12.2 三角形全等的判定
第4课时 运用“斜边、直角边”证直角三角形全等
【知识重点】
知识点 利用“斜边、直角边”证直角三角形全等
1. 定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
2. 书写格式 如图，
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中 ，
∴ Rt△ABC≌ Rt△A′B′C′(HL).
特别提醒
1. 应用“HL”判定两个直角三角形全等，在书写时两个三角形符号前一定要加上“Rt”.
2. 判定两个直角三角形全等的特殊方法“HL”，只适用于直角三角形全等的判定，对于一般三角形不适用.
3. 判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等同样适用.
4. 在用一般方法判定两个直角三角形全等时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外两个条件即可.
【经典例题】
【例1】如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥ AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F. 求证：CE＝DF.
解题秘方：利用“HL”证明两个直角三角形全等，为证明两条线段相等创造条件.
【同步练习】
一、选择题
1．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，还需要添加的一个条件是( )
A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC
第1题图 第2题图 第3题图
2．如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，AB＝CD，则可得到△AOB≌△COD，理由是( )
A．HL B．SAS C．ASA D．SSS
3．如图，可直接用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是( )
A．AC＝DF，BC＝EF B．∠A＝∠D，AB＝DE
C．AC＝DF，AB＝DE D．∠B＝∠E，BC＝EF
4．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是( )
A．斜边和一个锐角分别对应相等 B．任意两边对应相等
C．一条直角边和一个锐角对应相等 D．两个锐角分别对应相等
5．如图，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH＝DC.下列结论：
①BD＝AD；②BC＝AC；③BH＝AC；④CE＝CD.
其中正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD.若∠AFD＝145°，则∠EDF的度数为 ( )
A．45° B．55° C．35° D．65°
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC的度数为( )
A．28° B．59° C．60° D．62°
8．如图，已知BD＝CE，AB＝FD，B，D，C，E共线．若添加一个条件，就能使△ABC≌△FDE，则下列条件中：
①AB∥DF；②AC∥EF；③∠A＝∠F；④∠A＝∠F＝90°.
满足的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E.BD与CE交于点O，连接AO，则图中共有全等的三角形的对数为( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
10．如图，△BDC′是将长方形纸片ABCD沿BD折叠得到的，图中(包含实线和虚线)全等三角形共有 ( )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
11．如图所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于点O，连接AO，且∠1＝∠2，则下列结论中：
①∠ABC＝∠ACB；②△ADO≌△AEO；
③△BOD≌△COE；④图中有四对三角形全等．
正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第11题图 第13题图 第14题图
二、填空题
12．______和一条_________分别相等的两个直角三角形全等，可以简写成“______________”或“______”．
13．如图，在四边形AOBC中，∠A＝∠B＝90°，BC＝AC.有以下四个结论：①∠AOC＝∠BOC；②∠ACO＝∠BCO；③OC＝2AC；④OA＝OB.其中一定正确的结论有_________.(填序号)
14．【2023张家口期末】如图，在 中， ， 是 上的一点，且 ，过点 作 交 于点 .若 ,则 等于___________.
15．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝___.
第15题图 第16题图
16．【2023中山东升求实学校月考】如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度 与右边滑梯水平方向的长度 相等，两个滑梯的倾斜角 和 的数量关系是______________________.
三、解答题
17．如图， 小明和小芳以相同的速度分别同时从A，B 出发， 小明沿AC行走，小芳沿BD行走， 并同时到达C，D. 若CB⊥AB，DA⊥AB， 则CB与DA相等吗？为什么？
18．如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD.求证：∠DAC＝∠DBF.
证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在△BFD和△ACD中，
∴△BFD≌△ACD.∴∠DAC＝∠DBF.
上面的证明过程正确吗？如果不正确，说明错在哪里，并写出正确的证明过程．
19．如图，点A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD.求证：EG＝FG.
20．【2021·山西实验中学期末】如图，在△ABE和△ACF中，∠E＝∠F＝90°，AB＝AC，BE＝CF.
(1)求证：∠1＝∠3；
(2)试判断线段AM与AN，BN与CM的数量关系并加以证明．
21．已知△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N.
(1)如图①，求证：AE＝BD；
(2)如图②，若AC＝DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四对全等的直角三角形．
22．如图①，已知点P(2,2)，点A在x轴的正半轴上运动，点B在y轴上运动，且PA＝PB.
(1)求证：PA⊥PB；
(2)若点A(8,0)，求点B的坐标；
(3)求OA－OB的值；
(4)如图②，若点B在y轴正半轴上运动时，其他条件不变，直接写出OA＋OB的值．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()
参考答案
【经典例题】
【例1】如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥ AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F. 求证：CE＝DF.
解题秘方：利用“HL”证明两个直角三角形全等，为证明两条线段相等创造条件.
证明：∵ AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠ACB＝∠BDA＝90°.
在Rt△ABC和Rt△BAD 中，
∴ Rt△ABC≌ Rt△BAD(HL). ∴∠CBE＝∠DAF.
∵ CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠CEB＝90°，∠DFA＝90°.
在△BCE和△ADF中，
∴△BCE ≌△ADF(AAS). ∴ CE＝DF.
【同步练习】
一、选择题
1．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，还需要添加的一个条件是( D )
A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC
第1题图 第2题图 第3题图
2．如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，AB＝CD，则可得到△AOB≌△COD，理由是( A )
A．HL B．SAS C．ASA D．SSS
3．如图，可直接用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是( C )
A．AC＝DF，BC＝EF B．∠A＝∠D，AB＝DE
C．AC＝DF，AB＝DE D．∠B＝∠E，BC＝EF
4．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是( D )
A．斜边和一个锐角分别对应相等 B．任意两边对应相等
C．一条直角边和一个锐角对应相等 D．两个锐角分别对应相等
5．如图，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH＝DC.下列结论：
①BD＝AD；②BC＝AC；③BH＝AC；④CE＝CD.
其中正确的个数为( B )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD.若∠AFD＝145°，则∠EDF的度数为 ( B )
A．45° B．55° C．35° D．65°
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC的度数为( B )
A．28° B．59° C．60° D．62°
8．如图，已知BD＝CE，AB＝FD，B，D，C，E共线．若添加一个条件，就能使△ABC≌△FDE，则下列条件中：
①AB∥DF；②AC∥EF；③∠A＝∠F；④∠A＝∠F＝90°.
满足的个数为( B )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】由BD＝CE可得到BC＝DE，
又∵AB＝FD，
∴当AB∥DF，即∠B＝∠FDE时，能使△ABC≌△FDE(SAS)．当∠A＝∠F＝90°时，根据“HL”可得Rt△ABC≌Rt△FDE.易知添加②或③不能使△ABC≌△FDE，故选B.
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E.BD与CE交于点O，连接AO，则图中共有全等的三角形的对数为( D )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
10．如图，△BDC′是将长方形纸片ABCD沿BD折叠得到的，图中(包含实线和虚线)全等三角形共有 ( C )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
11．如图所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于点O，连接AO，且∠1＝∠2，则下列结论中：
①∠ABC＝∠ACB；②△ADO≌△AEO；
③△BOD≌△COE；④图中有四对三角形全等．
正确的个数为( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第11题图 第13题图 第14题图
二、填空题
12．______和一条_________分别相等的两个直角三角形全等，可以简写成“______________”或“______”．
【答案】斜边 直角边 斜边、直角边 HL
13．如图，在四边形AOBC中，∠A＝∠B＝90°，BC＝AC.有以下四个结论：①∠AOC＝∠BOC；②∠ACO＝∠BCO；③OC＝2AC；④OA＝OB.其中一定正确的结论有_________.(填序号)
【答案】①②④
14．【2023张家口期末】如图，在 中， ， 是 上的一点，且 ，过点 作 交 于点 .若 ,则 等于___________.
【解析】 ， .在 和
中， ， ，
.
【答案】5
15．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝___.
【答案】7
第15题图 第16题图
16．【2023中山东升求实学校月考】如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度 与右边滑梯水平方向的长度 相等，两个滑梯的倾斜角 和 的数量关系是______________________.
【解析】 根据题意，得 ，
， ，
，
.在 中，
， .
【答案】
三、解答题
17．如图， 小明和小芳以相同的速度分别同时从A，B 出发， 小明沿AC行走，小芳沿BD行走， 并同时到达C，D. 若CB⊥AB，DA⊥AB， 则CB与DA相等吗？为什么？
解：CB＝DA.
理由：由题意易知AC＝BD.
∵CB⊥AB，DA⊥AB，∴∠DAB＝∠CBA＝90°.
在Rt△DAB和Rt△CBA中，
∴Rt△DAB≌Rt△CBA(HL)．∴DA＝CB.
18．如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD.求证：∠DAC＝∠DBF.
证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在△BFD和△ACD中，
∴△BFD≌△ACD.∴∠DAC＝∠DBF.
上面的证明过程正确吗？如果不正确，说明错在哪里，并写出正确的证明过程．
解：不正确．直角三角形全等的判定中没有“SSA”，而应该是“HL”．
证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△BFD和Rt△ACD中，
∴Rt△BFD≌Rt△ACD(HL)．∴∠DAC＝∠DBF.
19．如图，点A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD.求证：EG＝FG.
证明：∵DE⊥AC，
BF⊥AC，
∴∠DEC＝∠BFA＝90°.
∵AE＝CF，
∴AE－EF＝CF－EF，
∴AF＝CE.
在Rt△AFB和Rt△CED中，
∴Rt△AFB≌Rt△CED(HL)．∴BF＝DE.
在△DEG和△BFG中，
∴△DEG≌△BFG(AAS)．∴EG＝FG.
20．【2021·山西实验中学期末】如图，在△ABE和△ACF中，∠E＝∠F＝90°，AB＝AC，BE＝CF.
(1)求证：∠1＝∠3；
证明：在Rt△ABE和Rt△ACF中，
∴Rt△ABE≌Rt△ACF(HL)．
∴∠BAE＝∠CAF.
又∵∠1＝∠BAE－∠2，∠3＝∠CAF－∠2，
∴∠1＝∠3.
(2)试判断线段AM与AN，BN与CM的数量关系并加以证明．
解：AM＝AN，BN＝CM.
证明如下：由(1)知Rt△ABE≌Rt△ACF，∴AE＝AF.
在△AEM和△AFN中，
∴△AEM≌△AFN(ASA)．∴AM＝AN.
又∵CM＝AC－AM，BN＝AB－AN，AB＝AC，∴BN＝CM.
21．已知△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N.
(1)如图①，求证：AE＝BD；
证明：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD.
∴∠BCD＝∠ACE.
在△ACE和△BCD中，
∴△ACE≌△BCD(SAS)．∴AE＝BD.
(2)如图②，若AC＝DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四对全等的直角三角形．
解：△ACB≌△DCE，
△EMC≌△BNC，
△AON≌△DOM，
△AOB≌△DOE.
22．如图①，已知点P(2,2)，点A在x轴的正半轴上运动，点B在y轴上运动，且PA＝PB.
(1)求证：PA⊥PB；
(2)若点A(8,0)，求点B的坐标；
(3)求OA－OB的值；
(4)如图②，若点B在y轴正半轴上运动时，其他条件不变，直接写出OA＋OB的值．
解：(1)证明：过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，
由P(2,2)知，PC＝PD＝2，
又PA＝PB，
∴Rt△PCA≌Rt△PDB(HL)，
∴∠CPA＝∠DPB.
由作图知，PC∥y轴，
∴∠PBD＝∠BPC.
∵∠PBD＋∠DPB＝90°，
∴∠BPC＋∠CPA＝90°，
即∠APB＝90°，
∴PB⊥PA.
(2)B(0，－4)．
(3)4.
(4)4.
