“函数存在零点”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．展开式中的系数为（ ）
A．42 B．48 C．84 D．96
6．在数列{an}中，a1＝﹣2，an+1＝，则a2016＝（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．3
7．若关于x的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．设，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B C． D．
二、多选题
9．命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
10．下列不等式一定成立的有（ ）
A． B．当时，
C．已知，则 D．正实数满足，则
11．从有大小和质地相同的3个红球和2个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则（ ）．
A．第一次摸到红球的概率为
B．第二次摸到红球的概率为
C．在第一次摸到蓝球的条件下，第二次摸到红球的概率为
D．在前两次都摸到蓝球的条件下，第三次摸到红球的概率为
12．已知等差数列，其前n项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．使的的最大值为 C．公差 D．当时最大
三、填空题
13．已知数列对任意正整数n都有，且是方程的两个实根，则 .
14．记函数的导函数的导函数为，且满足，则 ．
15．已知甲箱内有4个白球2个黑球，乙箱内有3个白球2个黑球，先从甲箱中任取一球放入乙箱，然后从乙箱中任取一球，则事件“从乙箱中取得黑球”的概率为
16．若函数在上有最小值，则实数的取值范围为
四、解答题
17．已知集合．
（1）求； （2）若，求实数a的取值范围．
18．已知（）.
(1)若的解集为，求关于的不等式的解集；
(2)若，解关于的不等式.
19．已知数列满足，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式．
20．已知三次函数在处取得极值，且在点处的切线与直线平行.
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间(1，2)上单调递增，求的取值范围.
21．某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了60名男生和60名女生，通过调查得到如下数据：60名女生中有10人课间经常进行体育活动，60名男生中有20人课间经常进行体育活动.
(1)请补全列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联；
课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动 合计
男
女
合计
(2)以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为，求的分布列、数学期望和方差.
附表：
0. 1 0. 05 0. 01 0. 005 0. 001
2. 706 3. 841 6. 635 7. 879 10. 828
附：，其中.
22．口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止.
(1)记总的抽取次数为X，求E（X）；
(2)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为Y，求E（Y）并从实际意义解释E（Y）与（1）中的E（X）的大小关系.
参考答案：
1．C 2．B 3．C 4．A 5．A 6．D 7．C 8．C
9．CD 10．CD 11．AB 12．ACD
13．12 14．1 15． 16．
17．（1），
或，
，
或.
（2）因为，所以.
当时，则，解得，符合题意；
当时，则，解得.
综上，实数a的取值范围为.
18．（1）若的解集为,
则是方程的两根，
所以解得.
故不等式等价于.即，解得或.
所以不等式的解集为或
（2）当时，原不等式可化为.
当，即时，解得；
当，即时，解得；
当，即时，解得.
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
19．(1)∵
，
∴，
∴数列是以为公差的等差数列；
(2)由（1）知，，
∴．
20．（1），由题意，解得，
所以；
（2）由（1），，
在是递增，则在上恒成立，
，时，，所以．
21．（1）零假设为：性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关，依题意，列出列联表如下：
课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动 合计
男 40 20 60
女 50 10 60
合计 90 30 120
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联，此推断犯错误的概率不大于0. 05
（2）由题意得，经常进行体育活动者的频率为，
所以在本校中随机抽取1人为经常进行体育活动者的概率为，
随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4，由题意得，
所以，
，
，
，
，
，
的分布列为：
0 1 2 3 4
的数学期望为，的方差为.
22． （1）X可能取值为4，5，6，7，
，
；
（2）Y可能取值为4，5，6，7，设甲袋和乙袋抽取次数分别为和 ，
，
，
，
，
.
在将球分装时，甲袋中的黑球取完后直接取乙袋，若此时甲袋中还有其它球，则该球的干扰作用已经消失，所以同样是要取出4个黑球，调整后的方案总抽取次数的期望更低.
