如东县2023-2024学年高三上学期期初学情检测
数学
注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含[单选题（1-8）多选题9~12，填空题（第13题~第16题，共80分）、解答题（第17~22题，共70分）。本次考试时间120分钟，满分150分、考试结束后，请将答题卡交回。 2.答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。 3.答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律无效。 4.如有作图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。
一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，满足，，，则（ ）
A. B. C.2 D.
3.已知函数，的值域是，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.已知，则（ ）
A. B. C. D.
5.设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.已知是奇函数，则在处的切线方程是（ ）
A. B. C. D.
7.已知是边长为4的等边三角形，将它沿中线折起得四面体，使得此时，则四面体的外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
8.若，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知是函数的一个对称中心，则（ ）
A.
B.是函数的一条对称轴
C.将函数的图像向右平移后得到的图像关于原点对称
D.函数在区间上的最小值是
10.已知正实数，满足，则（ ）
A.的最大值为 B.的最小值为
C.的最小值为 D.的最小值为
11.已知锐角的三边长分别是，，，若，则可以取到（ ）
A. B. C. D.
12.在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，且满足.记点的轨迹为，则（ ）
A.点可以是侧面的中心 B.是菱形
C.线段的最大值为 D.的面积是
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13.写出一个同时满足下列条件的函数解析式______.
①；②.
14.中，，，，的角平分线交于，则______.
15.一个动力船拖动载重量相等的小船若干只，在两个港口之间来回运货.若拖4只小船，则每天能往返16次；若拖7只小船，则每天能往返10次.已知增加的小船只数与相应减少的往返次数成正比例.为使得每天运货总量最大，则每次拖______只小船.
16.如图，在四面体中，，，，，分别是，的中点，若用一个与直线垂直，且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若，求.
18.（12分）
在正四棱锥中，已知，，，.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的大小.
19.（12分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，.
20.（12分）
劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，对于培养社会主义建设者和接班人具有重要战略意义.为了使学生熟练掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，某普通高中组织学生到工厂进行实践劳动.在设计劳动中，某学生欲将一个底面半径为20cm，高为40cm的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.
（1）求该圆柱的侧面积的最大值；
（2）求该圆柱的体积的最大值.
21.（12分）
内角，，的对边分别为，，，其面积为，为的中点，且.
（1）若，求；
（2）若，求的周长.
22.（12分）
已知是函数的极值点.
（1）求的极值；
（2）证明：过点可以作曲线的两条切线.
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数学参考答案
1.答案：C 2.答案：A 3.答案：C 4.答案：C
5.答案：A 6.答案：B 7.答案：D 8.答案：A
9.答案：AC 10.答案：ABD 11.答案：BCD 12.答案：ACD
13.答案：（答案不唯一） 14.答案：
15.答案：6 16.答案：
17.解：（1）在中，由正弦定理，得.
因为，所以，……2分
所以，即.
又因为，所以，所以.
又因为，所以.……4分
（2）因为，，所以.……6分
又因为，所以，.……8分
所以……10分
另解：因为，，所以.
因为，所以.……6分
因为，所以，所以，
所以，，
所以，，……8分
所以.……10分
18.解：（1）连接交于，如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
因为，，，，，
所以，，，，
所以，，，
所以，.……2分
设平面的法向量为，则，，
令，则.……4分
因为，所以，又因为平面，所以平面. ……6分
另解：因为，，所以.
因为，所以，，共面，所以平面.
（2）设平面的法向量为，
则，，令，则.……10分
因为，所以平面平面，所以二面角的大小是90°.……12分
19.解：（1）.当时，，所以的单调减区间是.……2分
当时，.所以的单调减区间是，单调增区间是.……4分
（2）由（1）可得，当时，取得极大值，也是最大值，
所以.……8分
设，则，所以的单调减区间是，单调增区间是，
所以，即.……10分
因为，所以，所以，
所以，所以命题得证.……12分
20.解：（1）设该圆柱的底面半径为，高为.
因为，所以，即.……2分
因为，所以.
因为，
当且仅当时等号成立，所以该圆柱的侧面积的最大值是.……6分
（2）因为，所以.……10分
因为在上单调递增，上单调递减，所以当时，.
答：（1）该圆柱的侧面积的最大值是；
（2）该圆柱的体积的最大值是.……12分
21.解：（1）在中，作边上的高.
因为，，所以，.
因为面积为，所以，所以.
在中，，，所以.
在中，，，所以.……4分
因为，，
所以. ……6分
（2）因为，
，，所以.
因为，所以，
即，所以. ……8分
又因为面积为，所以，所以.
因为，且，所以.……10分
因为，所以.又因为，
所以，，所以的周长是.……12分
22.解：（1）因为，所以.
因为是函数的极值点，
所以，所以.……3分
因为在上单调递减，上单调递增，上单调递减，
所以当时，取得极大值，当时，取得极小值.……5分
（2）设切点，则切线方程是.
代入得，整理得.
设，则
.……8分
因为在单调递减，上单调递增，
上单调递减，上单调递增，
又因，所以在上有且只有一个零点.
又因为，，
所以在上有且只有一个等点.
又因为当时，，
所以在上没有零点.综上可知，命题得证.……12分
