人教A版（2019）必修第一册《5.4 三角函数的图像与性质》提升训练
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知函数，，若方程有解，则的最小值为
A. B. C. D.
2.（5分）函数，的最大值是
A. B. C. D.
3.（5分）已知定义域为的函数满足，，当时，，则
A. B. C. D.
4.（5分）已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
5.（5分）函数是定义在上的偶函数，它的一条对称轴是若在区间上是增函数，则
A. 在区间上是减函数，最小正周期为
B. 在区间上是减函数，但不是周期函数
C. 在区间上是增函数，最小正周期为
D. 在区间上是增函数，但不是周期函数
6.（5分）若的最大值为
A. B. C. D.
7.（5分）某房间的室温单位：摄氏度与时间单位：小时的函数关系是：，，其中，是正实数．如果该房间的最大温差为摄氏度，则的最大值是
A. B. C. D.
8.（5分）已知函数是定义在上的奇函数，且以为周期，当时，，则的值为
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）在中，，则下列结论中正确的是
A. B. C. D.
10.（5分）已知为奇函数，且，当时，，则
A. B. C. D.
11.（5分）设函数，则
A. 的最大值为 B.
C. 曲线存在对称轴 D. 曲线存在对称中心
12.（5分）设表示不超过的最大整数，如：，给出以下命题正确的是
A. 若，则
B.
C. 若，则可由解得的范围为
D. 函数，则函数的值域为
13.（5分）已知是定义在上的偶函数，且，若当时，，则下列结论正确的是
A.
B.
C. 的图像关于点对称
D. 函数有个零点
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知函数，那么函数的值域是 ______ .
15.（5分）关于的方程有实根，则实数的取值范围是 ______ ．
16.（5分）若关于的方程有解．则实数的范围 ______ ．
17.（5分）函数满足对任意，都有，且，，则函数在上的零点之和是______．
18.（5分）函数的最小正周期为 ，定义域为 。
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知函数，
证明：函数为偶函数，并求出其最大值；
求函数在上单调递增区间．
20.（12分）已知函数，．
求函数的单调增区间．
设关于的函数的最小值为试确定满足的的值．
21.（12分）已知函数，在中，角，，的对边分别为，，
当时，求函数的取值范围；
若对任意的都有，，点是边的中点，求的值．
22.（12分）已知函数．
请补全所给表格，并在所给的坐标系中作出函数一个周期内的简图；
求函数的单调递增区间；
求的最大值和最小值及相应的取值．
23.（12分）定义在实数集上的函数满足，且，判断下列说法是否正确：的图象关于直线对称；是偶函数.
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】
设，则，求出函数的值域，即可求出答案此题主要考查了三角形函数的值域，考查了换元法，考查了二次函数的性质，属于中档题
解：，
，，
，
设，
，
，
，
，
，其对称轴为，
在上递增，
，
，
方程有解，
，
的最小值为，
故选D．
2.【答案】C;
【解析】
此题主要考查的二次函数的性质的应用，余弦型函数的应用，属于简单题．
首先把函数的关系式变形成二次函数的形式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，最后求出函数的最大值．
解：由于，
则：
所以，
，
当时，
故选
3.【答案】D;
【解析】解：根据题意，函数满足，则有，
又由，则有，即函数是周期为的周期函数，
则；
故选：．
根据题意，分析可得，即函数是周期为的周期函数，进而可得，结合函数的解析式分析可得答案．
该题考查函数的奇偶性与对称性、周期性的综合应用，注意分析函数的周期，属于基础题．
4.【答案】C;
【解析】解：由题设知，又三角函数的周期是，
所以此函数在的左端点处取到最小值，
所以必有，即，解得，
故选：．
由题设条件知，三角函数的周期是且，由此可得，由此不等式即可得出实数的取值范围
该题考查三角函数的最值的求法，本题解答的关键是观察出，三角函数的周期是，从而得出，属于三角函数的性质直接应用题
5.【答案】C;
【解析】解：根据题意，函数是定义在上的偶函数，则，
又由函数的一条对称轴是，则，
则有，即函数是周期为的周期函数，
又由在区间上是增函数，则其在上为减函数，则函数的最小正周期为；
若在区间上是增函数，则其在上为增函数，
故选：．
根据题意，由偶函数的性质可得，结合函数的对称轴可得，分析可得函数的周期，据此分析函数在上的单调性，综合即可得答案．
该题考查函数的奇偶性与周期性的应用，注意分析函数的周期，属于基础题．
6.【答案】B;
【解析】解：
，
故当即时，
取最大值，最大值是，
故选：．
化简函数，根据三角函数的性质求出函数的最大值即可．
此题主要考查了三角函数问题，考查函数最值问题，是基础题．
7.【答案】A;
【解析】解：由题意函数关系是：，，其中，是正实数．
可得：，最大温差为摄氏度，即，
那么：，
：，当且仅当是取等号．
．
故选：．
根据题意化简，最大温差为摄氏度，即，即可求解的最大值．
此题主要考查三角函数的化简，基本不等式求解最值的问题，考查转化思想以及计算能力．属于基础题．
8.【答案】C;
【解析】
此题主要考查的是函数的周期性与奇函数的综合应用，属于中档题.
由题意可得：，结合函数的周期性可得：，再根据题中的条件代入函数解析式可得答案.
解：由题意可得：，
因为是定义在上的奇函数，所以
又因为是周期为的周期函数，所以
因为，并且当时，，
所以，
所以
故选
9.【答案】AC;
【解析】此题主要考查了正弦函数的图象与性质和正切函数的图象与性质，属于基础题.
由题意得和必为锐角，可得，可判断选项，；分为锐角、直角、钝角分别讨论可判断选项；举反例可知错误.解：在中，，则和必为锐角，
所以，故正确，错误；
若为锐角，则由得，
若为直角，则由得，
若为钝角，则为锐角，由，则，
所以，故正确；
若，，满足，但，故错误，
故选
10.【答案】B;
【解析】
此题主要考查函数的奇偶性，对称性，周期性的综合运用，考查学生逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.
利用已知为奇函数得到，可得到图象关于对称，再利用得到，即可说明函数的周期为，那么的图象也关于对称，代入解析式即可得到
解：为奇函数，
，
的图象关于对称，
由，用代，
可得，
又得：，即，
可得，函数的周期为，
故
综上：正确选项为
故选
11.【答案】ABC;
【解析】解：对于，因为当时，函数取得最大值，同时函数取得最小值，所以的最大值为，故选项A正确；
对于，考虑，故，故选项B正确；
对于，函数的图象关于对称，且函数的图象也关于对称，所以曲线存在对称轴，故选项C正确；
对于，若存在对称中心，则结合可知，为周期函数，而原函数的分母在时递增至，而分子是有界的，故不是周期函数，所以不存在对称中心，故选项D错误．
故选：．
利用当时，函数表达式的分子取得最大值的同时分母取得最小值，即可判断选项A，构造，判断与的大小即可判断选项B，利用分子和分母对应的函数都关于对称，即可判断选项C，假设存在对称中心，则判断是否是周期函数，即可判断选项D．
此题主要考查了函数性质的应用，主要考查了正弦函数与二次函数的最值、对称性的应用，涉及知识点多，综合性强，考查了逻辑推理能力和转化化归能力，属于中档题．
12.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查了新定义的函数的性质与应用问题，也考查了对数的计算问题与三角函数的计算问题，是综合性题目．
由表示不超过的最大整数，得出时，成立；计算出…的值即可；
举例说明的取值范围不是；求出函数与的值域，计算的值．
解：表示不超过的最大整数，对任意的实数，有，正确；
，，，，
…，…，
…，…，
…，正确；
当时，，，的取值范围不是错误；
函数，
同理，，当时，，
，，，
同理当时，，
，，，
当时，，，，
，综上，，正确．
故选：
13.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查函数的奇偶性，周期性对称性以及函数的零点与方程的根的关系，难度较大.
由函数的奇偶性可求得，当时的解析式，判断，求出函数的周期可判断，由对称性的定义，结合周期性和奇偶性判断，由函数图象交点可判断
解：是定义在上的偶函数，当时，，则时，，正确；
因为，所以，函数为周期函数，，正确；
不恒成立，所以的图像不关于点对称 ，错误；
分别作出函数和的图象，由交点个数可知函数有个零点，正确，
故选
14.【答案】;
【解析】解：设，则，
当时，；当时，
因此，函数的值域是
故答案为：
换元，则函数化成，其中然后根据二次函数在闭区间上的最值，即可求出函数的值域．
本题给出含有三角函数式的“类二次”函数，求函数的值域．着重考查了三角函数的最值和二次函数在闭区间上的值域等知识，属于中档题．
15.【答案】;
【解析】
解：将原方程转化为：，
设，，
则
故答案为：；
先将原方程转化为：，再用同角三角函数基本关系式中的平方关系转化为，再设，，
转化为二次函数求解．
这道题主要考查换元法和方程与函数的转化，将三角函数进行换元，然后求解函数是解决本题的关键，属于简单题．
16.【答案】;
【解析】
该题考查正弦函数的定义域和值域，涉及二次函数区间的最值，属基础题．
变形换元可得，，由二次函数区间的最值可得．
解：，
，
令，则，
，，
由二次函数的知识可知：当时函数单调递减，
当时，函数取最大值，当时，函数取最小值，
实数的范围为：．
故答案为：．
17.【答案】5;
【解析】解：由，
可得：的图象关于点对称，
又，
则的图象关于点对称，
由图可知：与的图象共有个交点，
不妨设个交点的横坐标分别为，，，，，
且，
则，
所以，
故答案为：．
由函数的对称性得：由，可得：的图象关于点对称，又，则的图象关于点对称，由函数图象的作法有：与的图象共有个交点，有，所以，得解．
该题考查了函数的对称性及函数图象的作法，属中档题．
18.【答案】;
【解析】
此题主要考查函数的周期性及定义域，属于基础题．
根据函数的周期为，其定义域为，计算求得结果．
解：函数的最小正周期为，
由正切函数的性质，得定义域为：，，
解得：，，
即函数的定义域为：
故答案为；
19.【答案】（1）证明：函数f（x）的定义域∈[-π，π]关于原点对称，
又f（-x）=2sin|-x|+cos（-2x）=2sin|x|+cos2x=f（x），
所以函数f（x）为偶函数，
当x∈[0，π]时，f（x）=2sinx+cos2x=-2six+2sinx+1
=-2（sinx-）2+，
所以当sinx=即x=或x=时，函数f（x）的最大值为，
又函数f（x）为偶函数，所以当x=±或x=±时，函数的最大值为；
（2）解：当x∈[0，π]时，f（x）=2sinx+cos2x=-2six+2sinx+1，
对其求导得f′（x）=-4sinxcosx+2cosx=2cosx（1-2sinx），
要求函数的单调递区间，当x∈[0，]时，cosx＞0，只需1-2sinx≥0，解得x∈[0，]；
当x∈[，π]时，cosx＜0，只需1-2sinx≤0，解得x∈[，]；
综上函数在上的单调递增区间有[0，]，（，];
【解析】
利用奇偶性定义证明即可；
利用导数求函数的单调递增区间．
此题主要考查三角函数的图象和性质和函数奇偶性的证明，属中档题．
20.【答案】解：（1）当sinx≥0时，即2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z时，f（x）=（sinx+sinx）=sinx，
当sinx＜0时，即2kπ-π＜x＜2kπ，k∈Z时，f（x）=（sinx-sinx）=0，k∈Z，
∴函数f（x）的周期T=2π，函数f（x）的增区间：[2kπ，2kπ+]，k∈Z．
（2）g（x）=-2six-2acosx-2a+1=2cox-2acosx-（2a+1），
令cosx=t，可得t∈[-1，1]，
换元可得y=2-2at-（2a+1），可看作关于t的二次函数，
图象为开口向上的抛物线，对称轴为t=，
当＜-1，即a＜-2时，[-1，1]是函数g（x）的递增区间，g（x）的最小值为g（x）=1≠；
当＞1，即a＞2时，[-1，1]是函数y的递减区间，g（x）的最小值为g（x）=-4a+1=，得a=，与a＞2矛盾；
当-1≤≤1，即-2≤a≤2时，g（x）的最小值为g（x）=--2a-1=，得+4a+3=0，
解得a=-1或a=-3（舍去），
综上可得满足h（a）=的a的值为-1，
此时g（x）的最小值为．;
【解析】
化简可得的解析式，结合图象可得周期和单调区间；
变形可得，令，可得，换元可得，由二次函数区间的最值可得．
此题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数的图象以及利用换元法转化为一元二次函数的最值问题是解决本题的关键，是中档题．
21.【答案】解：当时，，
，
所以函数的取值范围是；
由对任意的，都有，得
，，解得，，
又，
，
所以．;
【解析】此题主要考查正弦函数的图象和性质，考查向量数量积的性质，以及运算能力，属于中档题．
当时，求得的范围，运用正弦函数的图象和性质求得的取值范围；
求得的最大值取得的条件，可得，再由向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值．
22.【答案】解：（1）．
列表如下：
x
0 π 2π
0 2 0 -2 0
描点连线可得函数图象如下：
（2）令，
所以，即单增区间为．
（3），即；
，即．;
【解析】
由已知利用五点法作函数的图象即可得解．
由，即可得解函数单调递增区间．
利用正弦函数的图象和性质即可求解的最大值和最小值及相应的取值．
这道题主要考查了五点法作函数的图象，正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．
23.【答案】（1）（2）均正确，判断过程见解析.;
【解析】因为，所以函数图象的对称轴为，故正确因为，所以，即，又，所以，所以，从而函数为偶函数，故正确.
