思维拓展：长方体和正方体拔高训练（试题）数学六年级上册苏教版
一、选择题
1．将三盒这样的饼干包装成一包，选择下面哪种尺寸包装纸比较合适？（ ）
A． B．
2．一个长方体的上面、右面和后面的面积分别是12厘米2、8厘米2、6厘米2，这个长方体的体积是（ ）厘米。
A．57 B．52 C．24
3．下图是一个棱长4厘米的正方体，在正方体上面正中向下挖一个棱长是2厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长是1厘米正方体小洞，最后得到的立方体图形的表面积是（ ）平方厘米。
A．96 B．116 C．128 D．132
4．如图，有一个无盖的正方体纸盒，下底标有字母“M”，如果沿图中粗线将其剪开并展开成平面图形想想会是（ ）。
A． B．
C． D．
5．下面各个立体图形都是由若干个同样大小的立方体拼成的，表面积最大的图形是（ ）。
A．图① B．图② C．图③ D．图④
6．火车站为旅客提供打包服务，如果长宽高分别为a，b，c的箱子按如图的方式打包，则打包带长至少为（ ）
A．4a＋4b＋10c B．a＋2b＋3c C．2a＋4b＋6c D．6a＋8b＋6c
二、填空题
7．商店营业员用一根塑料绳为顾客捆扎两个食品盒，每个食品盒的长、宽、高分别是15厘米、11厘米、4厘米，如下图那样捆扎一道并留下16厘米长为手提环，这样一共需要( )厘米长的塑料绳．
8．把一根长6分米的铁丝，做成一个长6厘米，宽5厘米，高2厘米的长方体灯笼框架后，还剩( )厘米．如果给这个框架的四周糊上一层彩纸，需要彩纸( )平方厘米．
9．一个长方体的高减少2厘米后正好成为一个正方体，正方体的表面积比原来长方体的表面积减少了64平方厘米，求原来长方体的体积是( )。
10．一个长方体容器从里面量长是10分米,宽是6分米,高是5分米,最多可以容纳( )个棱长是3分米的小正方体木块．
11．下图中每个小正方体的棱长都是3cm．
表面积：( )cm2
表面积：( )cm2
表面积：( )cm2
( )个的表面积是1854cm2
12．把一个正方体木块的表面全涂成红色，然后平均切成若干个大小相等的正方体．如果两面是红色的小正方体有36个，那么一面是红色的小正方体有( )个．
13．大林用棱长1厘米的小正方体摆成一个物体（如图），这个物体的体积是( )立方厘米；表面积是( )平方厘米。
14．把一个棱长4厘米的正方体分成两个完全一样的长方体，这两个长方体的体积之和是( )立方厘米；表面积之和是( )平方厘米。
三、解答题
15．一张长40厘米，宽20厘米的长方形铁皮，张师傅想把它加工成一个高5厘米的长方体无盖容器，并且使它的容积大于1500立方厘米，你想怎么设计？画出剪裁图，并算出容积（损耗略不计）。
16．一个长方体，如果高增加2厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来增加56平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？
17．一个正方体容器的棱长是40厘米，容器内的水面高35厘米，现将一根长60厘米、横截面的面积是400平方厘米的长方体铁棒垂直插入水中，会溢出多少升水？
18．一个长方体，若高减少4cm，则表面积会减少96cm ，这时长方体正好变成一正方体。原来长方体的体积是多少立方厘米？
19．一个棱长4厘米的正方体，在正中从上到下挖出一个长方体孔洞，孔洞的底面为边长2厘米的正方形，这个空心图形的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？
20．下图是两个小正方体和一个长方体，请计算出它的体积和表面积分别是多少？
参考答案：
1．A
【详解】将三盒这样的饼干包装成一包，把三盒饼干的最大面重合摞起来包装最节省包装纸，三盒饼干拼成一个长是18厘米，宽是15厘米，高是（3×3）厘米的长方体，根据长方体的侧面展开图的特征，把这个长方体的展开，然后与两种不同尺寸的纸进行比较即可。
【解答】解：长方体展开图的长：
（18＋3）×2
＝21×2
＝42（厘米）
长方体展开图的宽：
（15＋3）×2
＝18×2
＝36（厘米）
所以选择55×35的包装纸比较合适。
故选：A。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体的展开图的特点。
2．C
【分析】设长、宽、高分别为a厘米、b厘米、h厘米，根据题意可表示出长方体上面、右面和后面的面积的算式，将这些算式相乘，可得到长、宽、高三数平方的积，进而得出长、宽、高三数乘积（长方体的体积）。
【详解】设长、宽、高分别为a厘米、b厘米、h厘米。
则ab＝12，bh＝8，ah＝6
将上面三式相乘为：
a2b2h2＝576
因为24×24＝576，所以abh＝24即长方体的体积是24。
故答案为：C
【点睛】解答本题的关键是用字母表示出长方体上面、右面和后面的面积算式。
3．B
【分析】观察图可知：最后得到的立方体图形的表面积＝大正方体的表面积＋两个小正方体4个侧面面积的和，将数值代入正方体表面积公式中计算即可。
【详解】最后得到的立方体图形的表面积：
42×6＋22×4＋12×4
＝96＋16＋4
＝116（平方厘米）
故答案为：B
【点睛】本题考查正方体表面积公式的应用，关键要理解求得是哪几个面的面积和。
4．B
【分析】一个无盖的正方体纸盒，下底标有字母“M”，沿图中粗线将其展开成平面图形，则是正方体展开图的“1－4－1”形中的“1－4”，且是右端对齐。据此可以解答。
【详解】有一个无盖的正方体纸盒，下底标有字母“M”，沿图中粗线将其展开成平面图形是：
故答案为：B
【点睛】此题考查正方体的表面展开图，需熟练掌握正方体表面展开图的特征。
5．B
【详解】解：设每个小正方体的面的面积都是1；
图①的上下、前后都有6个小正方体的面，左右都有4个小正方体的面，所以表面积为：6×4＋4×2＝32；
图②的上下、前后都有6个小正方体的面，左右都有4个小正方体的面，中间还有2个小正方体的面，所以表面积为：6×4＋4×2＋2＝34；
图③上下、前后都有6个小正方体的面，左右都有4个小正方体的面，所以表面积为，6×4＋4×2＝32；
图④的上下、前后都有6个小正方体的面，左右都有4个小正方体的面，6×4＋4×2＝32；
所以表面积最大的是图②；
故答案为:选B
此题中的立体图形的表面积都是由小正方体的面组成的；设每个小正方体的面的面积都是1；将表示这4个立体图形的表面积的小正方体的面的个数都数出来即可进行比较.,此题考查了立体图形的表面积的计算方法的灵活应用，也是考查学生观察图形的能力。
6．C
【详解】【解答】解：打包带的长度：a×2+b×4+c×6=2a+4b+6c
故答案为C
【分析】与a相等的有两条，与b相等的有4条，与c相等的有6条，把这些长度相加就是打包带的长度.
7．100
【解析】略
8． 8 44
【解析】略
9．640立方厘米
【解析】略
10．6
【解析】略
11． 54 90 126 51
【详解】1个小正方体的一个面的面积为32平方厘米，
所以1个正方体的表面积是6×32平方厘米，可以写成54平方厘米，
2个正方体拼组后减少了两个面，所以表面积是10×32平方厘米；可以写成（2+2×4）×32＝90平方厘米，
3个正方体拼组在一起减少了4个面，表面积是14×32平方厘米，可以写成（2+3×4）×32＝126平方厘米，
所以每增加一个小正方体就增加了4个面……
由此若是n个正方体拼组一起表面积就可以写成（2+n×4）×32平方厘米，
（2+n×4）×32＝1854
2+n×4＝206
n×4＝204
n＝51
故答案为54；90；126；51．
12．54
【解析】略
13． 10 36
【分析】每个小正方体体积是1立方厘米，此组合体由两层组成，上层2个小正方体，下层8个，共10个，所以体积是10立方厘米。计算表面积，可以分开计算。从上面、下面看，各有8个面；左边、右边看，各有5个面；从前面、后面看，各有5个面；据此解答即可。
【详解】共10个小正方体组成，所以体积是10立方厘米；
（8＋5＋5）×2×（1×1）
＝18×2×1
＝36（平方厘米）
故答案为：10；36
【点睛】此题主要考查长方体的表面积和体积的灵活求解。
14． 64 128
【详解】本小题主要考查学生的几何直观和空间观念。正方体分成两个完全一样的长方体，体积不变即4×4×4＝64，表面积之和会增加2个面，即4×4×8＝128。
15．图见详解；容积是1750立方厘米；2000立方厘米
【分析】根据题意，要做这个铁皮容器，有三种方法：
方法（1）4个角分别剪去一个边长5厘米的正方形，如图所示，，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出这个铁皮的容积，再和1500立方厘米比较；
方法（2）将长方形的两个角分别剪去1个边长5厘米的正方形，再将剪下的正方形焊接在右边，如图，，计算出体积，再和1500立方厘米比较；
方法（3）从长方形的宽的两端分别剪去宽为5厘米，长为20厘米的长方形，再分别含在另外两边，如图，，计算出体积，再和1500立方厘米比较，即可解答。
【详解】方法（1）
（40－5－5）×（20－5－5）×5
＝（35－5）×（15－5）×5
＝30×10×5
＝300×5
＝1500（立方厘米）
1500立方厘米＝1500立方厘米。
方法（2）
（40－5）×（20－5×2）×5
＝35×（20－10）×5
＝35×10×5
＝350×5
＝1750（立方厘米）
1750立方厘米＞1500立方厘米；可以这样设计。
答：容积是1750立方厘米。
方法（3）
（40－5×2－5×2）×20×5
＝（40－10－10）×20×5
＝（30－20）×20×5
＝20×20×5
＝400×5
＝2000（立方厘米）
2000立方厘米＞1500立方厘米；可以这样设计。
容积是2000立方厘米。
【点睛】解答本题的关键是：利用画图，分别计算出容积，选择出最大的做法即可。
16．245立方厘米
【分析】由题意可知：高增加2厘米，就变成一个正方体。说明长方体的底面是正方形且高比底面边长少2厘米，这时表面积比原来增加56平方厘米。表面积增加的部分是高为2厘米的4个侧面的面积，由此可以求出一个侧面的面积，进而求出原来长方体的底面边长，再根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
【详解】底面边长：56÷4÷2＝7（厘米）
高：7－2＝5（厘米）
7×7×5＝245（立方厘米）
答：原来长方体的体积是245立方厘米。
【点睛】此题关键是根据增加的面积求出长方体的底面边长。
17．8升
【分析】先求出正方体容器剩余的容积，再和铁棒垂直插入水中部分的体积作对比，看水是否会溢出，如果溢出，则用铁棒垂直插入水中排出水的体积，即水中部分的铁棒体积减去容器剩余部分的体积即可求出溢出水的体积。
【详解】正方体容器剩余的体积：
40×40×（40－35）
＝1600×5
＝8000（立方厘米）
铁棒垂直插入水中部分的体积：
400×40＝16000（立方厘米）
16000立方厘米＞8000立方厘米
所以，水会溢出，则溢出水的体积：
16000－8000＝8000（立方厘米）＝8升
答：会溢出8升水。
【点睛】本题考查体积公式的应用，关键是要判断铁棒插入水中后会不会溢出，再进行后面的计算。
18．360立方厘米
【分析】根据题意可知，长方体的底面是一个正方形，表面积减少的面积除以高减少的长度求出底面周长，再除以4，求出底面边长，长方体原来的高＝底面边长＋4厘米，根据长方体的体积＝底面积×高，代入数据计算即可。
【详解】96÷4÷4
＝24÷4
＝6（cm）
6×6×（6＋4）
＝36×10
＝360（立方厘米）
答：原来长方体的体积是360立方厘米。
【点睛】此题考查长方体的体积计算，根据表面积的减少量，求出长方体的底面边长是解题关键。
19．120平方厘米；48立方厘米
【分析】这个空心图形的表面积＝棱长4厘米的正方体的表面积－边长2厘米的正方形面积×2＋长4厘米宽2厘米的长方形面积×4；
体积＝棱长4厘米的正方体体积－长2厘米宽2厘米高4厘米的长方体体积；依此列式计算即可求解。
【详解】4×4×6－2×2×2＋4×2×4
＝96－8＋32
＝120（平方厘米）
4×4×4－2×2×4
＝64－16
＝48（立方厘米）
答：这个空心图形的表面积是120平方厘米，体积是48立方厘米。
【点睛】解答此题的关键是弄清楚：现在的表面积由哪些面组成，问题即可得解。
20．39立方厘米： 84平方厘米
【分析】由图可知，体积＝长方体体积＋两个小正方体的体积之和；表面积＝长方体表面积＋两个小正方体的侧面积之和，据此解答。
【详解】体积：
6×2×2.5＋2×2×2＋1×1×1
＝30＋8＋1
＝39（立方厘米）；
表面积：
（6×2＋6×2.5＋2×2.5）×2＋2×4×2＋1×4×1
＝（12＋15＋5）×2＋16＋4
＝64＋16＋4
＝84（平方厘米）
答：它的体积是39立方厘米，表面积是84平方厘米。
【点睛】此题主要考查组合体体积和表面积的计算，体积＝各个几何体体积之和，求表面积时要认真分析图形，找出表面积包括哪些面再解答。
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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